第2課時

一、教學(xué)目標(biāo)
1．進(jìn)一步理解三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號；
2．能夠根據(jù)三角函數(shù)的定義和象限角的特點(diǎn)，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式一，并運(yùn)用其進(jìn)行簡單的三角函數(shù)值求值；
3．通過對三角函數(shù)在各象限符號的討論和誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問題能力；
4．在運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解決問題的過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用能力
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號，利用公式一進(jìn)行化簡求值．
難點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)在個象限符號的規(guī)律以及公式一的識記與應(yīng)用．

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：任意角的三角函數(shù)的定義是什么？
答：設(shè)α是一個任意角α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)，
（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記做sinα，即y=sinα；
（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記做csα，即x=csα；
（3）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切函數(shù)，記做tanα，即yx=tanα(x≠0).
yx=tanα(x≠0)也是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)．
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為
正弦函數(shù) y = sinx，x∈R；
余弦函數(shù) y = csx，x∈R；
正切函數(shù) y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義，引入本節(jié)新課，建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括推理的能力.
通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，從定義與實例都可以看出，任意角的正弦、余弦與正切，都既有可能是正數(shù)，也有可能是負(fù)數(shù)，還可能為0．它們的符號與什么有關(guān)？一起來探究吧！
（二）探究新知
任務(wù)1：探究三角函數(shù)值在各象限的符號
探究1：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入表5.2-1.
表5.2-1
師生活動：教師提出問題后，學(xué)生獨(dú)立思考，完成表5.2-1．
設(shè)計意圖：任意角的三角函數(shù)定義的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.
思考：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，sinα、csα、tanα的符號取決于什么？
師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考，再匯報展示.
答：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，sinα、csα、tanα的符號取決于角的終邊與單位圓交點(diǎn)縱坐標(biāo)的符號、橫坐標(biāo)的符號以及縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值的符號.
探究2：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，你能得到各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號嗎？將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入下圖中的括號.
y
y
y
O
O
x
x
O
x
（ ） + （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
sin α cs α tan α
師生活動：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.
設(shè)計意圖：從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)三角函數(shù)值在各象限的符號.
結(jié)論：簡記口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考：終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)正負(fù)如何？
師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考，再合作交流.
答：終邊落在x軸非負(fù)半軸時，sinα=0,csα=1,tanα=0；
終邊落在y軸非負(fù)半軸時，sinα=1,csα=0,tanα不存在；
終邊落在x軸非正半軸時，sinα=0,csα=?1,tanα=0；
終邊落在y軸非正半軸時，sinα=?1,csα=0,tanα不存在.
任務(wù)2：探索誘導(dǎo)公式一
思考：根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？
要求：先獨(dú)立思考，再合作交流
答：終邊相同的角，其同一三角函數(shù)的值相等．
師生活動：給出問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行分析，再讓學(xué)生嘗試歸納誘導(dǎo)公式一.
總結(jié)：公式一：
sin(α＋k·2π)＝sin α，cs(α＋k·2π)＝cs α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為0～2π(或0°～360°)角的三角函數(shù)值．
設(shè)計意圖：在問題的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自己嘗試歸納總結(jié)誘導(dǎo)公式一，使學(xué)生對公式一有更深刻的理解.
（三）應(yīng)用舉例
例1 求證：角θ為第三象限角的充要條件是sinθ0.②
證明：先證充分性，即如果①②式都成立，那么θ為第三象限角.
因為①式sin θ0成立，所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限.
因為①②式都成立，所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是θ角為第三象限角.
再證必要性，即如果θ第三象限角，則①②式都成立.
因為θ第三象限角，所以角θ的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y都是負(fù)數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的定義知，sinθ0.
綜上所述：角θ為第三象限角的充要條件是sinθ0.②
例2 確定下列三角函數(shù)值的符號，然后用計算工具驗證：
(1) cs 250°；(2)sin(?π4)；(3)tan (-672°)； (4)tan3π.
解：(1)因為250°是第三象限角，所以 cs 250°＜0.
(2)因為?π4是第四象限角，所以sin(?π4)0；
(4)因為tan3π=tan(π+2π)=tanπ,
而π的終邊在x軸上，所以tanπ=0.
請同學(xué)們自己完成用計算工具驗證.
總結(jié)：判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略
(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定各角所在象限；
(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號；
(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位,不要誤當(dāng)作角度導(dǎo)致象限判斷錯誤.
注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限的符號.
設(shè)計意圖： 通過例1、例2，讓學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)值在各個象限的符號，同時例2也涉及簡單的誘導(dǎo)公式一的運(yùn)用.
例3 求下列三角函數(shù)值：
(1)sin1480°18’（精確到0.001）；(2)cs9π4；(3)tan(?11π6).
解：(1)sin1480°18’=sin(40°10’+4×360°)=sin40°10’≈0.645;
(2)cs9π4=cs(π4+2π)=csπ4=22；
(3)tan(?11π6)=tan(π6?2π)=tanπ6=33
總結(jié)：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用思路
1.誘導(dǎo)公式一的實質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等．
2.利用誘導(dǎo)公式一可將負(fù)角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0～2π之間的角的同名三角函數(shù)，實現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步了誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用思路，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
例4 化簡下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－990°)；
(2)sin(?11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°+90°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 90°
＝a2＋b2.
(2)sin(?11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π
＝sin(?2π+π6)＋cs(2π+2π5)·tan 0＝sinπ6＋0＝eq \f(1,2).
總結(jié)：利用公式一進(jìn)行化簡求值的步驟：
(1) 定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2) 轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值．
(3) 求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值.
設(shè)計意圖： 通過例題鞏固本節(jié)所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
（四）課堂練習(xí)
1.若sinxcsx>0，sinx+csx>0，則x2可以是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
解：∵sinxcsx>0，∴角x的終邊在第一、三象限，
又∵sinx+csx>0，∴角x的終邊在第一象限，
即2kπ

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5.2.1 三角函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

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