專題第01講 等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì) 一．解答題（共30小題） 1．（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC． （1）求證：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)． 2．（2023春?修水縣期末）在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)． （1）若AB＝AC，請判斷△AEF是否是等腰三角形，并說明理由； （2）若△ABC的周長為18，BC＝6，求△AEF的周長． 3．（2023春?新泰市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于點D，AF⊥AB交BE于點F． （1）如圖1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度數(shù)． （2）如圖2，若BD⊥AC，垂足為D，BF＝8，求DF的長． 4．（2023春?淄博期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一個動點，DF⊥BC于點F，交CA延長線于點E， （1）試判斷AD、AE的大小關(guān)系，并說明理由； （2）當點D在BA的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請說明理由． 5．（2023春?郫都區(qū)期末）如圖，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分線交于點D，DE∥BN交BC于點E．（解答過程要求寫出每步推導的理由） （1）求∠BDC的度數(shù)； （2）若AB＝AC，求證：AE⊥BC． 6．（2023春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的求解過程補充完整如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的長． 解：在線段CD上取一點E，使ED＝BD，連接AE， ∵ED＝BD，AD⊥BC， ∴AB＝AE（ 　 ?。?∴　 　＝∠AEB（ 　 ?。?∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． ∵∠AEB+∠AEC＝180°（ 　 ?。?∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（ 　 ?。?， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C． ∴　 　＝∠EAC． ∴　 ?。健? 　（ 　 ?。?∴AB＝CE（ 　 　）． ∵AB＝6，BD＝2， ∴CE＝6，ED＝2． ∴CD＝CE+ED＝6+2＝8． 7．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A． （1）如圖1，試說明CD＝CB的理由； （2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F． ①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)． 8．（2023春?高陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點D，連接CD． （1）求證：△ACD為等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度數(shù)． 9．（2023春?寶山區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC延長線上，點E在邊AC上，且DE＝BE＝AE，延長線段DE交邊AB于點F． （1）說明△AEF是等腰三角形的理由； （2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)． 10．（2022秋?祁陽縣期末）（1）操作實踐：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法） （2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值； （3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩個條件，無需證明） 11．（2022秋?陽谷縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AC與AB邊上的高BD、CE相交于點O． （1）求證：△OBC是等腰三角形． （2）判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由． 12．（2022秋?禹州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一點，過點D作DE⊥BC于點E，延長ED和CA，交于點F． （1）求證：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的長． 13．（2022秋?開福區(qū)校級期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE∥BC． （1）如圖1，求證：△CDE是等腰三角形； （2）如圖2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC邊上取點F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的長． 14．（2022秋?沙依巴克區(qū)校級期末）如圖，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于點E． （1）求證：△BCD是等腰三角形； （2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度數(shù)． 15．（2023春?東港市期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD． （1）求證：△OCD是等邊三角形； （2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由； （3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形． 16．（2023春?榆陽區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分線，交AB、BC于點D、E連接CD、AE．求證： （1）△ADC是等邊三角形； （2）點E在線段CD的垂直平分線上． 17．（2023春?渠縣校級期末）如圖，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于點C，且DC⊥AB，過C作CE∥DA交DB于點E，連接AE． （1）求證：△ADB是等邊三角形． （2）求證：AE⊥DB． 18．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點． （1）求證：AD＝BE； （2）求∠DOE的度數(shù)； （3）求證：△MNC是等邊三角形． 19．（2022秋?離石區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC． （1）【特殊情況，探索結(jié)論】 如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例啟發(fā)，解答題目】 如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）． （3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】 在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應圖形，并直接寫出結(jié)果）． 20．（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F． （1）求證：AN＝BM； （2）求證：△CEF為等邊三角形． 21．（2022秋?南充期末）如圖，在等邊△ABC中，AC＝12cm，點M以2cm/s的速度從點B出發(fā)向點A運動（不與點A重合），點N以3cm/s的速度從點C出發(fā)向點B運動（不與點B重合），設(shè)點M，N同時運動，運動時間為ts． （1）在點M，N運動過程中，經(jīng)過幾秒時△BMN為等邊三角形？ （2）在點M，N運動過程中，△BMN的形狀能否為直角三角形，若能，請計算運動時間t；若不能，請說明理由． 22．（2022秋?長清區(qū)期末）如圖，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°． （1）求證：△ACD為等邊三角形； （2）求∠BAC的度數(shù)． 23．（2022春?林甸縣期末）如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上任一動點，將一60°角的頂點置于點D處，它的一邊始終經(jīng)過點A，另一邊與直線a交于點E． （1）若D恰好在BC的中點上（如圖1）求證：△ADE是等邊三角形； （2）若D為直線BC上任一點（如圖2），其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由． 24．（2021秋?隨縣期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)． （1）求證：△ABD是等邊三角形； （2）求證：BE＝AF． 25．（2021秋?白水縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點E為AD上一點，連接BD，CE交于點F，CE∥AB． （1）判斷△DEF的形狀，并說明理由； （2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長． 26．（2021秋?閻良區(qū)期末）如圖，點P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N． （1）求證：△PMN是等邊三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的長． 27．（2022春?汝州市期末）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題： 例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°） 例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．（答案：40°或70°或100°） 張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編的題目如下： 變式題：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答上面的變式題． （2）請繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，則∠B的度數(shù)為 　60°?。?（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到的∠B度數(shù)的個數(shù)也可能不同．請你直接寫出當∠A滿足什么條件時，∠B能得到三個不同的度數(shù)． 28．（2021秋?臨河區(qū)期末）在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE＝BD， （1）當點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC＝ED； （2）當點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形； （3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由． 29．（2023春?大竹縣校級期末）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則圖中共有 　 　個等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是 　 　，△AEF的周長是 　 　 （2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有 　2　個等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長 （3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明． 30．（2021秋?大荔縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E． （1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形； （2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系； （3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．

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