數(shù)學(xué)人教A版 (2019)5.2.1 三角函數(shù)的概念第1課時(shí)教案設(shè)計(jì)

這是一份數(shù)學(xué)人教A版 (2019)5.2.1 三角函數(shù)的概念第1課時(shí)教案設(shè)計(jì)，共7頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)
1．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能準(zhǔn)確表述定義內(nèi)容；
2．會(huì)根據(jù)角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求該角的三角函數(shù)值，反之，能根據(jù)已知的三角函數(shù)值，確定角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)的可能情況；
3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函數(shù)值；
4．經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體會(huì)從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想；
5．通過在單位圓中分析角的終邊與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，來構(gòu)建三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力．

二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)）的定義．
難點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程．

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：
在初中，我們通過直角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切這三個(gè)三角函數(shù)，如圖所示，在直角三角形中，如何定義銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)？
答：sinα=對(duì)邊斜邊，csα=鄰邊斜邊，tanα=對(duì)邊鄰邊
思考：該定義中的三個(gè)三角函數(shù),對(duì)于同樣大的一個(gè)銳角來說,如果三角形的大小發(fā)生了改變，其三角函數(shù)值是否也改變呢?
答：不變．
設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)初中所學(xué)銳角的三角函數(shù)的定義，用類比的方法、聯(lián)系的觀點(diǎn)引入本節(jié)新課．建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力．
情境：
在弧度制下，我們已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).下面借助這些知識(shí)研究上一節(jié)開頭提出的問題：圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見的周期性變化現(xiàn)象，如圖所示：⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如何刻畫點(diǎn)P的位置變化呢？
不失一般性，先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).現(xiàn)在的任務(wù)是：建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況．

（二）探究新知
任務(wù)1：探究三角函數(shù)的定義
根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們利用直角坐標(biāo)系來研究上述問題．
如圖所示，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y) .射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

探究1：當(dāng)?=π6時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)?=π2或2π3時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？
師生活動(dòng)：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?=π6時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(32， 12)；當(dāng)?=π2或2π3時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是(0，1)和(?12， 32)．它們都是唯一確定的．
設(shè)計(jì)意圖：先研究特殊角下點(diǎn)P坐標(biāo)，再研究任意角下點(diǎn)P坐標(biāo).體現(xiàn)由特殊到一般的思想.
探究2：一般地，任意給定一個(gè)角??，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？
師生活動(dòng)：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.因?yàn)閱挝粓A的半徑不變，點(diǎn)P的坐標(biāo)只與角?的大小有關(guān)，當(dāng)角?確定時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是也唯一確定.
思考：觀察角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？能運(yùn)用函數(shù)的語言刻畫這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？
師生活動(dòng)：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)α，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)x,y都是唯一確定的.
一般地，任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x，還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù).
設(shè)計(jì)意圖:以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為指向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角α(弧度)的函數(shù)，為引出三角函數(shù)的定義做好鋪墊.
下面給出三角函數(shù)的定義：
師生活動(dòng)：教師給出圖示，學(xué)生結(jié)合圖中信息給出三個(gè)定義，設(shè)α是一個(gè)任意角α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)，那么把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記做sinα，即y=sinα；
把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記做csα，即x=csα；
把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切函數(shù)，記做tanα，即yx=tanα(x≠0).
可以看出，當(dāng)α=π2+kπ（k∈Z）時(shí)，α的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P 的橫坐標(biāo) x 等于0，所以yx=tanα無意義．除此之外，對(duì)于確定的角α，yx的值也是唯一確定的．所以，yx=tanα(x≠0)也是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)．
追問：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?
學(xué)生進(jìn)行討論.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，即x∈R，對(duì)于正切函數(shù)而言，要求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x≠0，即角α的終邊OP不能位于y軸上，那么正切函數(shù)的定義域?yàn)閤|x≠π2+kπ,k∈Z.
設(shè)計(jì)意圖：在問題的引導(dǎo)下，通過閱讀教科書使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義有更深刻的理解.
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：
正弦函數(shù) y = sinx，x∈R；
余弦函數(shù) y = csx，x∈R；
正切函數(shù) y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
任務(wù)2：三角函數(shù)定義的推廣
探究：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，如何用點(diǎn)P的坐標(biāo)定義角α的正弦、余弦和正切？
要求：先獨(dú)立思考，再合作交流
師生活動(dòng)：給出問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析問題，再讓學(xué)生嘗試解決.
證明：如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于交點(diǎn)P0(x0,y0).分別過點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則：
|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，
△OMP～△OM0P0.
于是，|P0M0|1=|PM|r，即|y0|=|y|r.因?yàn)閥0與y同號(hào)，所以y0=yr.
即sin α=yr.同理可得，cs α=xr，tan α=yx.
設(shè)計(jì)意圖： 通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生找到△OMP、△OM1P1，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.
三角函數(shù)定義的推廣：
一般地，對(duì)于任意角α，角α終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），它到原點(diǎn)O的距離為r=|OP|=x2+y2，
那么sinα=yr，csα=xr，tanα=yx(x≠0).
顯然任意角α的三角函數(shù)值不會(huì)隨終邊上點(diǎn)P位置的變化而變化．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步了解三角函數(shù)的定義，提高學(xué)生分析問題、概括能力．
（三）應(yīng)用舉例
例1 求5π3的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐標(biāo)系中，作∠AOB=5π3.易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(12,?32).所以有：
sin5π3=?32，cs5π3=12，tan5π3=?3.
設(shè)計(jì)意圖: 通過例題讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的定義，求角的三角函數(shù)值，提高學(xué)生解決問題的能力．
例2 (1)已知角α的終邊過點(diǎn)P（-6，-8)，求角α的三角函數(shù)值．
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cs α＝－513，求1sinα+1tanα的值．
解：(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r=|OP|=36+64=10
則sinα=?810=?45,csα=?610=?35,tanα=?8?6=43.
(2)∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cs α＝－513，
∴cs α＝?xx2+36＝－513，解得x＝52，
∴P(－52，－6)，∴sin α＝－1213，∴tan α＝?6?52＝125，
則1sinα+1tanα=?1312+512=?23.
例2 若角α的終邊在直線y＝3x上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：設(shè)P(a，3a)(a≠0)是其終邊上任一點(diǎn)，
則tan α＝3aa=3，
r＝a2+(3a)2＝2|a|，
當(dāng)a>0時(shí)，sin α＝3a2a=32，cs α＝a2a＝12,
當(dāng)a0，求sinα，csα，tanα的值．
(2)已知P(3,y)是角α的終邊上一點(diǎn)，且sinα=23，求y的值．
(1)解：∵角α的終邊過點(diǎn)P(?3t,4t)，且t>0，
∴x=?3t,y=4t,r= ?3t2+4t2=5t=5t，
故sinα=yr=4t5t=45,csα=?3t5t=?35,tanα=yx=4t?3t=?43．
(2)解：∵P(3,y)是角α的終邊上一點(diǎn)，且sinα =23，
∴y>0且y 32+y2=23，解得y=6 55．
6.已知角α的終邊在直線3x+4y=0上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：∵角α的終邊在直線3x+4y=0上，
∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,?3t)(t≠0)，
則x=4t，y=?3t，
∴r=|OP|= x2+y2= (4t)2+(?3t)2=5|t|．
當(dāng)t>0時(shí)，r=5t，
sinα=yr=?3t5t=?35，csα=xr=4t5t=45，
tanα=yx=?3t4t=?34；
當(dāng)t