理解并掌握條件概率公式
能利用條件概率公式計算相關問題
回顧1 什么是古典概型？我們是怎么計算古典概型的概率？
(1) 有限性：樣本空間的樣本點只有有限個； (2) 等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等. 我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率為其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數.
回顧2 什么是積事件？
事件A與事件B同時發(fā)生
回顧3 什么是相互獨立事件？怎么理解相互獨立事件？
對任意兩個事件A與B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
例如 分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它們之間有什么關系？
解：用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，
樣本空間為Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4個等可能的樣本點.
其中：A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}
由古典概型概率計算公式，
P(AB)=P(A)P(B)
通俗地說，對于兩個事件A，B， 如果其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．
思考：如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢？
（事件A與B不獨立， 就是指其中一個事件發(fā)生的概率會受到另一個事件發(fā)生的概率的影響）。
下面我們從具體問題入手.
問題1 某個班級有 45名學生，其中男生、女生的人數及團員的人數如右表所示.
在班級里隨機選擇一人做代表.(1) 選到男生的概率是多少?(2) 如果已知選到的是團員，那么選到的是男生的概率是多少?
問題1 某個班級有 45名學生，其中男生、女生的人數及團員的人數如右表所示.
解：隨機選擇一人做代表，則樣本空間Ω包含45個等可能的樣本點.
設事件A=“選到團員”，事件B=“選到男生” ，根據表中的數據可得
n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25.
(1)根據古典概型知識可知, 選到男生的概率
此時相當于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點數n(AB)=16.根據古典概型知識可知，
(2)“在選到團員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A) .
思考：此時的樣本空間還是Ω么？
問題2 某個家庭有2個孩子，問：(1)兩個孩子都是女孩的概率？(2)如果有1個孩子是女孩，那么兩個孩子都是女孩的概率又是多少？
用b表示男孩，g表示女孩，則樣本空間Ω＝{bb,bg,gb,gg}，且所有樣本點是等可能的.
設事件A=“選擇的家庭中有女孩”， 事件B=“選擇的家庭中兩個小孩都是女孩”，則
A＝{gg,bg,gb}，B＝{gg}.
(1)根據古典概型知識可知, 該家庭中兩個都是女孩的概率為
(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A) .
此時A成為樣本空間，事件B就是積事件AB，
在上面兩個問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是
思考：上面兩個問題有什么共同點？
這個結論對于一般的古典概型仍然成立.
事實上，如圖所示，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間. 此時，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數與A包含的樣本點數的比值，即
為了把這個式子推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為Ω，則有
∴在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率還可以通過 來計算.
一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱
條件概率的判斷： (1)當題目中出現“在……條件下”等字眼，一般為條件概率; (2)當已知事件的發(fā)生影響所求事件的概率，一般也認為是條件概率.
思考：什么樣的概率問題屬于條件概率?
條件概率與事件相互獨立性的關系
思考 P(B|A)和P(A|B)的意義相同嗎？為什么?
思考 P(B|A)和P(AB)的聯系與區(qū)別是什么?
聯系：事件A, B都發(fā)生了.區(qū)別：(1)在P(B|A)中，事件A, B發(fā)生有時間上的差異，A先B后； 在P(AB)中，事件A, B同時發(fā)生. (2)樣本空間不同，在P(B|A)中，事件A成為樣本空間； 在P(AB)中，樣本空間仍為Ω. 因此有P(B|A)≥P(AB).
關鍵分清先發(fā)生事件和后發(fā)生事件
問題3 在問題1和問題2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)與P(B)不一定相等. 如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件A與B應滿足什么條件?
直觀上看，當事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價于P(B|A)＝P(B)成立. 事實上，若事件A與B相互獨立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，則
反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，則
即事件A與B相互獨立.
條件概率與事件獨立性的關系：當P(A)>0時，當且僅當事件A與B相互獨立時，有P(B|A)=P(B).
問題4 對于任意兩個事件A與B,如果已知P(A)與P(B|A),如何計算P(AB)呢？
對于任意兩個事件A與B，若P(A)>0，
由條件概率 , 可得：
我們稱上式為概率的乘法公式.
注意： 0≤P(B|A)≤1.
例1 在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回. 求: (1) 第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率; (2) 在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.
分析： 如果把“第1次抽到代數題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率。
思路1: 先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率，即
思路2: 先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率，即
例1 在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回. 求：(1) 第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率; (2) 在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.
解：設事件A= “第1次抽到代數題”,事件 B= “第2次抽到幾何題”.
“第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.
（1）從5道試題中每次不放回地隨機抽取2道, 試驗的樣本空間Ω包含20個等可能的樣本點, 即
(2) “在第1次抽到代數題的條件下, 第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下, 事件B發(fā)生的概率,
（在縮小的樣本空間A上求P(B|A)）.
已知第1次抽到代數題, 這時還余下4道試題, 其中代數題和幾何題各2道.
因此, 事件A發(fā)生的條件下, 事件B發(fā)生的概率為
又P(A)= , 利用乘法公式可得
從例1可知，求條件概率有兩種方法：
方法一：基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用條件概率公式 求 ；
注意：利用縮小樣本空間求條件概率問題，應搞清楚是求哪個事件的樣本點數.
解題步驟：（1）把問題涉及的事件用A,B表示, （2）根據已知條件求出P(A),P(B),P(AB),或n(A),n(B),n(AB), （3）根據條件概率公式求出P(B|A)或P(A|B).
(2)如果B和C是兩個互斥事件， 則P(BUC |A)=P(B | A)+P(C | A)；
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質. 設P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)=1；
求復雜事件的概率常分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件之和的概率。
例2 已知3張獎券中只有1張有獎, 甲、乙、丙3名同學依次不放回地各隨機抽取1張. 他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎?
分析：要知中獎概率是否與抽獎次序有關, 只要考察甲、乙、丙3名同學的中獎概率是否相等. 因為只有1張獎券有獎，所以 “乙中獎”等價于 “甲沒中獎且乙中獎”, “丙中獎”等價于 “甲和乙都沒中獎”, 利用乘法公式可求出乙、丙中獎的概率.
用A，B，C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則
甲不中的條件下, 還剩2張獎券, 所以乙中與不中都是 .
因為P(A)=P(B)=P(C), 所以中獎的概率與抽獎的次序無關.
在抽獎問題中，無論是放回還是不放回地隨機抽取，中獎的概率都與次序無關
例3 銀行儲蓄卡的密碼由6位數字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數字.求: (1) 任意按最后1位數字，不超過2次就按對的概率； (2) 如果記得密碼的最后1位是偶數，不超過2次就按對的概率.
分析: 最后1位密碼“不超過2次就按對”等價于“第1次按對,或者第1次按錯但第2次按對”.因此,可以先把復雜事件用簡單事件表示,再利用概率的性質求解.
解：(1)設Ai= “第i次按對密碼”(i=1, 2), 則事件A= “不超過2次就按對”可表示為
事件A1與 A2互斥, 由概率的加法公式及乘法公式, 得
(2)設B= “密碼的最后1位數字是偶數”, 則
P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)
2. 從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機抽出1張撲克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
設“第1次抽到A牌”為事件A, “第2次抽到A牌”為事件B，則“第1次和第2次都抽到A牌”為事件AB.
方法1:在第1次抽到A牌的條件下,撲克牌中還剩下51張牌,其中有3張A牌,所以在第1次抽到A牌的條件下第2次也抽到A牌的概率是P(B|A)=
方法2:在第1次抽到A牌的條件下第2次也抽到A牌的概率為
方法3:在第1次抽到A牌的條件下第2次也抽到A牌的概率為
3. 袋子中有10個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球. 每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回. 求: (1) 在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率； (2) 兩次都摸到白球的概率.
設第1次摸到白球為事件A，第2次摸到白球為事件B，則
1. 條件概率(P(A)>0)
(0≤P(B|A)≤1)
3. 概率的性質(P(A)>0)
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是兩個互斥事件, 則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
P(AB) = P(A) P(B|A).
2. 概率的乘法公式(P(A)>0)
4.求條件概率的兩種方法：
方法一：公式法；方法二：縮小樣本空間法.
注意順序！先發(fā)生的事件，寫在前面

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7.1 條件概率與全概率公式

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