\l "_Tc171369617" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc171369617 \h 2
\l "_Tc171369618" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc171369618 \h 3
\l "_Tc171369619" 03 考點突破·題型探究 PAGEREF _Tc171369619 \h 4
\l "_Tc171369620" 知識點1：基本定理公式 PAGEREF _Tc171369620 \h 4
\l "_Tc171369621" 知識點2：相關(guān)應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369621 \h 4
\l "_Tc171369622" 知識點3：實際應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369622 \h 5
\l "_Tc171369623" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc171369623 \h 6
\l "_Tc171369624" 題型一：正弦定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369624 \h 7
\l "_Tc171369625" 題型二：余弦定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369625 \h 8
\l "_Tc171369626" 題型三：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc171369626 \h 9
\l "_Tc171369627" 題型四：正、余弦定理的綜合運用 PAGEREF _Tc171369627 \h 10
\l "_Tc171369628" 題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369628 \h 11
\l "_Tc171369629" 題型六：解三角形的實際應(yīng)用 PAGEREF _Tc171369629 \h 13
\l "_Tc171369630" 題型七：倍角關(guān)系 PAGEREF _Tc171369630 \h 16
\l "_Tc171369631" 題型八：三角形解的個數(shù) PAGEREF _Tc171369631 \h 17
\l "_Tc171369632" 題型九：三角形中的面積與周長問題 PAGEREF _Tc171369632 \h 18
\l "_Tc171369633" 04 真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc171369633 \h 20
\l "_Tc171369634" 05 課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171369634 \h 21
\l "_Tc171369635" 06 易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc171369635 \h 22
\l "_Tc171369636" 易錯點：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制 PAGEREF _Tc171369636 \h 22
\l "_Tc171369637" 答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形 PAGEREF _Tc171369637 \h 23
知識點1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
（2）面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
【診斷自測】在△ABC中，若，則（ ）
A．B．C．D．
知識點2：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對大角 大角對大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．
【診斷自測】（2024·四川眉山·三模）在中，分別是角所對的邊，若，則（ ）
A．B．C．D．
知識點3：實際應(yīng)用
1、仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
2、方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．
3、方向角：相對于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
4、坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【診斷自測】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為 ．
解題方法總結(jié)
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．

題型一：正弦定理的應(yīng)用
【典例1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，分別為角的對邊，若，，，則 （ ）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對角；
（3）兩邊一對角，求第三邊．
【變式1-1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為 ．
【變式1-2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知中，對應(yīng)邊分別是，若，則 .
【變式1-3】（2024·湖北黃石·三模）若的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A．B．C．D．6
【變式1-4】（2024·高三·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-5】在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
題型二：余弦定理的應(yīng)用
【典例2-1】在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且．若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2-2】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，其中，，角B= .
【方法技巧】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【變式2-1】已知分別為的內(nèi)角的對邊，且.角 .
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則 .
【變式2-3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2-4】在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則角= .
題型三：判斷三角形的形狀
【典例3-1】（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無法確定
【典例3-2】在中，內(nèi)角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．不能確定
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
【變式3-1】在中，若，則這個三角形是 ．
【變式3-2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【變式3-3】在△ABC中，，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【變式3-4】在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【變式3-5】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形D．等腰直角三角形
題型四：正、余弦定理的綜合運用
【典例4-1】在中內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則 ．
【方法技巧】
先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．
【變式4-1】（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
【變式4-2】（2024·新疆·一模）在中，角的對應(yīng)邊是，且，則（ ）
A．B．C．D．
【變式4-3】 中，角所對的邊分別為，若，且，則角
【變式4-4】（2024·四川攀枝花·二模）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則 ．
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用
【典例5-1】已知向量.
(1)求的取值范圍；
(2)記，在中，角的對邊分別為且滿足，求函數(shù)的值域.
【典例5-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的取值范圍；
（2）已知銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，求的面積．
【方法技巧】
正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用，主要體現(xiàn)在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，如和差化積、積化和差等，可以進一步簡化計算過程，提高解題效率。
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，將的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.
（1）求的值；
（2）在銳角中，若，求的取值范圍.
【變式5-2】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【變式5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．
【變式5-4】（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
題型六：解三角形的實際應(yīng)用
【典例6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為 ．

【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角，點C的仰角，以及.從點C測得,已知山高，則山高 m.
【方法技巧】
根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解．
【變式6-1】（2024·寧夏銀川·三模）某同學(xué)為測量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得在點測得塔頂A的仰角為，則塔高 m.
【變式6-2】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫椋貎A斜角為的斜坡向上走米到，在出測得山頂?shù)醚鼋菫椋?br>(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）
(2)求證;山高
【變式6-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A．B．C．D．
【變式6-4】如圖所示，在同一個鉛垂面，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫椋逼麻L為，在處測得山頂?shù)难鼋菫?，則山的高度為（ ）
A．B．
C．D．
【變式6-5】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練．已知點A到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點A觀察點的仰角的大小(仰角為直線與平面所成角)．若，，，則的最大值（ ）
A．B．C．D．
【變式6-6】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A．B．C．D．
題型七：倍角關(guān)系
【典例7-1】記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
【方法技巧】
解三角形中的倍角關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大小，來求解其兩倍角的大小所對應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。
【變式7-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）的內(nèi)角所對的邊分別為，則（ ）
A．2B．C．D．1
【變式7-2】在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
【變式7-3】（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰的內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
題型八：三角形解的個數(shù)
【典例8-1】設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是 .
【方法技巧】
三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
【變式8-1】在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為 .
【變式8-2】在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是 ．
【變式8-3】在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是 ．
【變式8-4】若滿足，，的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是 ．
題型九：三角形中的面積與周長問題
【典例9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，，且，則邊 ．
【典例9-2】記的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長
【方法技巧】
解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
【變式9-1】（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，邊上的高為，求三角形的周長．
【變式9-2】（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的最小正周期為
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)已知的三邊長分別為a，b，c，其所對應(yīng)的角為A，B，C，且，，，求該三角形的周長.
【變式9-3】（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分線交于點，且，，求的面積．
【變式9-4】（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．
【變式9-5】（2024·安徽蕪湖·三模）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且
(1)求；
(2)若的面積為，為邊上一點，滿足，求的長．
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
5．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面積為，求b，c的值.
2．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
3．已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)，求證：
（1）三角形的面積；
（2）若r為三角形的內(nèi)切圈半徑，則；
（3）把邊BC，AC，AB上的高分別記為,則，，.
4． 的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為，利用余弦定理證明，，
5．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.
易錯點：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制
易錯分析： 在解答過程中易忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思路受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象.
【易錯題1】在中，，，，則角A的大小為（ ）
A．B．或C．D．或
【易錯題2】在中，已知，，，則角__________．
答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形
1、模板解決思路
如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理．
2、模板解決步驟
第一步：結(jié)合正弦定理、余弦定理將關(guān)系式中的角化邊或者邊化角．
第二步：化簡上一步所得的式子，結(jié)合已知條件和余弦定理與正弦定理來進一步求解．
【經(jīng)典例題1】中，角，，的對邊分別為，，，若．
(1)求；
(2)若且的面積為，求邊長．
【經(jīng)典例題2】中， 角A， B， C所對應(yīng)的邊分別是a， b， c，且
(1)求A；
(2)若， 求BC邊上高的最大值.
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）正弦定理、余弦定理及其變形
（2）三角形的面積公式并能應(yīng)用
（3）實際應(yīng)用
2024年I卷第15題，13分
2024年II卷第15題，13分
2024年甲卷第11題，5分
2023年I卷II卷第17題，10分
2023年甲卷第16題，5分
2023年乙卷第18題，12分
2022年I卷II卷第18題，12分
高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應(yīng)用為主．從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，主要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
（3）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常見變形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無解

相關(guān)試卷

第04講 隨機事件、頻率與概率（六大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）：

這是一份第04講 隨機事件、頻率與概率（六大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考），文件包含第04講隨機事件頻率與概率六大題型講義原卷版docx、第04講隨機事件頻率與概率六大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（九大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）：

這是一份第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（九大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考），文件包含第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系九大題型講義原卷版docx、第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系九大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

第04講 數(shù)列的通項公式（十八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）：

這是一份第04講 數(shù)列的通項公式（十八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考），文件包含第04講數(shù)列的通項公式十八大題型講義原卷版docx、第04講數(shù)列的通項公式十八大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共98頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第04講 解三角形（九大題型）（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

第04講 解三角形（九大題型）（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）
第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部