題型一：正弦定理的應(yīng)用
1．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則 .
2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則 .
3．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則角 .
題型二：余弦定理的應(yīng)用
4．在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，若的面積為，則角= .
5．在中，，則角= .
6．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則中角B的大小是（ ）
A．B．C．D．
題型三：判斷三角形的形狀
7．（2024·高三·廣東廣州·開學(xué)考試）在中，，則的形狀為 三角形．
8．在中，有，試判斷的形狀 （從“直角三角形”，“銳角三角形”，“鈍角三角形”中選一個(gè)填入橫線中）.
9．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則的形狀為 .
10．對(duì)于，有如下四個(gè)命題:
①若 ，則為等腰三角形，
②若，則是直角三角形
③若，則是鈍角三角形
④若，則是等邊三角形.
其中正確的命題序號(hào)是
11．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且，則的形狀為
A．等邊三角形B．等腰直角三角形
C．頂角為的等腰三角形D．頂角為的等腰三角形
題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用
12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則 ， .
13．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，， ，則外接圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
14．設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用
15．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域和值域；
(2)已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.
16．（2024·湖南長沙·一模）已知函數(shù).
（1）若，求的值.
（2）在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足，求的取值范圍.
17．在中，角的對(duì)邊分別為.已知向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
18．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
19．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書中有一道測(cè)量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為 m．
20．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為 米．
21．中華人民共和國國歌有84個(gè)字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上.要使國歌結(jié)束時(shí)國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為 （米/秒）
22．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為 m．(結(jié)果精確到1 m)
題型七：倍角關(guān)系
23．（多選題）（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，，則（ ）
A．B．的最小值為3
C．若為銳角三角形，則D．若，，則
24．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的最小值為 .
25．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別是，且為邊上的中點(diǎn)，且，則 ．
26．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足．
(1)求證：；
(2)若，求a邊的范圍；
(3)求的取值范圍．
題型八：三角形解的個(gè)數(shù)
27．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，．
（1）若，則 ；
（2）當(dāng) （寫出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿足條件的有兩個(gè)．
28．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為 .（請(qǐng)寫出所有正確答案的序號(hào)）
29．已知分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，若，，且有唯一解，則的取值范圍為 .
30．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個(gè)“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖．若為測(cè)量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與、不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：
①測(cè)量、、；
②測(cè)量、、；
③測(cè)量、、；
④測(cè)量、、．
其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是 ．
題型九：三角形中的面積與周長問題
31．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積為 .
32．（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若的面積為，求的周長．
33．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)．在中，，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的面積為，求的周長．
1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是邊一點(diǎn)，是的角平分線，則（ ）
A．B．1C．2D．
4．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南衡陽·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，為AC的中點(diǎn)，，則（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2024·北京·三模）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的周長為（ ）
A．10B．11C．D．12
7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若，，則（ ）
A．1B．2C．D．4
8．（2024·浙江紹興·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則A等于（ ）
A．B．C．D．
9．（多選題）（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，面積，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若是銳角三角形，則
C．若，則
D．若角的平分線長為，則
10．（多選題）（2024·廣東佛山·一模）在中，所對(duì)的邊為，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
11．（多選題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則有兩解
B．若，，則的面積最大值為
C．若，，，則外接圓半徑為
D．若，則一定是等腰三角形
12．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，已知，三角形面積為12，則 ．
13．（2024·新疆·三模）在中，，.則 .
14．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，則 ．
15．（2024·湖南長沙·三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是邊上的一點(diǎn)，且平分，求的長.
16．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.
(1)求角B；
(2)若的平分線交于點(diǎn)D，，，求的長.
17．（2024·天津南開·二模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，.
(1)求證：；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)若，求的值和的面積；
(2)在（1）的條件下，求的值；
(3)若，求的值.
19．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．
(1)求角；
(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．
1．（2024年上海高考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則 (精確到0.1度)
2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
5．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
6．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
7．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
8．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
9．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
10．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
12．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
14．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
15．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長．
16．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171368671" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc171368671 \h 2
\l "_Tc171368672" 題型一：正弦定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc171368672 \h 2
\l "_Tc171368673" 題型二：余弦定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc171368673 \h 2
\l "_Tc171368674" 題型三：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc171368674 \h 2
\l "_Tc171368675" 題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用 PAGEREF _Tc171368675 \h 3
\l "_Tc171368676" 題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 PAGEREF _Tc171368676 \h 3
\l "_Tc171368677" 題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc171368677 \h 4
\l "_Tc171368678" 題型七：倍角關(guān)系 PAGEREF _Tc171368678 \h 5
\l "_Tc171368679" 題型八：三角形解的個(gè)數(shù) PAGEREF _Tc171368679 \h 6
\l "_Tc171368680" 題型九：三角形中的面積與周長問題 PAGEREF _Tc171368680 \h 7
\l "_Tc171368681" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc171368681 \h 8
\l "_Tc171368682" 03 真題實(shí)戰(zhàn)練 PAGEREF _Tc171368682 \h 11

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