技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
技巧二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設(shè) ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xy，
則，設(shè)，則
技巧四．等和線
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
技巧五．平行四邊形大法
1、中線長(zhǎng)定理
2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：
兩式相減：
技巧六．向量對(duì)角線定理
題型一：三角不等式
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，若對(duì)任意，恒成立，則 的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】解析：因?yàn)椋?br>則， 因?yàn)椋?br>由，
由，即，由，則恒成立.
由,即
則
，
解得，又
所以.
故答案為：
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，若對(duì)滿足條件的任意向量，恒成立，則的最小值是______________．
【答案】
【解析】由題意設(shè)， ，
由， ，
化簡(jiǎn)得恒成立，所以， ，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取到等號(hào)；
故答案為： .
例3．已知向量滿足，，若關(guān)于的方程有解，記向量的夾角為，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】不妨令，
由，可得；
，
故可得，
整理得，
要使得該方程有解，則，
整理得，又因?yàn)椋?br>故可得，解得.
又因?yàn)椋士傻茫?br>故可得.
故答案為：.
變式1．已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對(duì)任意均有的最小值為，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】根據(jù)的最小值為，代入得關(guān)于的一元二次不等式，利用等號(hào)可以取到判斷出，然后設(shè)為軸的方向向量，為軸方向向量，，則得關(guān)于點(diǎn)的軌跡方程，利用拋物線的定義將向量模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為距離，計(jì)算最小值.，即，所以，即，設(shè)為軸的方向向量，為軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，所以，得；，因?yàn)闉閽佄锞€向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)到的距離與到的距離相等，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.
故答案為：
變式2．已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】設(shè)，則，則由條件知，
所以，所以，
又
所以．
故答案為：.
變式3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，滿足，，，則的取值范圍是___________．
【答案】.
【解析】如圖，
設(shè)，則，
取的中點(diǎn)，
則，
，
又，
，
，
，
，即．
故答案為：．
題型二：定義法
例4．已知向量，的夾角為，且，向量滿足，且，記，，則的最大值為______.
【答案】
【解析】

設(shè)，則，
由，知，即，
所以，
因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上，
設(shè)，則，
所以
故原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，
在中，由余弦定理知，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
即，即，
所以.
故答案為：
例5．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，滿足，，，向量與向量的夾角為，則的最大值為______．
【答案】
【解析】依題意可知，所以，不妨設(shè)，，，則，
由與的夾角為可知，所以四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在的外接圓上.
，則，由正弦定理得的外接圓直徑，所以的最大值為.
故答案為：.
例6．（2023·浙江紹興·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，且，若向量滿足，則的最大值是______．
【答案】6
【解析】如圖，設(shè)，，，，
連接，，
則由可知四邊形為矩形，
則．
由，
可得，
連接，
則，
所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，
所以的最大值為．
故答案為：6.
變式4．已知向量，滿足，，且，若向量與的夾角為30°，則的最大值是___________.
【答案】
【解析】
設(shè)
所以, 所以,
所以，
因?yàn)椋?br>所以
所以四點(diǎn)共圓.設(shè)外接圓半徑為,
要使最大，所以必須過圓心，
此時(shí)，在中，由余弦定理得.
由正弦定理得.
故答案為：
變式5．已知向量，滿足，若以向量為基底，將向量表示成 為實(shí)數(shù)），都有，則的最小值為________
【答案】
【解析】由題可知，
不妨設(shè)，,,則點(diǎn)、分別在以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為和的圓上運(yùn)動(dòng)，
又 為實(shí)數(shù)），都有，
所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)且此線與半徑為2的圓相切時(shí)，向量的夾角最大，此時(shí)，的最小.
此時(shí)，在中，由余弦定理可得，
,
故答案為：.
變式6．已知向量、滿足：，.設(shè)與的夾角為，則的最大值為___________.
【答案】/
【解析】設(shè)，則，設(shè)向量、的夾角為，
若，則，可得，
由題意可得，解得，
所以，，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，
且.
故答案為：.
題型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】如圖，
，，且，
，
．
由題意可得，，，
，
，則，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
的最小值為．
故答案為：．
例8．（2023·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)、分別在邊，上，，，若，則的最小值__________．
【答案】
【解析】,.由于,在區(qū)間上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)取得最小值為.
例9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為_____________．
【答案】/
【解析】由題意，設(shè)，
，
所以時(shí)，取得最大值．
故答案為：．
變式7．菱形的邊長(zhǎng)為，，若為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為______．
【答案】/
【解析】設(shè)，
則
，
所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值．
故答案為：．
變式8．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，若為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為___________.
【答案】36
【解析】，，其中，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
故答案為：36
變式9．平面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】/
【解析】如圖所示，

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義知：當(dāng)點(diǎn)M在C點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，
所以此時(shí)最大，
因?yàn)?，?br>所以
，
所以的最大值為.
故答案為：
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，．若，且，則的最大值為______．
【答案】
【解析】令，，則，故，又，所以．以為直徑作直角三角形的外接圓，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，即取得最大值．
令，連接．設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線上，又，所以，即，所以．結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且．
故答案為：
變式11．已知平面向量，，滿足，，，且與的夾角為，則的最大值為 ______________．
【答案】
【解析】∵，，，
∴cs＜，＞＝﹣，即與的夾角為，
如圖，作，，，連接AC，BC，則＝，＝，
∴∠ACB＝，
又∠AOB＝，∴O，A，C，B四點(diǎn)共圓，
故當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，||最大，
此時(shí)A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC，
在中，OC＝，
在中，OC＝，
∴＝，即＝，
∴cs∠AOC＝（﹣cs∠AOC+sin∠AOC），
整理得，2cs∠AOC＝sin∠AOC，
∴tan∠AOC＝2，cs∠AOC＝，
∴OC＝＝，即||的最大值為．
故答案為：．
變式12．已知平面向量、、滿足，，，，則最大值為__________.
【答案】
【解析】設(shè)與所成夾角為
則
因?yàn)?，，所以的夾角為
設(shè)，則
所以，設(shè)到的距離為
則，所以
因?yàn)椋渣c(diǎn)落在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上
所以到的距離最大值為
所以的最大值為
所以的最大值為
故答案為：
變式13．在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為________.
【答案】/
【解析】由為邊上任意一點(diǎn)，則，
，
可得，則，即，由，可得，則，
故，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
故答案為：.
題型四：幾何意義法
例10．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是平面向量，滿足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是______.
【答案】
【解析】由，則，
即，即，即，
又由，所以，，
不妨設(shè)，，，
則，即，
即，則
故向量在向量上的投影的數(shù)量為，
又，所以，
所以向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是.
故答案為：.
例11．（2023·上海浦東新·上海市建平中學(xué)?？既＃┮阎橇闫矫嫦蛄?，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】如圖：
以點(diǎn)為起點(diǎn)作向量，，，
則，，，
由，的夾角為，與的夾角為可知：四點(diǎn)共圓，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，
設(shè)，則，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
則的取值范圍是
故答案為：
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量夾角為，且平面向量滿足記為（）的最小值，則的最大值是__________．
【答案】
【解析】設(shè)，，，則，，
依題意可知，，，，故點(diǎn)在△的外接圓上.
其半徑，為點(diǎn)到直線的距離，
顯然，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，有最大值.
故答案為：.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．
【答案】
【解析】∵，,∴，
如圖所示，設(shè)平面向量，，都是以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)分別是A,B,C，
則平面向量+的終點(diǎn)N到O的距離為2，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.
由與的夾角為，∴點(diǎn)C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上，
當(dāng)C,M,N共線，且C,N在直線AB的兩側(cè)，并且CM⊥AB時(shí)，|CN|最大，也就是取得最大值,
此時(shí),, |CN|=,
故答案為：.
變式15．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知非零平面向量，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】如圖：
以點(diǎn)為起點(diǎn)作向量，，，
則，，，
由，的夾角為，與的夾角為可知：四點(diǎn)共圓，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，
設(shè)，則，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
則的取值范圍是
故答案為：
變式16．已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的最大值是______.
【答案】/
【解析】根據(jù)題意，作圖如下：
令，
根據(jù)題意可得：，且，
取中點(diǎn)為，故，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)；
顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，即；
不妨設(shè)三角形的外接圓圓心為，顯然，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，同時(shí)；
顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，
此時(shí)
故，當(dāng)且僅當(dāng)，且四點(diǎn)共線時(shí)取得.
故答案為：.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面向量滿足：的夾角為，，則的最大值為_____.
【答案】/
【解析】設(shè)，，，則有，，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，
則
，
因?yàn)?，?br>所以的外接圓的直徑，
所以點(diǎn)的軌跡是過、且半徑為2的圓（除去兩點(diǎn)），記圓心為，
當(dāng)在圓上時(shí)，，此時(shí)（不能與重合），
所以，
當(dāng)不在圓上時(shí)， ，，又，
所以，所以，
所以，
所以，
故的最大值為.
故答案為：
變式18．（2023·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.
【答案】
【解析】如圖1，令，，，則，取AB中點(diǎn)M .
由，可得，
，
所以，即C在以M為圓心、為半徑的圓上.
由，當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)（M在線段OC上），.
由于O在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G，
由正弦定理可知，即，
當(dāng)時(shí)，圓G半徑取得最大值.
當(dāng)O、M、G三點(diǎn)共線（G在線段OM上），且時(shí)，
取得最大值，此時(shí)，
所以.
如圖2，顯然當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線（點(diǎn)C在線段OM上），
當(dāng)時(shí)，圓G半徑取得最小值.
，即M、G兩點(diǎn)重合.取得最小值為2.
則時(shí)，.
故向量的模取值范圍是
故答案為：
變式19．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，若，且，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意知：向量，為單位向量，
因?yàn)?，所以，則，
所以，即與夾角為.
如圖作向量，，，
則，，，，
因此，
則，
所以，
故，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在線段上，
則的幾何意義表示線段的中點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，
記線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
，所以，
因此，
由圖形可得，，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
變式20．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為________.
【答案】/
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，，
如圖，向量的終點(diǎn)在以A點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，
又，
所以的最大值為，即的最大值為.
故答案為：.
變式21．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，?br>設(shè)，，，則，
，，．
因?yàn)榕c的夾角為，所以，
的外接圓的直徑為：
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓中的優(yōu)?。ú缓c(diǎn)，），
由，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓，如圖，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線，且在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，且最大值是，
故的最大值為．
故答案為：
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾角為，則的最大值為___________.
【答案】60
【解析】
如圖所示，設(shè)
所以，,
因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，向量與向量的夾角為，
所以 所以，
所以四點(diǎn)共圓.
在△中，由正弦定理得
所以因?yàn)?
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值為60.
故答案為：60
題型五：坐標(biāo)法
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.
【答案】5
【解析】令，
，
，
，
令，
設(shè)，則
，，
令，
若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，
顯然，函數(shù)在取得最值，
，
故答案為：5.
例14．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量滿足，，，的夾角為，且，則的最大值是______.
【答案】
【解析】由題意設(shè)，，
所以，
即.
所以的最大值為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，即.
故答案為：.
例15．設(shè)平面向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．
【答案】/
【解析】由題知，，與的夾角為，
以的起點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
化簡(jiǎn)得，即，
所以的終點(diǎn)落在以為圓心，半徑為的圓上，
易知在圓內(nèi)，，
所以的最大值為，
故答案為：.
變式23．（2023·安徽滁州·?？既＃┮阎矫嫦蛄浚?，滿足，，，與的夾角是，則的最大值為__________.
【答案】5
【解析】如圖，設(shè)，
因?yàn)榕c的夾角是，
所以，所以點(diǎn)所在的圓中，弧所對(duì)的圓心角為，
所以點(diǎn)在兩圓弧或上，
因?yàn)椋O(shè)，
把代入中化簡(jiǎn)得
，
因?yàn)榇朔匠逃薪?，所?br>即，
化簡(jiǎn)得，解得；
把代入中化簡(jiǎn)得
，
因?yàn)榇朔匠逃薪?，所?br>即，
化簡(jiǎn)得，解得；
所以的最大值為5
變式24．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為_________．
【答案】/
【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
則，
由，得，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
變式25．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為______．
【答案】2
【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，令，設(shè)，
由，得，由，得，由，得，即，
，
則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為2.
故答案為：2
變式26．（2023·四川眉山·仁壽一中校考一模）如圖，在平面四邊形中，，，，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】
【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
變式27．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值是______.
【答案】
【解析】設(shè)，
則
由，則
即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為的橢圓上
所以滿足
則，且
故當(dāng)時(shí)，有最小值
故答案為：
變式28．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，且的最小值為1（為實(shí)數(shù)），記，，則最大值為______.
【答案】-3
【解析】設(shè),
由的最小值為1（為實(shí)數(shù)），
到OA距離為1，
如圖建立坐標(biāo)系，，
，，
，
，
令
，
令，得，
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞增；
，
，
，即最大值為
故答案為：
變式29．在矩形中，，，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，因?yàn)椋?br>所以，，.
因?yàn)椋?，?br>所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故選: B.
題型六：極化恒等式
例16．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】如下圖所示：
設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，為圓的一條直徑，
，
當(dāng)為正方形的某邊的中點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)與正方形的頂點(diǎn)重合時(shí)，，即，
因此，．
故答案為：．
例17．（2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長(zhǎng)為6 的可移動(dòng)的線段，，， ，則的取值范圍為 ________________ ．
【答案】
【解析】在上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，
如圖所示：
則，，，
，即．
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
所以．
當(dāng)與重合時(shí)，，，
則，
當(dāng)與重合時(shí)，，，
則，
所以，即的取值范圍為．
故答案為：
例18．（2023·陜西榆林·三模）四邊形為菱形，，，是菱形所在平面的任意一點(diǎn)，則的最小值為________．
【答案】
【解析】由題設(shè)，，取的中點(diǎn)，連接，，，
則，，
所以．
故答案為：
變式30．（2023·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【解析】如圖，延長(zhǎng)到D，使得．
因?yàn)?，所以點(diǎn)P在直線上．
取線段的中點(diǎn)O，連接，
則．
顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，
因?yàn)?，則，所以，
所以的最小值為．
故選：C．
變式31．（2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因?yàn)槭莾?nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因?yàn)镸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以；當(dāng)與重合時(shí)，，
所以的取值范圍是，
故選：C
題型七：矩形大法
例19．已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以為鄰邊作矩形，則
由得
，即，
的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
，
．
例20．在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以四邊形是平行四邊形，
又，所以四邊形是矩形，
從而，因?yàn)椋?，?br>例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______．
【答案】/
【解析】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形?br>設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設(shè)，則由①可得，
整理得：，
從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，
因?yàn)?，所?；
解法2：如圖，因?yàn)?，所以?br>故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，
所以，從而，
故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以．
故答案為： ．
變式32．設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
表示以為圓心，為半徑的圓，
則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，
因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，
故選：B
題型八：等和線
例22．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，
設(shè)，則，
∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，
∴
∴
故選：A.
例23．在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，從而有；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，）?br>所以，即，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，即.
綜上，的取值范圍是.
故選：C.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖,，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如圖，，
點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，
且.，
由向量加法的平行四邊形法則，
為平行四邊形的對(duì)角線，
該四邊形應(yīng)是以與的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，
當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，
，
的取值范圍為.
故選：B
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.

則.不妨設(shè).
因?yàn)?，所以，解得：?br>所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)最大；當(dāng)時(shí)最小.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
變式34．（2023·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由題意可知，在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
令，則，，,，
又，
則，則，
則，
又，
則，
則，
即，
故答案為：.
變式35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，，C為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，則，
由得
從而
則，易知，
故在上單調(diào)遞增，
∴，.
故.
故答案為：
變式36．（2023·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，．
由，得，，
，
點(diǎn)在弧上由運(yùn)動(dòng)，在，上逐漸變大，變小，逐漸變大，
當(dāng)時(shí)取得最大值4，當(dāng)時(shí)取得最小值．
的取值范圍是，．
故答案為：．
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則可知：
若取，則，點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，A正確；
若取，則，點(diǎn)在直線的上方，B錯(cuò)誤；
若取，則，點(diǎn)在直線的下方，C錯(cuò)誤；
若取，則，點(diǎn)在射線上，D錯(cuò)誤，
故選：A.
變式38．如圖，B是的中點(diǎn)，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，
③若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段
④的最大值為
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，則在線段上，故，故①錯(cuò)
當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，
，故②對(duì)
為定值1時(shí)，，，三點(diǎn)共線，又是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故的軌跡是線段，故③對(duì)
如圖，過作，交于，作，交的延長(zhǎng)線于，
則：；
又；，；
由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：；
此時(shí)取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正確
所以選項(xiàng)②③④正確.
故選：C
變式39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，所以，即為等邊三角形，以為軸，線段的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，
分別以為圓心作半徑為1的圓，如圖，是所在圓的最低或最高點(diǎn)，點(diǎn)在線段，半圓，線段，半圓所圍區(qū)域內(nèi)，設(shè)，則，，
，，，
由得，
所以，，
因?yàn)?，所以，即的最大值是?br>故選：C．
變式40．在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由題意，
設(shè)，，
則，
所以，，得，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
故選：D
變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，M為線段EF的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故
故，故.
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：.
變式42．在扇形中，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
令，則，
因?yàn)?，則，,，
又，
則，
則，
則，
又，
易知為減函數(shù)，
由單調(diào)性易得其值域?yàn)?
故選：B.
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若（）存在最大值，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為1，以所在的直線為軸，為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，由題意可得
令
則在上不是單調(diào)函數(shù)，從而在上一定有零點(diǎn)
即在時(shí)有解，可得
解得，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)取得最大值
故答案選
題型九：平行四邊形大法
例25．如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.
設(shè)為和的夾角.
則
，
，
（當(dāng)即時(shí)取等）
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值.
，
（當(dāng)即時(shí)取等）
當(dāng)時(shí)，有最大值為3，
即有最大值3，所以的取值范圍是.
故答案為：
例26．如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)，，
則，，
則，
其中，
所以的最大值為：
，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最小值為，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
綜上，的取值范圍為.
故答案為：.
例27．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.
【答案】
【解析】建系，不妨設(shè)，，，則，再利用柯西不等式將所求轉(zhuǎn)化為，利用換元法求出最大值，最小值顯然為共線方向時(shí)取得.不妨設(shè)，，，由已知，得，，
，令
，則，又顯然當(dāng)，向量反
向時(shí)，最小，即，，此時(shí)，綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
變式44．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，
所以，
，
因?yàn)?br>，
所以，，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，所以，，
所以，，所以，，
因?yàn)?，則，
故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí)，，
因此，.
故答案為：.
變式45．（2023·福建·高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是圓，圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】連接分別與兩圓交于，又兩圓外切于點(diǎn)，
三點(diǎn)共線，連，延長(zhǎng)交圓與，連，
分別為圓，圓的直徑，
，
又，，
設(shè)為中點(diǎn)，連，
先固定，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，
當(dāng)在同向投影最大值時(shí)為與平行的圓切線的切點(diǎn)，
記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影
，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，
同理當(dāng)在投影最?。ㄔ诜聪蛏希r(shí)，
為與平行的圓切線的切點(diǎn)，
記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，
所以的數(shù)量積取值范圍是.
故選：C.
題型十：向量對(duì)角線定理
例28．已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】由對(duì)角線向量定理得，
所以，
而，
所以，選擇C．
例29．如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）
B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得
所以選D．
例30．如圖，在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖所示，由對(duì)角線向量定理得
=，所以選A．

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