一．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二．直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三．兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
【解題方法總結(jié)】
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
例1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圓：與直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
【答案】A
【解析】圓：的圓心為，半徑，
直線：即，則圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切.
故選：A
例2．（2023·全國·高三對口高考）若直線與圓相交，則點（ ）
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：
，即，
據(jù)此可得：點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.
故選：B.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相離C．相切D．相切或相交
【答案】C
【解析】利用圓心距和半徑的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.
由題意可得，于是，所以直線和圓相切.
故選: C.
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
【答案】A
【解析】已知直線過定點，
將點代入圓的方程可得，
可知點在圓內(nèi)，
所以直線與圓相交.
故選：A.
變式2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：與曲線C：的交點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．無法確定
【答案】B
【解析】曲線C：是圓心在上，半徑的圓，
則圓心與直線l的距離，
，
曲線C與直線l相切，即只有一個交點，
故選：B
變式3．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┲本€與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【答案】C
【解析】由直線得，
令，得，
故直線恒過點，
又，
即點在圓內(nèi)，
故直線與圓的位置關(guān)系為相交.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．
（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
題型二：弦長與面積問題
例4．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知直線：與圓：交于，兩點，則 ．
【答案】
【解析】由，故圓心，半徑為，
所以，圓心到直線的距離為，
∴．
故答案為：
例5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則 ．
【答案】/
【解析】由，得，則圓的圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離為
所以，解得．
故答案為：
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
【答案】（中任意一個皆可以）
【解析】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個皆可以）．
變式4．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為 .
【答案】或
【解析】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，
圓與軸相切，，
又圓心到直線的距離，
，解得：或，
所求圓的圓心為或，半徑，
圓的方程為或.
故答案為：或.
變式5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程 ．
【答案】或
【解析】圓的方程可化為，圓心為，半徑．
當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，
所以過點的直線的斜率存在，設(shè)過點的直線的方程為，即，則
圓心到直線的距為，
依題意，即，解得或，
故所求直線的方程為或．
故答案為：或．
變式6．（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓，即，
圓心為，半徑，
若弦長，則圓心到直線的距離，
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，
所以，解得，所以直線方程為.
故答案為：
變式7．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎本€l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有 條.
【答案】9
【解析】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；
圓心，半徑；
所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；
易知，當圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；
此時弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可??；
由對稱性可知，當弦長為時，各對應(yīng)兩條，共8條，
當弦長為8時，只有直徑1條，
所以滿足條件的直線l共有9條.
故答案為：9
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為圓與圓上的點，O為坐標原點，則面積的最大值為 .
【答案】/
【解析】設(shè)M：，則半徑為1；
圓N：，則，半徑為2.
以O(shè)N為直徑畫圓，延長BO交圓于F，連接FE，NE，NF，
如圖:
則，又，所以F為BO的中點，
由對稱性可得，
，及，
所以，
故當最大時，最大，
故轉(zhuǎn)化為在半徑為1的內(nèi)接三角形OEF的面積的最大值問題，
對于一個單位圓內(nèi)接三角形的面積，
，又，，
所以，
當且僅當時，即三角形為等邊三角形時等號成立，
此時，
所以，
即三角形OEF的面積的最大值為，
所以最大值為.
故答案為：
變式9．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是 .
【答案】/
【解析】，則圓C的圓心為，半徑為，
圓心C到直線l（弦AB）的距離為，
則，
則到弦AB的距離的最大值為，
則面積的最大值是.
故答案為：
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為 .
【答案】12
【解析】圓：，得圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，因此，
所以.
故答案為：.
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為 .
【答案】
【解析】由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因為，所以，則，于是，（由點A及C在y軸上可判斷出，同號）
所以，兩式消去，得，滿足，所以.
故答案為：
變式12．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【解析】圓的方程化為標準方程為：，
則圓心半徑，由題意知最長弦為過點的直徑，最短弦為過點和這條直徑垂直的弦，即，且，圓心和點之間的距離為1，
故，
所以四邊形ABCD的面積為．
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
弦長問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．
題型三：切線問題、切線長問題
例7．（2023·遼寧錦州·?？家荒＃懗鲆粭l與圓和曲線都相切的直線的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)切線與圓相切于點，則，
切線的方程為，即，
將與聯(lián)立，可得，
令，
聯(lián)立解得或或或
所以切線的方程為或或或.
故答案為：（答案不唯一）
例8．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示，設(shè)圓心為C點，則，
，則點在圓上，且，
由與圓相切可得：，則，，
則，故，則，
從而可得,
故答案為：.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為 ．
【答案】
【解析】圓的標準方程為：，
當直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，
因為直線與圓相切，
所以圓心到直線的距離相等，即，
化簡得，
解得，，
綜上：直線方程為：，
故答案為：
變式13．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為 ．
【答案】，或，或
【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
因為直線l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，
當直線過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，
此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；
當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，
此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，
綜上所述，直線l的方程為，或，或.
故答案為：，或，或.
變式14．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出經(jīng)過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程 .
【答案】（或，寫出一個方程即可）
【解析】拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為2.
記過點的直線為l，當l斜率不存在時，由圖可知l與圓相切，此時l的方程為；
當l斜率存在時，設(shè)其方程為，即，
因為直線l與圓相切，所以，解得
所以l的方程為，即.
故答案為：（或，寫出一個方程即可）
變式15．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點且與圓：相切的直線方程為
【答案】或
【解析】將圓方程化為圓的標準方程，得圓心，半徑為，
當過點的直線斜率不存在時，直線方程為 是圓的切線，滿足題意；
當過點的直線斜率存在時，
可設(shè)直線方程為，即，
利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，
即此直線方程為，
故答案為：或 ．
變式16．（2023·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【解析】由圓，可得圓心，半徑，
設(shè)切點為，因為，可得，
所以切線長為.
故答案為：.
變式17．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，
于是，
因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，
而點在拋物線內(nèi)，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，
所以的最小值為3.
故答案為：3.
變式18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)過點的切線與圓相切于點，連接，則，
圓的圓心為，半徑為，則，
當與直線垂直時，取最小值，且最小值為，
所以，，即切線長的最小值為.
故答案為：.
變式19．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點，過點作圓M：的切線，切點為，
由題意可知：，因為點，
所以，化簡整理可得：，
所以，因為，，
所以，解得：，
所以的取值范圍為，
故答案為：.
變式20．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【解析】由，得，
則圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
因為圓與直線相交所得圓的弦長是，
所以，解得或（舍去），
所以圓心為，半徑為，
所以與間的距離為，
所以所求的切線長為，
故答案為：.
變式21．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則 .
【答案】/0.75
【解析】由題意圓心為，半徑為2，
所以，解得．
故答案為：．
變式22．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為 .
【答案】
【解析】的圓心為，半徑，
的圓心為，半徑，
設(shè)，則，
所以，
取，
則，
當三點共線時取等號，
此時直線：
令，則，，
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
（1）圓的切線方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
題型四：切點弦問題
例10．（2023·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當四邊形面積最小時直線方程為 .
【答案】
【解析】如圖，由題可知 ，，由對稱性可知，

所以求四邊形的最小面積即求的最小值
設(shè)，，則
當，即時，，四邊形的最小面積為
所以
所以以為直徑的圓的方程為：
則為以圓和以為直徑的圓的公共弦
如圖所示
兩圓方程作差得：
所以直線方程為
故答案為：
例11．（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，
如圖所示，
根據(jù)圓的切線長公式，可得，
則，
當取最小值時，取最小值，此時，則，
則.
故答案為：.
例12．（2023·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．前三個答案都不對
【答案】B
【解析】設(shè)點，由于點M在橢圓上，所以，
由切點弦方程，
所以，
由于，
當時，上述不等式取等號，取得最大值3，此時面積取得最小值．
故選：B.
變式23．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設(shè)切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓，設(shè)，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為，
即與圓相離；
設(shè)為直線上的一點，則，
過點P作圓的切線，切點分別為，則有，
則點在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為 ，半徑為，
則其方程為，變形可得 ，
聯(lián)立，可得：，
又由，則有 ，
變形可得 ，
則有，可得，故直線恒過定點，
設(shè)，由于，故點在內(nèi)，
則時，C到直線的距離最大，
其最大值為,
故選∶B
變式25．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若圓關(guān)于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心在直線上，
即有 ，
設(shè)點 ，則 ，
故以為直徑的圓的方程為： ，
將和相減，
即可得直線的方程，即 ，
則直線恒過定點，
故選：C
變式26．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【解析】解析：如圖，
連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，
于是得四邊形面積為面積的2倍，
從而得，
即，
設(shè)點，而，
則，即，
所以，即，得，
所以的取值范圍為．故選BC．
變式27．（2023·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接、，
圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，
設(shè)點，則，則，
當且僅當時，等號成立，此時點與坐標原點重合，
由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，
則，所以，，
所以，，
此時點與坐標原點重合，且圓關(guān)于軸對稱，此時點、也關(guān)于軸對稱，
則軸，
在中，，，，則，
所以，，因此，直線的方程為.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．
題型五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題
例13．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，
設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，
則，解得或，
所以，直線、均與圓相交，
所以，，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
例14．（2023·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圓C：的圓心，半徑R
點C到直線的距離為
圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則
故選：B
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得，故選A.
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為圓心到直線的距離，
故要滿足題意，只需，解得.
故選：A.
變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點共有
A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.圓可變?yōu)椋?br>圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
圓上到直線的距離為的點共有個.
故選：C.
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得的取值范圍．作出到直線的距離為1的點的軌跡，得到與直線平行，
且到直線的距離等于1的兩條直線，
圓的圓心為原點，
原點到直線的距離為，
兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，
又圓上有4個點到直線的距離為1，
兩條平行線與圓有4個公共點，即它們都與圓相交．
由此可得圓的半徑，
即，實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
【解題方法總結(jié)】
臨界法
題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題
例16．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，
由題可知，圓心為點，半徑為1，
若直線上存在兩點，使得恒成立，
則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點到直線的距離為，
所以長度的最小值為.
故選：D
例17．（2023·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為 .
【答案】/
【解析】由圓知圓心，半徑，
因為與圓相切于點，所以，
所以，所以越小，越小，
當時，最小，
因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，
此時，，，
故的周長的最小值為.
故答案為：.
例18．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為 .

【答案】
【解析】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設(shè)的中心為點，由可知，點的軌跡是以為直徑的圓，
以為坐標原點，為軸，為軸建立直角坐標系，
則，，，，
以為直徑的圓的方程為，
設(shè)為圓心，可知坐標為，當最小時，，，三點共線，
可知此時直線的方程為，
則點到直線的距離為.
故答案為：.
變式31．（2023·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是 .
【答案】
【解析】對于，當時，，當時，，
所以，
所以，
圓的圓心，半徑，
圓心到直線的距離為，
所以點P到直線的距離的最大值，
點P到直線的距離的最小值，
所以面積的最大值為，
面積的最小值為，
所以面積的取值范圍是，
故答案為：
變式32．（2023·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】曲線表示的是以點為圓心，以為半徑的圓，
表示點到點的距離，
表示點到直線的距離，設(shè)點在直線上的射影點為，
則，
當且僅當、、三點共線且點為線段與圓的交點時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
變式33．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為 .
【答案】5
【解析】由題意圓與直線相切，
圓心為，半徑為，
函數(shù)過定點
如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，
，
四邊形OEMF為矩形，
已知，，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，
則
四邊形ABCD的面積為：，
從而：，
當且僅當時即取等號，
故四邊形ABCD的面積最大值是5，
故答案為：5.
變式34．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，
點在單位圓內(nèi)，點在單位圓外，
則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，
所求最小值為.
故答案為：.
變式35．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓的方程可化為，則圓心，半徑，
可得點到直線的距離為，
所以直線與圓相離，
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，
所以，
原題意等價于取到最小值，
當直線時，，此時最小.
的直線方程為：，
與聯(lián)立，解得：，即，
則的中點為，
所以以為直徑的圓的方程為，即，
兩圓的方程相減可得：，
即直線的方程為.
故答案為：.
變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】
設(shè)，，連接，所以，且，
所以，
，
所以求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，
故答案為：.
變式37．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為 ．
【答案】
【解析】直線過定點，直線過定點，
顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，
顯然點的坐標為，所以該圓的方程為，
由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
當點在如下圖位置時，的值最大，即，
所以|PM|的最大值為，
故答案為：
變式38．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上兩點，滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為時，，
所以函數(shù)的圖象過定點，
因為，
所以點三點共線，，
因為，為圓上兩點，
所以點為過點的直線與圓的兩個交點，
設(shè)線段的中點為，則，
因為表示點，到
直線的距離和，
表示表示點到直線的距離，
分別過點作與直線垂直，垂足為，
則，
所以，
因為，直線過點，所以，
所以，
所以，化簡可得，
即點在圓上，
所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
所以點到直線的距離的最小值為，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
變式39．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是 .
【答案】
【解析】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點，當垂直直線時，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.
故答案為：.
變式40．（2023·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，圓即，
圓心的坐標為，半徑，
直線，即，恒過定點，
又由圓的方程為，則點在圓內(nèi)，
分析可得：當直線與垂直時，弦最小，
此時，
則的最小值為；
故答案為：.
變式41．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為 ．
【答案】3
【解析】，，
，，，
設(shè)關(guān)于的對稱點為，
則，解得，即.
所以圓關(guān)于直線的對稱圓：
因為，，
所以.
故答案為：3
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】解法一：因為，所以令，，
則，，
故，其中，，因為，
所以，
所以，
故的取值范圍為．
解法二：因為圓心到直線的距離，
所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，
又因為，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
變式43．（2023·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點，若，則的最大值為 .
【答案】4
【解析】由，得為等腰直角三角形，
設(shè)為的中點，則，且，
則點在以為圓心，為半徑的圓上，
表示兩點到直線的距離之和，
兩點到直線的距離之和等于中點到直線的距離的2倍，
點到直線的距離為，
所以點直線的距離的最大值為，
所以的最大值為，
所以的最大值為.
故答案為：4.
變式44．（2023·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】，即，圓心為，半徑，
，即最小時，面積最小.
，故四邊形面積的最小值為.
故答案為：
變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
，
，即．
點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．
若直線上存在點Q使得，
則PQ為圓的切線時最大，
，即．
圓心到直線的距離，
或．
故選：C．
變式46．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（ ）
A．2B．3C．或D．2或4
【答案】C
【解析】根據(jù)米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點.
設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.
因為為，所以，即為等邊三角形，
所以，即或，解得或.
故選：C.
變式47．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側(cè)），點在圓上，當最大時，的面積為（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【解析】如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，
由題意可得，不妨設(shè)，
則A到BP的距離為，或（舍去）.
則，
此時到BP的距離為，
所以的面積為
故選：A
變式48．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】依題意，在中，，如圖，
顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，
因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，
在中，，所以.
故選：D
變式49．（2023·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎cP在圓上，點，，則錯誤的是（ ）
A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2
C．當最小時，D．當最大時，
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為4，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
則點到直線的距離的最小值為，最大值為，
所以點到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項A正確，B錯誤；
如圖所示，當最大或最小時，與圓相切，點位于時最小，位于時最大），
連接，，可知，，，
由勾股定理可得，故選項CD正確．
故選：B．
變式50．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┑聡鴶?shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
，
當且僅當時成立,解得，，
設(shè)的外接圓的方程為，
則，解得，，，
的外接圓的方程為．
故選：．
【解題方法總結(jié)】
直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．
題型七：圓與圓的位置關(guān)系
例19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】由已知直線，
則原點到直線l的距離為，
由直線l與圓相切，
則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，
因為圓和圓外切，
所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，
所以滿足條件的直線l有3條．
故選: B．
例20．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【解析】由已知可得，圓心，半徑.
由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，
又直線是圓的切線，
所以，直線是圓與圓的公切線.
因為，
所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，
即滿足條件的直線有4條.
故選：D.
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．外切B．內(nèi)切C．相交D．外離
【答案】C
【解析】圓的圓心為，
圓的圓心為，
所以
所以圓與的位置關(guān)系是相交.
故選: C.
變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，圓：，即，
其圓心為，半徑；
圓：，即，
其圓心為，半徑，
兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，
其公切線條數(shù)有3條．
故選：C．
變式52．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】B
【解析】圓：的圓心為，半徑為a，
所以圓心到直線的距離為，解得或．
因為，所以.
所以圓：的圓心為，半徑為．
圓：的標準方程為，
圓心坐標為，半徑，
圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
變式53．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】設(shè)P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，
因為，
所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點P的個數(shù)為2.
故選：B.
變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【解析】分別以為圓心，以為半徑作圓，
因為，
所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，
故選：C
變式55．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，
因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值為4.
故選：C.
變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3B．8C．4D．9
【答案】D
【解析】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，
所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設(shè)可知，
當且僅當a2＝2b2時等號成立．
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內(nèi)切；
（5）兩圓內(nèi)含；
題型八：兩圓的公共弦問題
例22．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為 ．
【答案】
【解析】聯(lián)立，兩式相減得.
故答案為：
例23．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為 .
【答案】
【解析】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，
將與作差得，
整理得，
即直線PQ的方程為.
故答案為：.
例24．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則
【答案】
【解析】圓的方程為，即①，
又圓：②，
②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為
圓的圓心到直線的距離，
所以．
故答案為: .
變式57．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長為 ．
【答案】
【解析】將圓與圓的方程作差可得，
所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，
圓的圓心為原點，半徑為，
原點到直線的距離為，
所以，兩圓的公共弦長為.
故答案為：.
變式58．（2023·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點，則 .
【答案】
【解析】將圓與圓的方程相減，
即得的方程為 ，
則的圓心為，半徑為，
則到直線的距離為 ，
故，
故答案為：
變式59．（2023·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點，則 .
【答案】
【解析】因為圓與圓相交于兩點，
所以直線AB的方程為：，
即，
圓心到弦AB的距離，
所以，
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
題型九：兩圓的公切線問題
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
【答案】或或（填其中一個即可）
【解析】設(shè)，，連接MN，則.
以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，
所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.
當公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.
當公切線的斜率存在時，設(shè)公切線的方程為，則有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切線方程為或.
綜上，直線l的方程為或或.
故答案為：或或
例26．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程 ．
【答案】或中任何一個答案均可
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則，
所以兩圓外離，
由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，
設(shè)公切線方程為，即，
則有，
解得或或或
所以公切線方程為或.
故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）
例27．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線，易得切線的方程為；
因為，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；
可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，
在上取點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，則，
解得，則，
所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：（答案不唯一，或均可以）
變式60．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知圓與圓有三條公切線，則 ．
【答案】或
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為圓與圓有三條公切線，所以兩圓外切，
所以
即
當時，，即
解得或（舍去）
當時，，即
解得或（舍去）
當時，，即
解得（舍去）
綜上，或
故答案為：或
變式61．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意作出如下圖形：
AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.
當公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即
不妨設(shè)
過作AB的平行線交于點E，則：，且
,
直線的斜率為：，
所以直線AB與直線的夾角正切為：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，，符合點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為 （寫出一條即可）．
【答案】或或或（寫出一條即可）
【解析】由題意可知直線l是圓與圓的公切線，
因為兩圓為外離關(guān)系，所以滿足條件的直線l有四條．
當直線l是兩圓的外公切線時，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點．
設(shè)直線l的方程為，則，解得，
此時直線l的方程為或．
當直線l是兩圓的內(nèi)公切線時，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點，
設(shè)直線l的方程為，則，解得，
此時直線l的方程為或．
故答案為：或或或（寫出一條即可）．
變式63．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【解析】對于圓，令，得，解得或，
則，．
設(shè)，∵，∴，
則，整理得，
則點N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．
又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．
∵，∴兩圓相交，
設(shè)直線l與圓M和點N軌跡圓E切點分別為C，D，
連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點F，則四邊形CDFM為矩形，
∵，，∴，
則，
則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
待定系數(shù)法
1．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點，直線與交于，兩點，為的中點，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)，則，
根據(jù)題意可得：，
，又，
當，，時，
取得最大值．
故選：．
2．（2023?新高考Ⅰ）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則
A．1B．C．D．
【答案】
【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；
設(shè)，切線為、，則，
中，，所以，
所以．
故選：．
3．（2022?北京）若直線是圓的一條對稱軸，則
A．B．C．1D．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標為，
直線是圓的一條對稱軸，
圓心在直線上，可得，即．
故選：．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．
（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．
2023年乙卷（理）第12題，5分
2023年I卷第6題，5分
2023年II卷第15題，5分
2022年I卷第14題，5分
高考對直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，但命題形式上比較靈活，備考時應(yīng)熟練掌握相關(guān)題型與方法，除了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷外，還特別要重視直線與圓相交所得弦長及相切所得切線的問題．
位置關(guān)系
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征
無實數(shù)解
一組實數(shù)解
兩組實數(shù)解
一組實數(shù)解
無實數(shù)解
公切線條數(shù)
4
3
2
1
0

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