利用概率的加法公式和乘法公式歸納得到全概率公式
能用全概率公式計算較復(fù)雜的概率問題
在上節(jié)計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復(fù)雜事件表示為一些簡單事件運算的結(jié)果，然后利用概率的加法和乘法公式求其概率。本節(jié)，我們再根據(jù)一個求復(fù)雜事件概率問題出發(fā)學(xué)習(xí)。
問題1 從有a個紅球和b個藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為 ，那么第2次摸到紅球的概率是多大? 如何計算這個概率呢?
下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).
但是這個結(jié)果并不顯然，因為第2次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.
事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍(lán)球）表示為兩個互斥事件的并，即
利用概率的加法公式和乘法公式，得
用 Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1,2.
R2=R1R2UB1R2.
說明抽簽是具有公平性的
按照某種標(biāo)準(zhǔn), 將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個復(fù)雜事件的概率.
上述過程采用的方法是:
我們稱上面的公式為全概率公式．全概率公式是概率論中最基本的公式之一.
①A1, A2, …, An是一組兩兩互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；　
對公式的理解： 某一事件B的發(fā)生可能有各種的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，構(gòu)成一個完備事件)所引起，則B發(fā)生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)發(fā)生概率的總和。
可以形象地把全概率公式看成為“由原因求結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”.
每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.
=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
全概率公式求復(fù)雜事件概率的步驟：1.設(shè)事件：把事件B(結(jié)果事件)看作某一過程的結(jié)果, 把A1, A2, …, An 看作導(dǎo)致結(jié)果的若干個原因；2.寫概率：由已知，寫出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai )),且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|Ai ))；3.代公式：用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B) ).
P(A1)，P(A2)…… P(An ) P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An )
例5 有 3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%. (1) 任取一個零件，計算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率.
設(shè)B＝“任取一個零件為次品”, Ai＝“零件為第i臺車床加工” (i＝1, 2, 3), 則
（2）“如果取到得零件是次品,計算它是第i(i =1,2,3)臺車床加工的概率”,就是計算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.
將例5中的問題(2)一般化，可以得到貝葉斯公式.
設(shè)A1, A2, …, An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，則對任意的事件 　，P(B)>0，有
該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.
貝葉斯公式的應(yīng)用步驟：
2.確定先驗概率與有關(guān)條件概率；
如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i 個原因引起的概率，則用Bayes公式
①我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，
②根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，
③而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，
④如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i 個原因引起的概率，則用Bayes公式
2. 兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占 40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%. 將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件. (1) 求這件產(chǎn)品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.
設(shè)A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的產(chǎn)品來自第i批”(i＝1, 2), 則
例6 在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05. 假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的. (1) 分別求接收的信號為0和1的概率； (2) 已知接收的信號為0，求發(fā)送的信號是1的概率.
1.設(shè)事件2.寫概率3.代公式
全概率公式　P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

7.1 條件概率與全概率公式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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