三角函數(shù)的概念
(第一課時)
教師姓名
學段學科
高一數(shù)學
教材版本
人教A版必修一
章節(jié)
第五章2.1節(jié)
年級
高一
教學目標
1、了解三角函數(shù)的背景，體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系.
2、經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
教學重難點
教學重點：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義.
教學難點：理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，影響單位圓上點的坐標變化的因素分析，以及三角函數(shù)的定義方式的理解，對符號，和的認識.
學情分析
學生已經(jīng)學習了從集合到對應(yīng)的觀點重新刻畫函數(shù)的概念，研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)，他們已具備了學習和研究一個新函數(shù)的知識基礎(chǔ)和初步能力.本節(jié)課前學生已經(jīng)學習了任意角和弧度制，學生已經(jīng)知道了角的弧度與實數(shù)一一對應(yīng)，這為學生學習任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).
教學方法
結(jié)合學生的知識水平和年齡特點，首先通過現(xiàn)實的實例，體會引入新函數(shù)模型的必要性，通過生活中的例子引入圓周運動，不斷產(chǎn)生問題并做適當引導，以學生活動為主線，給學生留下思考的空間，自主發(fā)現(xiàn)，抽象概況出任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)學生的主體地位.也可以讓學生更好的體會數(shù)形結(jié)合思想、運動變化、對應(yīng)等思想方法.
教學過程
復習舊知
(1)高中函數(shù)的概念是什么？
【設(shè)計意圖】復習高中函數(shù)概念，以此作為依據(jù)，為后面理解任意角的三角函數(shù)概念做鋪墊.
情境引入、提出問題
情境1：函數(shù)是刻畫客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要語言和工具.在現(xiàn)實生活中有這樣一類現(xiàn)象，晝夜更替、月亮圓缺、潮汐變化、四季輪回、鐘擺、摩天輪等，這類現(xiàn)象有什么樣的共同特點？2024年5月3日，嫦娥六號成功發(fā)射，它是中國嫦娥探月計劃第六個探測器.月球作為地球的衛(wèi)星，它不僅見證了地球的歷史，對地球的穩(wěn)定、氣候、生物圈等方面有著重要的意義.在日常生活中，每個月都可以看到月亮圓缺的變化.我們已學過的函數(shù)模型能否刻畫這種現(xiàn)象呢？
【設(shè)計意圖】用數(shù)學的觀點，函數(shù)的角度看待自然現(xiàn)象和客觀世界運行規(guī)律，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，以現(xiàn)實現(xiàn)象為背景，幫助學生更好的理解周而復始。讓學生感受進一步定義新函數(shù)的必要性.
情境2：這是一幅月相圖，月亮在運動的過程中，它的位置變化可以用什么來刻畫？假設(shè)月亮繞地球旋轉(zhuǎn)的軌跡是個圓，地球在圓心O處，月亮的位置記為P，它到地球的距離為單位1，則點P以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，能否建立一個函數(shù)模型，刻畫點P的位置變化情況？
【設(shè)計意圖】通過學生熟悉的生活情境，激發(fā)學生學習的興趣,圓周運動是研究周期現(xiàn)象的變化規(guī)律的理想載體，通過以上幾個問題，尋找三角函數(shù)的兩個變量.
三、構(gòu)建模型、尋找函數(shù)
(一)引進圓周運動、坐標系
以上情境, 我們不妨把問題簡化為, 單位圓O上的動點P從點A出發(fā), 按照逆時針方向做勻速圓周運動.
問題1：要想研究座艙P的位置，可用什么量來刻畫？需要什么工具？
【設(shè)計意圖】引出直角坐標系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.
問題2：直角坐標系放在什么位置合適？
【設(shè)計意圖】平面直角坐標系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵.
(二)尋找變量，構(gòu)建函數(shù)
問題3： 自己做做圖，單位圓上點P的位置有周期性的變化是因為什么變量引起的？（學生討論）
【設(shè)計意圖】通過學生的積極參與與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”過程，讓學生探索、挖掘點P的位置變化與以射線OP為終邊的角α之間的對應(yīng)關(guān)系.
探究1：當 時，點P的坐標是什么？當或時，點P的坐標又是什么？他們是唯一確定的嗎？
問題4：任意給定一個角，觀察它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標，你有什么發(fā)現(xiàn)？
【設(shè)計意圖】以函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為指向，從特殊到一般,使學生確認相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角（弧度）的函數(shù)，為后面生成三角函數(shù)的概念作準備.
問題5：你認為點 P的坐標是角的函數(shù)嗎? 如果是, 你能用集合與對應(yīng)語言來刻畫這種函數(shù)關(guān)系嗎? 如果不是，那誰才是角的函數(shù)呢？（學生討論）
【設(shè)計意圖】對照函數(shù)概念，抓住函數(shù)概念的本質(zhì)，引出一種新的函數(shù)—三角函數(shù).
四、生成概念，深化理解
設(shè)角是個任意角，它的終邊OP與單位圓相交于點.
(1)把點P的縱坐標y叫做的正弦函數(shù)，記作
(2)把點P的橫坐標x叫做的余弦函數(shù)，記作
(3)把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即 .是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù).
正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).
通常將它們記為：正弦函數(shù)
余弦函數(shù)
正切函數(shù)
問題6：(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系各是什么？與以往學習的函數(shù)定義有什么不同？
(2)三角函數(shù)的三要素分別是什么？
(3)符號，和分別表示什么？如何理解符號，和?在你以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經(jīng)歷嗎？
【設(shè)計意圖】在問題引導下，使學生明確三角函數(shù)的“三要素”，引導學生類比已有知識，理解三角函數(shù)符號的意義.
探究2：在初中我們學了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設(shè)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角α的正弦記為，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的α的正弦記為.與相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？
【設(shè)計意圖】建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學生體會兩個定義的和諧性.
五、例題講解，加深對概念的理解
例1、 求的正弦、余弦和正切值．
【設(shè)計意圖】通過概念的簡單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進一步理解定義的內(nèi)涵.
例2、如右圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為，點P與原點的距離為r．求證：，，．
思考：根據(jù)例2，若已知點P為角終邊上異于原點的任意一點，那么 的各個三角函數(shù)值是否可以確定？
【設(shè)計意圖】 該題“實際上是坐標比”，通過這道題的解答，使學生認識到，只要知道角終邊上的任意一點（除了原點），就可以得出相應(yīng)的三角函數(shù)值，它實際是任意三角函數(shù)定義的推廣.
六、課堂小結(jié)
1. 內(nèi)容總結(jié)
(1)單位圓
(2)任意角的三角函數(shù)概念
2.思想方法：數(shù)形結(jié)合的思想.
七、課后練習，加深對概念的理解和應(yīng)用
1. 利用三角函數(shù)定義，求的 三個三角函數(shù)值.
2. 已知角的終邊過點，求角的三角函數(shù)值.
3. 在平面直角坐標系中，角的終邊在直線上，求，，的值．
【設(shè)計意圖】考查學生對三角函數(shù)定義的理解和掌握情況.
教學反思
本節(jié)課通過學生的先學探究，課堂展示交流，教師深度點評，貫徹了學生為主體的課堂教學理念，學生完全理解了任意三角形函數(shù)定義，深刻體驗了定義的發(fā)生發(fā)展過程，認識到三角函數(shù)是刻畫周期性運動變化規(guī)律的基本函數(shù)，達到了預期目標.
由于課時的限制和本科內(nèi)容的難度大，學生對新概念的應(yīng)用不夠熟練，學生的點評交流還不夠充分，需要老師多引導.

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5.2.1 三角函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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