第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc171363109" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc171363109 \h 2
\l "_Tc171363110" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc171363110 \h 3
\l "_Tc171363111" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc171363111 \h 4
\l "_Tc171363112" 知識點(diǎn)1：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 PAGEREF _Tc171363112 \h 4
\l "_Tc171363113" 知識點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) PAGEREF _Tc171363113 \h 5
\l "_Tc171363114" 知識點(diǎn)3：與的圖像與性質(zhì) PAGEREF _Tc171363114 \h 6
\l "_Tc171363115" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc171363115 \h 8
\l "_Tc171363116" 題型一：五點(diǎn)作圖法 PAGEREF _Tc171363116 \h 9
\l "_Tc171363117" 題型二：函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc171363117 \h 11
\l "_Tc171363118" 題型三：函數(shù)的周期性 PAGEREF _Tc171363118 \h 12
\l "_Tc171363119" 題型四：函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc171363119 \h 14
\l "_Tc171363120" 題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心） PAGEREF _Tc171363120 \h 16
\l "_Tc171363121" 題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值） PAGEREF _Tc171363121 \h 18
\l "_Tc171363122" 題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc171363122 \h 19
\l "_Tc171363123" 題型八：根據(jù)條件確定解析式 PAGEREF _Tc171363123 \h 22
\l "_Tc171363124" 題型九：三角函數(shù)圖像變換 PAGEREF _Tc171363124 \h 25
\l "_Tc171363125" 題型十：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題 PAGEREF _Tc171363125 \h 27
\l "_Tc171363126" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc171363126 \h 30
\l "_Tc171363127" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171363127 \h 31
\l "_Tc171363128" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc171363128 \h 33
\l "_Tc171363129" 易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換錯(cuò)誤 PAGEREF _Tc171363129 \h 33
\l "_Tc171363130" 答題模板：求三角函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc171363130 \h 34
知識點(diǎn)1：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
【診斷自測】已知向量，向量，令．

(1)化簡，并在給出的直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出函數(shù)在內(nèi)的圖象；
(2)求函數(shù)的值域．
知識點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
【診斷自測】（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．方程的解為，
知識點(diǎn)3：與的圖像與性質(zhì)
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．
（3）最值
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫⒂嘞业膶ΨQ中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．
（5）單調(diào)性．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．
【診斷自測】（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，若的圖象過點(diǎn)，則（）
A．函數(shù)的最小正周期為1
B．函數(shù)圖象的一條對稱軸為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)
解題方法總結(jié)
1、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個(gè)重要結(jié)論；
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
2、與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
(1)若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則.
(2)若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則.
(3)若為奇函數(shù)，則.

題型一：五點(diǎn)作圖法
【典例1-1】已知函數(shù)，.
(1)在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在區(qū)間上的圖象時(shí)，列表如下：
將上述表格填寫完整，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；

(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值以及對應(yīng)的的值.
【典例1-2】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)，在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．
【方法技巧】
（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
【變式1-1】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)完善下面的表格并作出函數(shù)在上的圖象：
(2)將函數(shù)的圖象向右平個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到的圖象，解不等式.
【變式1-2】設(shè)函數(shù).
(1)列表并畫出，的圖象；

(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
題型二：函數(shù)的奇偶性
【典例2-1】若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則的值可以為（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：
（1）若為奇函數(shù)，則；
（2）若為偶函數(shù)，則；
（3）若為奇函數(shù)，則；
（4）若為偶函數(shù)，則；
若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．
【變式2-1】（2024·青海西寧·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函數(shù)滿足：，函數(shù)，若，則（）
A．B．0C．1D．4
【變式2-3】已知，則（）
A．B．0C．1D．2
題型三：函數(shù)的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（）
A．B．C．D．
【典例3-2】函數(shù)的最小正周期為（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：
（1）函數(shù)的周期分別為，．
（2）函數(shù)，的周期均為
（3）函數(shù)的周期均．
【變式3-1】已知函數(shù)，則（）
A．2025B．
C．D．
【變式3-2】已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為
A．B．C．D．
【變式3-3】設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_______．
【變式3-4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，則（）
A．0B．C．D．
【變式3-5】（2024·遼寧·二模）A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（）
A．B．-1C．D．2
題型四：函數(shù)的單調(diào)性
【典例4-1】（2024·全國·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【典例4-2】（2024·高三·山東青島·期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．
【方法技巧】
三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．
如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，
如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；
由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．
若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．
對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．
【變式4-1】函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【變式4-2】（2024·湖北·二模）將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．在區(qū)間上單測遞減D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【變式4-3】（2024·湖南長沙·二模）已知函數(shù)的最小正周期為，直線是圖象的一條對稱軸，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．
B．
C．
D．
【變式4-4】已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（）
A．
B．
C．
D．
【變式4-5】的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．
C．D．
題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的對稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則__________.
【典例5-2】寫出函數(shù)的一個(gè)對稱中心： .
【方法技巧】
關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個(gè)重要結(jié)論；
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為．
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
【變式5-1】（2024·高三·河南·期末）將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為 .
【變式5-2】（2024·河南開封·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，那么的最小值為．
【變式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且其相鄰對稱軸之間的距離為，則．
【變式5-4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則
題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）
【典例6-1】實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是___________.
【典例6-2】求的值域.
【方法技巧】
求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．
（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．
（6）導(dǎo)數(shù)法
（7）權(quán)方和不等式
【變式6-1】設(shè)，則的最小值為__________.
【變式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是．
【變式6-3】已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為__________．
【變式6-4】函數(shù)的值域?yàn)? .
【變式6-5】函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和是 .
【變式6-6】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是______________．
【變式6-7】已知向量，函數(shù).
(1)求；
(2)若把的圖象向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，求在上的值域.
【變式6-8】函數(shù)的值域?yàn)開____________．
題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例7-1】（多選題）（2024·貴州六盤水·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為，為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）
A．
B．
C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心
D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
【典例7-2】（多選題）（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)B．的最小正周期是
C．的值域?yàn)镈．在上單調(diào)遞增
【方法技巧】
三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因?yàn)閷ΨQ性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調(diào)性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）
【變式7-1】（多選題）（2024·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【變式7-2】（多選題）（2024·黑龍江佳木斯·三模）關(guān)于函數(shù)，則下列說法正確是（）
A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有40個(gè)零點(diǎn)
【變式7-3】函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式7-4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，求的值域；
(2)若關(guān)于x的方程有三個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)根，，，且，，求a的值．
【變式7-5】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型八：根據(jù)條件確定解析式
【典例8-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象如圖所示.將的圖象向右平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（）

A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象解析式為（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根據(jù)函數(shù)必關(guān)于軸對稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點(diǎn)或單調(diào)性來求解．
【變式8-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）函數(shù)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移得到，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【變式8-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【變式8-3】（2024·高三·北京東城·開學(xué)考試）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到新函數(shù)解析式為 .

【變式8-4】已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的解析式為．
【變式8-5】（2024·河北保定·一模）函數(shù)，（，，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下說法正確的是（）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對稱
D．若圓C的半徑為，則函數(shù)的解析式為
題型九：三角函數(shù)圖像變換
【典例9-1】（2024·高三·廣東湛江·期末）已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【典例9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【方法技巧】
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像．
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
【變式9-1】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（）
A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變
C．縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變
D．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，直線和為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸，為了得到函數(shù)的圖象，則將函數(shù)的圖象至少（）
A．向左平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度
【變式9-3】將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則進(jìn)行的平移是（）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位D．向左平移個(gè)單位
【變式9-4】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（）
A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度C2
D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2
題型十：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題
【典例10-1】已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠(yuǎn)，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）米．
【典例10-2】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進(jìn)倉，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（）
A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．
【方法技巧】
（1）研究的性質(zhì)時(shí)可將視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．
（2）方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負(fù)數(shù)）．若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，與時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．某時(shí)刻（單位：分鐘）時(shí)，盛水筒在過點(diǎn)（為筒車的軸心）的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5米，則再經(jīng)過分鐘后，盛水筒（）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好開始入水D．恰好開始出水
【變式10-2】摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度；
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.
（參考公式與數(shù)據(jù)：；；.）
【變式10-3】某興趣小組對小球在堅(jiān)直平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，將圓形軌道裝置放在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，此裝置的圓心距離地面高度為，半徑為，裝置上有一小球（視為質(zhì)點(diǎn)），的初始位置在圓形軌道的最高處，開啟裝置后小球按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要．小球距離地面的高度（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系滿足．
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求裝置啟動(dòng)后小球距離地面的高度；
(2)如圖2，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）在半徑為的另一圓形軌道裝置上，兩圓形軌道為同心圓，的初始位置在圓形軌道的最右側(cè)，開啟裝置后小球以角速度為順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．兩裝置同時(shí)啟動(dòng)，求兩球高度差的最大值．
【變式10-4】（2024·廣東珠?！つM預(yù)測）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）．某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個(gè)座艙（如圖2）．開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí)．

(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中，），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天輪后多長時(shí)間，首次距離地面的高度恰好為30米？
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（）
A．B．C．0D．
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．3B．4C．6D．8
4．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個(gè)周期為4，則的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）
A．與有相同的零點(diǎn)B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸
1．已知周期函數(shù)的圖象如圖所示，
（1）求函數(shù)的周期；
（2）畫出函數(shù)的圖象；
（3）寫出函數(shù)的解析式.
2．在直角坐標(biāo)系中，已知是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長為2的圓，角x（rad）的終邊與的交點(diǎn)為B，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出其圖象
3．已知函數(shù)，
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
4．已知函數(shù)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，若，求的值.
5．容易知道，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，即原點(diǎn)是正弦曲線的對稱中心，除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標(biāo)是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經(jīng)學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？對余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題
6．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換錯(cuò)誤
易錯(cuò)分析：函數(shù)中，參數(shù)的變化引起圖象的變換：的變化引起圖象中振幅的變換；的變化引起橫向伸縮變換；的變化引起左右平移變換；的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．
【易錯(cuò)題1】要得到函數(shù)，的圖象，只需將函數(shù)，的圖象（）
A．橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
B．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
C．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
D．橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變
【易錯(cuò)題2】已知曲線，，若想要由得到，下列說法正確的是（）
A．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位
B．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
C．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位
D．把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
答題模板：求三角函數(shù)解析式
1、模板解決思路
求三角函數(shù)解析式就是求其中參數(shù)，的值，根據(jù)各參數(shù)的幾何意義，結(jié)合所給的圖象，然后求出各參數(shù)的值即可，一般先求A，，然后求，最后求．
2、模板解決步驟
第一步：求A，，借助函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)來確定參數(shù)A，的值．
第二步：求，根據(jù)周期公式確定參數(shù)的值．
第三步：通過代入法求．
第四步：確定函數(shù)解析式．
【典型例題1】已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【典型例題2】若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像性質(zhì)
（2）三角函數(shù)圖像的平移與變換
（3）三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題
2024年天津卷第7題，5分
2024年北京卷第6題，5分
2024年II卷第9題，6分
2023年甲卷第12題，5分
2023年天津卷第5題，5分
2023年I卷第15題，5分
本節(jié)命題趨勢仍是突出以三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等重點(diǎn)內(nèi)容展開，并結(jié)合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應(yīng)用意識．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解正、余弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)．理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．
（2）了解函數(shù)的物理意義，能畫出的圖像，了解參數(shù)對函數(shù)圖像的影響．
（3）了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)，會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題．
0
函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
對稱中心
對稱軸方程
無
0
0
0
0
0
1

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