第十三章 軸對(duì)稱(chēng)13．3  等腰三角形13．3．2 等邊三角形第2課時(shí) 含30°角的直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)．          2．會(huì)運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．重點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)．難點(diǎn)：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．自主學(xué)習(xí)教學(xué)備注：學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分知識(shí)鏈接1．等邊三角形的性質(zhì)有哪些？  2．如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形？ 課堂探究  一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱(chēng)圖形，因此AB=AD， ∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形．再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB．  要點(diǎn)歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的        ． 想一想：你還能用其他方法證明嗎？已知：如圖，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求證：BC =AB．要點(diǎn)歸納：含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．應(yīng)用格式：∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC =AB． 判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半．
（2）三角形中30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半．
（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半．
（4）直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍．  典例精析例1：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3 cm，則AB的長(zhǎng)度是(　　)A．3 cm           B．6 cm         C．9 cm           D．12 cm 注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．例2：如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(　　)A．3   B．2           C．1.5   D．1 方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形． 例3：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．  方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問(wèn)題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．   例4：如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁AB 的中點(diǎn)，立柱BC，DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多長(zhǎng)？ 例5：已知：等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為20．求腰上的高．  方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來(lái)解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題． 二、課堂小結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：應(yīng)用的前提在         三角形中，結(jié)論是30°角所對(duì)的直角邊是         的一半，而不是任一直角邊是斜邊的一半．當(dāng)堂檢測(cè)1．如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為(       )A．6米        B．9米      C．12米      D．15米           第1題圖                            第2題圖2．某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要(        )A．300a元     B．150a元         C．450a元      D．225a元3．如圖，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．則BD =       ．     第3題圖                        第5題圖4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=10，則BC =       ． 5．如圖，Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A= 30°，AB+BC=12 cm，則AB=______．6．在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長(zhǎng)．                7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA． 拓展提升：8．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，求證：BP=2PQ．              
參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等，且都是60°．2．三條邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形．課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)要點(diǎn)歸納  一半想一想：證法1：證明：在△ABC中，∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，∴∠B =60°．延長(zhǎng)BC 到D，使BD =AB，連接AD，則△ABD 是等邊三角形．又∵AC⊥BD，∴BC =BD．∴BC =AB．證法2：證明：在BA上截取BE=BC，連接EC． ∵∠B=90°-∠A= 60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC=BC．∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC－∠A=60°－30°=30°．∴AE=EC=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC．判斷下列說(shuō)法是否正確  （1）×  （2）×  （3）×  （4）√典例精析例1  D  解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°-∠A=∠B＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm．故選D．例2  C  解析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于E．∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠BOP＋∠AOP＝30°．又∵PC＝3，∴PE＝1.5．∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5．故選C．例3  解：CD =DB．理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°．∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE．又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B．∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB．例4  解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=AB，DE=AD．∴BC=AB=×7.4=3.7(m)．又AD=AB，∴DE=AD=×3.7=1.85(m)．答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7 m，DE的長(zhǎng)是1.85 m．例5  解：過(guò)C作CD⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∵∠B=∠ACB=15° (已知)，∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，∴CD=AC=×20=10．當(dāng)堂檢測(cè)1．B   2．B   3．1   4．5    5．8 cm6．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2．5．7．證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵ D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠BAD=∠DAC=60°．∴AB=2AD．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE．∴AB=4AE，∴BE=3AE．拓展提升：8．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB ，∠C=∠BAC=60°．∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA．∴∠CAD=∠ABE．∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°．∴∠BPQ=60°．又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．   

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

11.3.2 多邊形的內(nèi)角和

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