河北省邯鄲市武安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1. 設(shè)為實數(shù)，已知直線，若，則（）
A. 6B. C. 6或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.
【詳解】因為，所以，解得：或.
當時，，平行；
當時，，可判斷此時重合，舍去.
故選：A
2. 已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）
A. B. 6C. 12D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的焦點位置以及焦距，列式求解，即得答案.
【詳解】由于焦點在軸上的橢圓的焦距為6，
故，
故選：C
3. 如圖是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺，其可近似看作一個正四棱臺，若，點在上，且，則（）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的基本定理可求解.
【詳解】因為:，
所以：.又因為：，
所以：，
所以：.
故C項正確.
故選：C.
4. 過點且與圓相切的直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷出點M圓上，進而求出切線斜率即可得到答案.
【詳解】因為，所以點M在圓上，而，
則切線斜率為，所以切線方程為：
即
故選：A
5. “”是“方程表示雙曲線”的（）條件
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合法進行求解.
【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或.
即.
因為是的真子集，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.
故選：B．
6. 一條光線從點射出，經(jīng)過直線反射后與軸相交于點，則入射光線所在直線的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點，由光學(xué)知識可得反射光線經(jīng)過點，，由直線的兩點式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得反射光線經(jīng)過點，易得入射光線所在直線經(jīng)過點，
因為入射光線經(jīng)過點，所以入射光線所在直線的方程為，
即.
故選：.
7. 已知為直線上的動點，點滿足，則點的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由點坐標，得到坐標，代入直線方程即可.
【詳解】設(shè)點，因為，所以，
代入直線方程可得：，
化簡可得：
所以的軌跡方程為.
故選：C
8. 已知拋物線的焦點為F，該拋物線C與直線：相交于M，N兩點，則的最小值為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】證明，根據(jù)基本不等式求的最小值.
【詳解】根據(jù)題意判斷可得直線l過該拋物線的焦點F，
所以，（聯(lián)立直線與拋物線，應(yīng)用韋達定理及即可證明），
所以，
當且僅當時取“=”.
故選：C.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知雙曲線C：（）的離心率，C的右支上的點到其右焦點的最短距離為1，則（）
A. 雙曲線C的焦點坐標為
B. 雙曲線C的漸近線方程為
C. 點在雙曲線C上
D. 直線與雙曲線C恒有兩個交點
【答案】AC
【解析】
【分析】由題意求出，即可求出雙曲線方程，可得焦點坐標，判斷AB；代入驗證可判斷C；求出直線所過定點，結(jié)合舉特值，即可判斷D.
【詳解】雙曲線C上的點到其焦點的最短距離為，離心率，所以，
所以，所以雙曲線C的方程為，所以C的焦點坐標為，A正確．
雙曲線C的漸近線方程為，B錯誤．
因為，所以點在雙曲線C上，C正確．
直線即，恒過點，即雙曲線的右頂點，
當時，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點，D錯誤．
故選：AC
10. 已知為圓直徑，且不與軸重合，直線與軸交于點，則（）
A. 與恒有公共點
B. 是鈍角三角形
C. 的面積的最大值為1
D. 被截得的弦的長度的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】是一個在圓內(nèi)的定點，可以判斷A，B選項；根據(jù)是定值可以判斷到的距離最大時，三角形面積最大，從而判斷C選項；被截得的弦的長度的最小時，圓心到直線的距離最大，從而判斷D選項.
【詳解】直線與軸交于點，所以，易知在圓內(nèi)部，
所以與恒有公共點，A正確．
因為在圓內(nèi)部，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，B正確．
點到的最大距離即點M與圓心之間的距離，為1，所以，C錯誤．
被截得的弦的長度最小時，圓心到直線的距離最大，易知此距離為點與圓心之間的距離為1，
所以最短弦長為，D正確．
故選：ABD
11. 如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，，空間中一點滿足，則（）

A. 若，則三棱錐的體積為定值
B. 若，則點的軌跡長度為3
C. 若，則的最小值為
D. 若，則點到的距離的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：做出圖像，由已知和選項找到點P的位置，判斷到平面的距離為定值，又的面積為定值可求出；B：作圖找到點P位置，判斷軌跡長度即可；C：由向量共線得到P的位置，再點到直線的距離求最小值；D：建系，用空間向量關(guān)系求出到的距離，再用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.
【詳解】
對A，若，分別作棱，的中點，，連接，則在線段上，易知平面，故點到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；
若，分別作，的中點，，則點的軌跡為線段，易知，故B錯誤；
若，則，，三點共線，即點在線段上，易求點到的距離為，故的最小值為，故C正確；
若，則點在線段上，易證，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，，，，
所以，
所以，
所以點到的距離，
所以當時，，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：本體考查平面向量關(guān)系和空間立體幾何的位置關(guān)系判定和體積，距離的求法，利用點到直線的距離和二次函數(shù)和建立空間直角坐標系解答，計算量大，屬于比較難的試題.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為____________________.
【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0
【解析】
【分析】直線過原點有直線方程為2x－y＝0；直線不過原點時，設(shè)軸截距為，則軸截距為，根據(jù)截距式并結(jié)合所過的點求，寫出方程.
【詳解】當直線過原點時，得直線方程為2x－y＝0；
當在坐標軸上的截距不為零時，設(shè)軸截距為，則軸截距為，可設(shè)直線方程為，
將P(1,2)代入方程，可得，得直線方程為x－y＋1＝0.
∴綜上，直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.
故答案為：2x－y＝0或x－y＋1＝0.
13. 若雙曲線的一條漸近線與圓交于兩點，則____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，得到的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求得雙曲線的漸近線方程，再利用圓的弦長公式，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，
又由雙曲線的其中一條漸近線方程為，即，
因為圓的圓心為，半徑，
所以圓心到漸近線的距離為，
由圓的弦長公式，可得.
故答案為：.
14. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為，若為橢圓上一點，的內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】由內(nèi)切圓半徑的計算公式，利用等面積法表示焦點三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計算得到結(jié)果.
【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，
又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，
所以，即，
整理得：，兩邊同除以，
得，所以或，
又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知圓過點，圓心在直線上，且直線與圓相切.
（1）求圓的方程；
（2）過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)，從而得到，由在圓上，代入方程求解即可解決問題.
【小問1詳解】
設(shè)圓M的方程為，
因為圓過點，所以，
又因為圓心在直線上，所以②，
直線與圓M相切，得到③，
由①②③解得：因此圓的方程為
【小問2詳解】
設(shè)，因為A為線段BD的中點，所以，
因為在圓上，所以，解得或
當時，由可知直線的方程為；
當時，由可得斜率，
故直線的方程為，即.
綜上，直線的方程為或.
16. 如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.
（1）證明：四點共面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，結(jié)合空間向量線性運算的坐標表示可得，進而求證；
（2）求出平面的法向量，結(jié)合空間向量知識求解即可.
【小問1詳解】
證明：因為平面，平面，平面，
所以，
又四邊形為正方形，所以.
以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由，
得，
則.
所以，，
設(shè)，
則，解得，
所以，
故四點共面.
【小問2詳解】
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
取，則，
又，
所以點到平面的距離.
17. 已知橢圓的左?右頂點分別為A,B，點，連接交橢圓C于點M?N，為直角三角形，且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于D?E兩點，若，求證：直線l過定點
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意知，求出，再由求出，即可求出橢圓的標準方程；
（2）設(shè)，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程消元后得到韋達定理，由代入求出，即可求出直線恒過的定點.
【小問1詳解】
解：因為為直角三角形，
所以由橢圓的對稱性知，，
即，所以，則，
代，得，解得，，
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
證明：由題意，可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去x得，，
設(shè)，則①
因為，所以，由（1）知，，
所以，
則，
將代入上式得，
，
將①代入上式，
解得，或（舍），故直線l恒過點
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．

（1）證明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；
（2）（i）建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，

，
，
∴四邊形是平行四邊形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以點D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
如圖：則，
為棱的中點，

（i），
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
平面的一個法向量為，
，
根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為
（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，
設(shè)，
則，
由（2）知平面的一個法向量為，
，
∴點Q到平面的距離是
，
．
19. 已知拋物線，直線過點且與拋物線交于兩點，直線分別與拋物線的準線交于.
（1）若點是拋物線上任意一點，點在直線上的射影為，求證：；
（2）求證：為定值；
（3）求最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè),，可得PQ，結(jié)合兩點間距離公式求，即可分析證明；
（2）設(shè)，,，聯(lián)立方程可得韋達定理，結(jié)合數(shù)量積坐標可得為定值；
（3）根據(jù)題意求得，，整理可得，由此能求出的最小值．
【小問1詳解】
點是拋物線上任意一點，
設(shè),，
拋物線的準線方程為．
點在直線上的射影為，
，
，，
．
【小問2詳解】
由題設(shè)知直線的斜率一定存在，設(shè)，
由，得，
設(shè),，則，，
，
,，,，
．
故為定值．
【小問3詳解】
因為,，，
直線，直線，
，都在直線上，
，，
，
當時，取最小值．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多