一．任意角的三角函數(shù)的定義
二．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
1.口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).
2.根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：
(1)正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)；
(2)余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)；
(3)正切函數(shù)值的符號(hào)是由x，y的符號(hào)共同決定的，即x，y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).
三.誘導(dǎo)公式一
(1)語(yǔ)言表示：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.
(2)式子表示：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin（α＋k·2π）＝sin α，,cs（α＋k·2π）＝cs α，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tan α，))
四.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形
(1)sin2α＋cs2α＝1?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sin α＝±\r(1－cs2α)，,cs α＝±\r(1－sin2α)，,（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.))
(2)tan α＝eq \f(sin α,cs α)?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
一．三角函數(shù)的定義
(1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出各三角函數(shù)值．
(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)(x≠0)是單位圓上一點(diǎn)，則sin α＝y(tǒng)，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).
(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)不是單位圓上一點(diǎn)，則先求r＝eq \r(x2＋y2)，再求sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).
(4)若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．
二．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.
(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.
(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cs2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.
三．已知tan α的值，求關(guān)于sin α，cs α齊次式的值的方法
(1)對(duì)只含有sin α，cs α的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，通過(guò)除以某一齊次項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.
(2)對(duì)于形如eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的分式，分子、分母同時(shí)除以cs α，cs2α，將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值.
(3)對(duì)于形如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的式子，將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cs2α，轉(zhuǎn)化為形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,sin2α＋cs2α)的式子求值.
四．已知 sin α±cs α，sin αcs α求值問(wèn)題
一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(2)(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ；
(3)(sin θ＋cs θ)2＋(sin θ－cs θ)2＝2；
(4)(sin θ－cs θ)2＝(sin θ＋cs θ)2－4sin θcs θ.
上述三角恒等式告訴我們，已知sin θ＋cs θ，sin θ－cs θ，sin θcs θ中的任何一個(gè)，則另兩個(gè)式子的值均可求出.
五．證明三角恒等式常用的方法
(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)；
(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；
(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)地變形，以消除差異；
(4)變更命題法，如要證明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可證ad＝bc，或證eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等；
(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“eq \f(左邊,右邊)＝1”.
六．含有條件的三角恒等式證明的常用方法
(1)直推法：從條件直推到結(jié)論；
(2)代入法：將條件代入到結(jié)論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明；
(3)換元法：把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)即可完成證明.
考點(diǎn)一 坐標(biāo)法求三角函數(shù)值
【例1-1】（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學(xué)校考期末）已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，起始邊為軸非負(fù)半軸，若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）若，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·云南大理 ）已知角的終邊落在直線上，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川眉山·高一?？计谥校ǘ噙x）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
4（2023春·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)二 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
【例2-1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若且，則的終邊所在象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例2-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x為第二象限角時(shí)， （ ）
A．1B．0
C．2D．－2
【例2-3】（2023春·新疆·高一八一中學(xué)?？计谥校┤簦?，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x軸的非負(fù)半軸上
D．第二、四象限或在x軸上
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）若，，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知為第二或第三象限角，則（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式一
【例3-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）的值為（ ）
A．－B．
C．－D．
【例3-2】（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·天津南開(kāi)·高一學(xué)業(yè)考試）的值為（ ）．
A．1B．0C．D．不存在
2．（2023春·廣東河源·高一校考階段練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學(xué)?？计谀? ）
A．B．C．D．
4．（2023秋 單元測(cè)試）代數(shù)式的值為（ ）
A．－B．C．－D．
考點(diǎn)四 同角三角函數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【例4-1】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知是第二象限角，，則（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）若是第四象限的角，且，則 .
【一隅三反】
1．（2023春·山東濟(jì)南·高一?？茧A段練習(xí)）若，且為第三象限角，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川宜賓·高一?？计谥校┮阎?，其中，的值為（ ）
A．－B．－C．D．
考點(diǎn)五 弦切互化求值
【例5】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知，則
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知，則的值為 .
2．（2023春·四川自貢·高一?？计谥校┮阎?，求下列各式的值.
(1)；
(2).
3．（2023春·四川達(dá)州·高一校考期中）已知
(1)求的值；
(2)求的值．
考點(diǎn)六 sin α±cs α，sin αcs α求值
【例6-1】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【例6-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知與是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知.
(1)求sin θcs θ的值；
(2)求sin3θ＋cs3θ的值．
考點(diǎn)七 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
【例7】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)．
【一隅三反】
1（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，化簡(jiǎn)：．
2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一尚志市尚志中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)；
（2）化簡(jiǎn)，其中是第三象限角．
考點(diǎn)八 三角恒等式的證明
【例8】（2023湖南）求證：
（1）；
（2）；
（3）.
【一隅三反】
1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求證：
(1)
(2)
2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求證：
(1)＝；
(2)
3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）證明下列恒等式：
（1）
（2）
前提
如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)
定義
正弦
y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)
余弦
x叫做α的余弦函數(shù)，記作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函數(shù)
正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)
描述方式
基本關(guān)系
基本關(guān)系式
語(yǔ)言描述
平方關(guān)系
sin2α＋cs2α＝1
同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1
商數(shù)關(guān)系
Tan α＝eq \f(sin α,cs α)(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)
同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.2.1 三角函數(shù)的概念

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