最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第02講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（十大題型）（講通）

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2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第02講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
目錄
知識點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念
（1）等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．
（2）等差中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．
知識點(diǎn)二．等差數(shù)列的有關(guān)公式
（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．
（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．
知識點(diǎn)三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）通項(xiàng)公式的推廣：．
（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．
特別地，若，則．
（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．
（4），…也成等差數(shù)列，公差為．
（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．
（7）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．
（8）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．
（9）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
知識點(diǎn)四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
知識點(diǎn)五．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
特別地
若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
知識點(diǎn)六．其他衍生等差數(shù)列．
若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：
①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．
②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．
③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．
【解題方法總結(jié)】
（1）等差數(shù)列中，若，則．
（2）等差數(shù)列中，若，則．
（3）等差數(shù)列中，若，則．
（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，則．
題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算
例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減，得：，
所以數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以.
故選：A.
例2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
解得，，所以．
故選：D.
例3．（2023·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】由題設(shè)，則，而，
若等差數(shù)列公差為，則，
所以，通項(xiàng)公式為，故.
故選：C
變式1．（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】由可得：①，
由可得：②，
由①②可得：或(舍去).
故選：A.
變式2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】D
【解析】由題意得解得，
故選：D.
變式3．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，，，
所以.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：
（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想．
（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素．
（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．
（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．
【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷．
題型二：等差數(shù)列的判定與證明
例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，則，
于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，
從而，即，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，
所以.
例5．（2023·江蘇南京·高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？计谀┯洖閿?shù)列的前項(xiàng)和．
(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
①數(shù)列是等差數(shù)列；②
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）選擇條件①：，
，
兩式相減可得，
即，
，
兩式相減可得，
化簡可得，
，數(shù)列是等差數(shù)列．
選擇條件②：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，故，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，，
又．
數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，
．
，
故
．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)．
(2)證明：．
【解析】（1）由，可得，
∴，即，
∵，即，
∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，即．
（2）令①，
∵，∴②，
①×②得，
∴，即．
變式4．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足， ，.
(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前50項(xiàng)和.
【解析】（1）由題，，
且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列；
（2）設(shè)為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，注意到，
，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，
結(jié)合可知，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，
所以
.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，．
所以，即，
所以，所以
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（2）所以，則，
因?yàn)椋?br>故．
變式6．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
【解析】（1），，
，即①
由題意，
將①式兩邊同除以，得，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知
當(dāng)時(shí)， ，即，
當(dāng)時(shí)，②，
則③，
②③，，即，
因?yàn)闈M足，
所以.
（3）由（2）可知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
.
所以.
【解題方法總結(jié)】
判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法
（1）定義法：對任意是周一常數(shù)．
（2）等差中項(xiàng)法：對任意，湍足．
（3）通項(xiàng)公式法：對任意，都滿足為常數(shù)）．
（4）前項(xiàng)和公式法：對任意，都湍足為常數(shù)）．
題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)
例7．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，
所以，
故選：A
例8．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)和的求和公式，可得，所以.
故選：A.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，
所以，所以.
故選：C．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果等差數(shù)列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【解析】∵，∴，則，又，
故.
故選:C.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所?
故選：B
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【解析】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以
∴.
故選：B
【解題方法總結(jié)】
如果為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．因此，出現(xiàn)等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．
題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則______．
【答案】
【解析】由題意可知，，
所以.
故答案為:.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則______.
【答案】/
【解析】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，
所以.
故答案為：
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.
【答案】/
【解析】因?yàn)?，為等差?shù)列，所以，
因?yàn)?，所?
故答案為：.
變式10．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為與，若，則______．
【答案】
【解析】由等差數(shù)列的求和公式得，所以，
故答案為：
變式11．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則_________
【答案】27
【解析】.
故答案為：.
變式12．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________
【答案】
【解析】由題設(shè)成等差數(shù)列，
所以，則，
所以.
故答案為：
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.
【答案】
【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為
，，
，
，
，則
故答案為：
變式14．（2023·全國·高三對口高考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，；則的值為__________.
【答案】
【解析】設(shè)，，
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且公差，，
所以，解得，，
所以.
故答案為：.
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則______.
【答案】8
【解析】設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，公差為．
奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，，，
，
即，解得：
即等差數(shù)列共項(xiàng)，且
故答案為：8
變式16．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？级＃┰诘炔顢?shù)列中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且，則的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為
，解得，且
，解得
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．
題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為___________.
【答案】7
【解析】方法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意得，解得
則.又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.
方法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，∴，
∴，解得，
則，
令
解得，又，
∴，即數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，從第8項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，
故當(dāng)取得最大值時(shí)，.
故答案為：7.
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則以下選項(xiàng)中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>又因?yàn)椋?，所以?br>又，所以，
所以為遞減數(shù)列，且前項(xiàng)為正值，從第項(xiàng)開始為負(fù)值，
所以，
故選：C.
例15．（2023·四川·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為______．
【答案】66
【解析】=21，解得，故，屬于二次函數(shù)，
對稱軸為，故當(dāng)或時(shí)取得最大值，
，，，
故的最大值為66.
故答案為：66.
變式17．（2023·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是________
【答案】4
【解析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，
故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，
，則當(dāng)時(shí)，故取得最小值為4，
故答案為：4
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第______項(xiàng).
【答案】13
【解析】由已知可得數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，可得數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，而為遞增數(shù)列，則答案可求．在等差數(shù)列中，
由，，得，
，
則數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，
數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，
而為遞增數(shù)列，
數(shù)列的最大項(xiàng)是第13項(xiàng)．
故答案為：13．
變式19．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小值為_______.
【答案】.
【解析】根據(jù)遞推公式和累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.代入中,由數(shù)列中的性質(zhì),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求得最小值.因?yàn)?所以,
從而
…,
,
累加可得,
而
所以,
則,
因?yàn)樵谶f減,在遞增
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以時(shí)取得最小值,最小值為.
故答案為:
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號是______.
【答案】①②④
【解析】等差數(shù)列中，，，所以，則．
所以，則．
所以①正確．
②整理得正確．
③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，應(yīng)該是最小的正數(shù)項(xiàng)．故錯(cuò)誤．
④是中最大的值，正確；
⑤為遞增數(shù)列．錯(cuò)誤，應(yīng)改為遞減數(shù)列．
故答案為：①②④．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大.則滿足的的最大值為__________.
【答案】19
【解析】由題可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，又，
所以，解得，所以，所以，
所以，解得，
所以滿足的的最大值為19.
故答案為：19.
變式22．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝______．
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，
所以，
因?yàn)?，所以，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸，
由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最大值，
故答案為：.
變式23．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為__________.
【答案】11
【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)取到最小值，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，即，所?
，則，因?yàn)椋?br>所以，解之得：,因?yàn)椋詎的最小值為11.
故答案為：11.
變式24．（2023·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，所以，則
所以為遞增的等差數(shù)列，且，
所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.
故答案為：
變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為__．
【答案】20
【解析】因?yàn)?，所以和異號?br>又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，
所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，
所以，，又，
所以，，
所以的最大值為20．
故答案為：20.
【解題方法總結(jié)】
求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法
（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．
（2）鄰項(xiàng)變號法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【解析】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣為：，且其公差為，
依題意有：，，
，公差 ，
則，
所以谷雨這一天的日影長度為尺，
故選：A
例17．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會(huì)員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【解析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，
由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，
故為的倍數(shù)，
所以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故獲得精品足球的人數(shù)為.
故選：C.
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（ ）
A．12B．26C．42D．50
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，則，
所以，解得，
所以，
故選：C．
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，
由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，
故100年后地支為未，
綜上：100年后的2123年為癸未年.
故選：A .
變式27．（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）家庭農(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體．某家庭農(nóng)場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為（ ）
A．630萬元B．350萬元C．420萬元D．520萬元
【答案】D
【解析】依題意，該家庭農(nóng)場每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為，
可得，，所以公差為，
所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為，
故選：D
題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題的討論
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
例20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求；
(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，．則，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
則

，
所以.
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，.
(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【解析】（1）因?yàn)?，令n取，則，
即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以
（2）令n取2n，則，
所以，
由（1）可知，；
；所以
變式28．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列和滿足：.
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若.
求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
構(gòu)造數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）;（2）①當(dāng)時(shí)，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知，，則（）；由，得；按照,和時(shí)分別討論,求出正整數(shù)和.
試題解析:（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
令，，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，
即，所以（）．
（2）①當(dāng)時(shí)，有（），
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．
②由①知，，則（）；
由，得；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋裕?br>從而，因?yàn)楹蜑檎麛?shù)，所以不存在正整數(shù)；
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，
從而，即，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或；
當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；
綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為，．
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，前n項(xiàng)和滿足．
（1）證明：為等差數(shù)列；
（2）求．
【解析】（1）∵①，
∴②，
①②：③，
∴④，
④③：，
∴，
∴是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）得是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
同理可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
又，故，
∴前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和為，
前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和為，
∴．
【解題方法總結(jié)】
對于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．
題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
又滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
；
所以，
當(dāng)時(shí)，遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，
令得，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，
而，，且，
所以；
綜上，的最小值為.
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因?yàn)椋?br>令，解得，且，
當(dāng)時(shí)，則，可得；
當(dāng)時(shí)，則，可得
；
綜上所述：.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，
由題意可知，
化簡得，解得，
所以．
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以
．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【解析】（1）設(shè)的公差為，
則，解得，
所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
，
綜上所述：.
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．
(1)求，；
(2)若，求
【解析】（1）由題意得，得，
將代入并整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
所以或；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，由?）得，．
則當(dāng)時(shí)，，
則．
當(dāng)時(shí)，，
則
.
綜上所述，.
【解題方法總結(jié)】
由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項(xiàng)
（2）在對進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，
所以，
則，解得：，
故選：C
例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題意可得公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；
若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立．
故選：C．
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無法判斷正負(fù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)公差為，因?yàn)?，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，
故選：B
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，
因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以?br>由得，，，
所以時(shí)，，時(shí)，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式為，其中，且，
由已知和是方程的兩個(gè)解，
記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，
由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．
如圖，作出和的圖象，它們在和時(shí)相交，
無論還是，由圖象可得，，，
時(shí)，，時(shí)，，
因此，，，，
即，
故選：B
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.
對于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)無最大項(xiàng)，A選項(xiàng)不滿足條件；
對于B選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項(xiàng)不滿足條件；
對于C選項(xiàng)，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無最大項(xiàng)，C選項(xiàng)不滿足條件；
對于D選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項(xiàng)滿足條件.
故選：D.
變式34．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，
所以，解得，即.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．
（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．
一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”．
題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題
例28．（2023·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為______.
【答案】
【解析】由題意可知，所以，
同理得，所以.
結(jié)合，可得.
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
要使對恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整數(shù)的值為.
故答案為：.
例29．（2023·北京·高二北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是______.
①若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；②若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
③若數(shù)列對任意的，恒成立，則
④若對任意的，均有，則恒成立
【答案】①②④
【解析】①當(dāng)時(shí)，若，則數(shù)列有最大項(xiàng)為 ，若 ，則存在，有 ，所以數(shù)列有最大項(xiàng)為，故正確；
②當(dāng)時(shí)，存在，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故數(shù)列無最大項(xiàng)，所以若數(shù)列有最大項(xiàng)，則，故正確；
③若， 恒成立，則，故錯(cuò)誤；
④若對任意的，均有，則，若，則，若，則設(shè)（為不大于的最大整數(shù)），，則，故不成立，故正確；
故答案為：①②④
例30．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】由，可得.
兩式相減，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因?yàn)椋?，所以，所以，?br>則.令，則.
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，
而，，，
所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為1，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為: .
變式35．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項(xiàng)和有最大值,則使得的最大的的值是_________.
【答案】15
【解析】解:由題知,
即對恒成立,
所以數(shù)列為等差數(shù)列,
因?yàn)榍绊?xiàng)和有最大值,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,
因?yàn)?所以異號,且,
所以可化簡為:,即,
因?yàn)?
,
所以使得的最大的的值為15.
故答案為:15
變式36．（2023·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，前項(xiàng)和為．若恒成立，則公差的取值范圍是______．
【答案】
【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，可知且，
所以且，解得．
故答案為：.
變式37．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對任意的都有恒成立，則k的值為________.
【答案】10
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,
所以.
所以.
故答案為:10.
變式38．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）數(shù)列滿足對任意恒成立，則_______.
【答案】3031
【解析】由，兩式相減得.而，
∴.
故答案為：3031．
變式39．（2023·重慶九龍坡·高三統(tǒng)考期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對任意，都有恒成立，則k的值為_________．
【答案】9
【解析】，，
所以
當(dāng)時(shí)取最大值，
因?yàn)閷θ我?，都有恒成立，所以k的值為
故答案為9
1．（2023?甲卷（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則
A．25B．22C．20D．15
【答案】
【解析】等差數(shù)列中，，
所以，
，
故，
則，，
則．
故選：．
2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】
【解析】若是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，
即，
故為等差數(shù)列，
即甲是乙的充分條件．
反之，若為等差數(shù)列，則可設(shè)，
則，即，
當(dāng)時(shí)，有，
上兩式相減得：，
當(dāng)時(shí)，上式成立，所以，
則（常數(shù)），
所以數(shù)列為等差數(shù)列．
即甲是乙的必要條件．
綜上所述，甲是乙的充要條件．
故本題選：．
3．（2021?北京）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長，，，， （單位： 成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為，，，，（單位：，且長與寬之比都相等．已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】
【解析】和是兩個(gè)等差數(shù)列，且是常值，由于，，
故，
由于
所以．
另，解得：
故：．
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解等差數(shù)列的概念．
（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．
2023年甲卷（文）第5題，5分
2023年I卷第7題，5分
2022年上海卷第10題，5分
2022年乙卷（文）第13題，5分
（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算．
（2）解答題多與等比數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問題或其他知識考查．