第十三章 軸對(duì)稱(chēng)13．3  等腰三角形13．3．1  等腰三角形第1課時(shí) 等腰三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)．          2．經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過(guò)程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．重點(diǎn)：掌握等腰三角形的性質(zhì)難點(diǎn)：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．自主學(xué)習(xí)教學(xué)備注：學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分  知識(shí)鏈接1．三角形全等的判定方法：（1）                 ；（2）                ；（3）                 ；（4）                 ；（5）                ．2．等腰三角形的有關(guān)概念：有兩條邊       的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做       ，另一條邊叫做       ，兩腰所夾的角叫做       ，底邊與腰的夾角叫做       ．3．（1）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則其周長(zhǎng)等于_________．（2）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則其周長(zhǎng)等于_________． 注意：已知兩邊求等腰三角形的周長(zhǎng)，應(yīng)該分兩種情況討論．注意在討論后要思考這樣的三條邊能否構(gòu)成三角形．課堂探究一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)1剪一剪：把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中的紅線(xiàn)對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開(kāi)，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？ 折一折：△ABC 是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？ 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線(xiàn)段和角．重合的線(xiàn)段重合的角      猜一猜： 由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的什么性質(zhì)嗎？說(shuō)一說(shuō)你的猜想．猜想與驗(yàn)證：性質(zhì)1  等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）．已知：如圖，△ABC 中，AB=AC．求證：∠B=∠C．典例精析例1：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)．方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小角的度數(shù)為x．針對(duì)訓(xùn)練如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．例2：等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50°             B．80°或40°C．65°或80°             D．50°或80° 方法總結(jié):等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．探究點(diǎn)2：等腰三角形的性質(zhì)2想一想：剛才的證明除了能得到∠B＝∠C，你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線(xiàn)段重合的角       要點(diǎn)歸納：性質(zhì)2 等腰三角形的            ，            ，            互相重合（通常說(shuō)成等腰三角形的“三線(xiàn)合一”）． 填一填：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理2完成下列填空．在△ABC中，AB=AC時(shí)： （1）∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____．    （2）∵AD是中線(xiàn)，∴____⊥____，∠_____ =∠_____．（3）∵AD是角平分線(xiàn)，∴____ ⊥____，_____ =_____． 辨一辨：1．等腰三角形的頂角一定是銳角．    （   ）2．等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以． （   ）3．鈍角三角形不可能是等腰三角形．       （   ）4．等腰三角形的頂角平分線(xiàn)一定垂直底邊．    （   ）5．等腰三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高互相重合．   （   ）6．等腰三角形底邊上的中線(xiàn)一定平分頂角．    （   ） 典例精析例3：已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC．（1）如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；（2）如圖②，若BD＝CE，F為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC．            方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線(xiàn)，其頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)．   二、課堂小結(jié)等腰三角形的性質(zhì)內(nèi)容主要事項(xiàng)性質(zhì)1等邊對(duì)等角1．注意分類(lèi)討論；2．求角度時(shí)可結(jié)合方程思想性質(zhì)2三線(xiàn)合一三線(xiàn)指的是頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)及底邊上的高．腰上的高和中線(xiàn)與底角的平分線(xiàn)不具有這一性質(zhì)． 當(dāng)堂檢測(cè) 1．等腰三角形有一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角分別是（　?。?/span>A．30°，60°             B．45°，45° C．45°，90°             D．20°，70° 如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（　?。?/span>A．40°      B．30°          C．70°      D．50° 3．（1）等腰三角形一個(gè)底角為75°，它的另外兩個(gè)角為_____________；（2）等腰三角形一個(gè)角為36°，它的另外兩個(gè)角為____________________；（3）等腰三角形一個(gè)角為120°，它的另外兩個(gè)角為_______________．4．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)與AC所在的直線(xiàn)相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．5．如圖，在△ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B =30°，求∠BAD和∠ADC的度數(shù)．   6．如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線(xiàn)，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF．拓展提升7．A、B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)C的位置．    
參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．SSS  SAS  ASA  AAS  HL2．相等  腰  底  頂角  底角3．（1）10或11   （2）17課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)1剪一剪  解：AB=AC，△ABC 是等腰三角形．折一折：△ABC 是軸對(duì)稱(chēng)圖形，折痕所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸．找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線(xiàn)段和角．重合的線(xiàn)段：AB與AC，BD與CD，AD與AD；重合的角：∠B 與∠C，∠BAD 與∠CAD，∠ADB 與∠ADC．猜想與驗(yàn)證：證明：證法1：作底邊BC邊上的中線(xiàn)AD．在△ABD與△ACD中：∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．證法2：作頂角∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．證法3：作底邊BC的高AD，交BC于點(diǎn)D．∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD與Rt△ACD中，∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C．典例精析例1  解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD．設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．針對(duì)訓(xùn)練解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC．設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB= ∠C+∠DAC=2x，在△ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°．∴∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°．例2  A探究點(diǎn)2：等腰三角形的性質(zhì)2要點(diǎn)歸納  頂角平分線(xiàn)  底邊上的中線(xiàn)  底邊上的高填一填  （1）1  2  BD  CD（2）AD  BC  1  2（3）AD  BC  BD  CD辨一辨  ×  ×  ×  √  ×  √典例精析例3證明：（1）如圖①，過(guò)A作AG⊥BC于G．∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；（2）∵BD＝CE，F為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF．∵AB＝AC，∴AF⊥BC．當(dāng)堂檢測(cè)1．B   2．A   3．（1）75°， 30°   （2）72°，72°或36°，108°   （3）30°，30°   4．70°或20°5．解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∴∠C=∠B=30°，∠BAD =∠DAC，∠ADC =90°．∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．∴∠BAD=∠BAC=60°．       6．證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵BD、CE為底角的平分線(xiàn)，∴∠DBC =∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．拓展提升7．解：如圖，共8個(gè)． 

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