一、單選題（本大題共8小題）
1．圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．，B．，2C．，1D．，
2．下列說法中正確的是（ ）
A．直線方程的截距式可表示除過原點(diǎn)外的所有直線
B．與是直線的截距式方程
C．直線方程的斜截式都可以化為截距式
D．在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為
3．若直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0B．或0C．0或D．
4．直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（ ）
A．B．C．D．
5．已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．若兩條平行直線與之間的距離是，則（ ）
A．B．C．17D．21
7．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．
B．或
C．
D．或
8．過直線上一點(diǎn)P作⊙M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．或D．或
二、多選題（本大題共3小題）
9．在平面直角坐標(biāo)系中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．每一條直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程
B．傾斜角是鈍角的直線，斜率為負(fù)數(shù)
C．方程與方程表示同一條直線
D．直線過點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為
10．若點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能為（ ）
A．B．1C．4D．7
11．已知圓O：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．線段AB的垂直平分線所在的直線方程為
B．直線AB的方程為
C．
D．若點(diǎn)P是圓O上的一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則的值為 .
13．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)；弦長(zhǎng)，則 ．
14．已知為圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求的面積.
16．已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)求圓的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．
17．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y＋x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
18．從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題橫線處，并進(jìn)行解答.①經(jīng)過點(diǎn)；②圓心在直線上；③以線段為直徑.
問題：已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且__________.
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.
19．已知圓．
(1)已知直線，求該直線截得圓C的弦AB的長(zhǎng)度；
(2)若直線過點(diǎn)且與圓C相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由圓的方程，
可得它的圓心和半徑分別為，．
故選：D．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)直線截距式、斜截式的結(jié)構(gòu)及局限性即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榻鼐嗍竭m用于在軸、軸上的截距都存在且都不為0的直線，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)榉匠膛c不符合截距式方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)樾苯厥降闹本€方程包含在軸上的截距為0的情況，而此類直線的方程不可以化為截距式，如直線，所以C錯(cuò)誤；
在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為，易知D正確.
故選：D
3．【答案】C
【分析】由直線垂直得到方程，求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意得，解得或.
故選：C
4．【答案】A
【詳解】若，則直線不會(huì)經(jīng)過三個(gè)象限，所以，
所以，
因?yàn)橹本€經(jīng)過第一、二、四象限，
所以斜率，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)，
解得，
故選：A
5．【答案】B
【分析】直接將兩圓方程作差即可得公共弦方程.
【詳解】由題意圓：和圓：，
將兩式作差得，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得.
故選：B.
6．【答案】A
【分析】根據(jù)兩直線平行求出，再由兩平行線間的距離公式求出.
【詳解】因?yàn)橹本€與，所以，解得，
又兩條平行直線與之間的距離是，所以，
解得（舍去）或，
所以.
故選：A
7．【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線設(shè)為，結(jié)合題中條件可求得，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程，求解即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
可設(shè)，
又是圓的兩條切線，且，
所以,,,
所以,
即，
化為，
解得或，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：B.
8．【答案】B
【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】⊙M：的圓心，半徑，
由，得，
由題意可得圓心到直線的距離，
即，解得.
故選：B.
9．【答案】BD
【分析】根據(jù)直線方程的形式，傾斜角和斜率的關(guān)系，逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，斜率不存在的直線無點(diǎn)斜式和斜截式方程，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，傾斜角是鈍角的直線，其傾斜角的正切值為負(fù)數(shù)，直線斜率為負(fù)數(shù)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，方程表示直線去掉點(diǎn)，與方程不表示同一直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線過點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為，正確．
故選：BD
10．【答案】BC
【分析】由圓，結(jié)合點(diǎn)在圓外列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，在圓外，
則，解得.
故選：BC
11．【答案】ABD
【分析】根據(jù)相交圓的公共弦與兩圓心連線垂直平分判斷A，再由兩圓方程作差得公共弦所在直線判斷B，根據(jù)弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)關(guān)系求弦長(zhǎng)判斷C，再由圓上點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線距離加半徑長(zhǎng)判斷D.
【詳解】由圓C：知圓心為，
所以直線OC的方程為，即，
所以線段AB的垂直平分線所在的直線方程為，故A正確；
因?yàn)閳AO：與圓C：，兩圓方程作差，
可得直線AB的方程為，故B正確；
點(diǎn)O到直線AB的距離，所以，故C錯(cuò)誤；
點(diǎn)到直線的距離的最大值為，則面積的最大值為，故D正確．
故選：ABD．
12．【答案】
【詳解】由題可得，，解得，
故答案為: .
13．【答案】1
【分析】利用垂徑定理求解即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為
則由題意可得，
則.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)共線，且在中間時(shí)取等號(hào)，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)15
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以BC所在的直線方程為，
即.
（2）B，C兩點(diǎn)間的距離為，
點(diǎn)A到直線BC的距離，
所以的面積為.
16．【答案】(1)圓的方程為
(2)切線方程為或，切線長(zhǎng)為
【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，根據(jù)已知有，
解得，
所以圓的方程為.
（2）根據(jù)有點(diǎn)在圓外，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，不合題意；
設(shè)切線的斜率，切線方程為，
化為，
根據(jù)題意圓心到切線距離為，
則有，
整理有，
解得或，
所以切線方程為或
求切線長(zhǎng)如圖：
圓心到點(diǎn)距離，
設(shè)切線長(zhǎng)為，則有，
由勾股定理可求，
所以切線長(zhǎng)為.
17．【答案】(1)最小值為－，最大值為
(2)最大值為2＋，最小值為2－
(3)最大值為7＋4，最小值為7－4
【詳解】
（1） 如圖，令＝t，則x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－≤t≤，所以的最小值為－，最大值為.
（2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直線y＝－x＋m與圓x2＋y2－4x＋1＝0有公共點(diǎn)時(shí)，其縱截距在兩相切位置對(duì)應(yīng)的縱截距之間，而相切時(shí)有＝，|m－2|＝，m＝2±.所以y＋x的最大值為2＋，最小值為2－.
（3） 如圖，x2＋y2是圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故連接OC，與圓交于點(diǎn)B，并延長(zhǎng)交圓于C′，可知B到原點(diǎn)的距離最近，點(diǎn)C′到原點(diǎn)的距離最大，此時(shí)有OB＝＝2－，OC′＝＝2＋，（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋4，（x2＋y2）min＝OB2＝7－4.
18．【答案】(1)選擇見解析；
(2)
【分析】（1）設(shè)圓方程為，利用待定系數(shù)法即可得解；
（2）考慮切線斜率存在和不存在兩種情況，利用直線與圓相切的性質(zhì)得到相應(yīng)方程，解之即可得解.
【詳解】（1）若選①：
依題意，設(shè)圓方程為，，，
則，解得，
所以圓方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．
若選②：
依題意，設(shè)圓方程為，，
又圓心在直線上，
所以，解得，
所以圓方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為.
若選③：已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且以線段為直徑，
可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，即圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)椋园霃綖椋?br>所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，故切線只有一條，
又圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，顯然不符合題意；
當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線，即，
則圓心到切線的距離，解得，
所以切線l的方程為，即.
19．【答案】(1)
(2)面積最大值為8，直線方程為或
【分析】（1）法1：求出圓心和半徑，得到圓心到直線的距離，利用垂徑定理得到弦長(zhǎng)；
法2：聯(lián)立直線與圓的方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長(zhǎng)公式求出答案；
法3：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出答案；
（2）設(shè)出直線方程，求出圓心C到直線的距離，利用垂徑定理表達(dá)出面積，求出最大值，并得到，，得到直線方程.
【詳解】（1）法1：圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心C到直線的距離.
則截得的弦長(zhǎng)；
法2：設(shè)，聯(lián)立方程組得，
消得，
；
法3：設(shè)，聯(lián)立方程組得，
消得，解得，
則，
.
（2）圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與圓沒有交點(diǎn)，舍去，
設(shè)直線的方程為，即，
則圓心C到直線的距離為，
又的面積，
所以當(dāng)時(shí)取最大值8，
由，得，
解得，，
所以直線的方程為或.
2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市武安市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試卷（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．2π3D．
2．若點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．
3．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是圓（為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相交D．外離
6．已知，，且，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．在長(zhǎng)方體，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則點(diǎn)到截面的距離為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)為，，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)的取值可能是（ ）
A．10B．8C．5D．4
10．已知橢圓C：上有一點(diǎn)分別為其左、右焦點(diǎn)，，的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．的周長(zhǎng)為
B．角的最大值為
C．若，則相應(yīng)的點(diǎn)共有2個(gè)
D．若是鈍角三角形，則的取值范圍是
11．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)到的最大距離為8
B．若被圓所截得的弦長(zhǎng)最大，則
C．若為圓的切線，則的取值為0或
D．若點(diǎn)也在圓上，則點(diǎn)到的距離的最大值為3
三、填空題（本大題共3小題）
12．過點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為的直線方程為 .
13．若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線與 所成角的余弦值是 ．
14．已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，，設(shè)直線l1，l2的交點(diǎn)為P．
(1)求P的坐標(biāo)；
(2)若直線l過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．
16．已知圓C的圓心C在直線上，且圓C過，兩點(diǎn)，
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作圓C的切線l，求切線l的方程.
17．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的圓記為．
(1)求邊的中線所在直線的一般式方程；
(2)求圓的一般方程．
19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則
，則.
故選：D．
2．【答案】A
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（1，1）在圓內(nèi)部，所以,解之得.
3．【答案】A
【詳解】∵方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴m2＞m+2＞0，
解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．
故選A．
4．【答案】D
【詳解】由題意，化簡(jiǎn)可得,半徑，
由已知可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是，故選D．
5．【答案】A
【詳解】由，得，
所以圓的圓心，半徑，
由，得，
所以圓的圓心，半徑，
所以，
所以兩圓內(nèi)切，
故選：A
6．【答案】B
【詳解】由題意：，，
，則存在非零實(shí)數(shù)，使得，
，解得.
故選：B.
7．【答案】B
【詳解】如下圖所示：
設(shè)，，，又，
平面，平面，平面平面.
又平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，
則的長(zhǎng)即為點(diǎn)到截面的距離，在中，，，
由，可得，因此，點(diǎn)到截面的距離為，故選B.
8．【答案】D
【詳解】

如圖：由題意不妨設(shè)Px1,y1在第一象限，知，
因?yàn)?，所以?br>所以，
則，且，即，
又由，所以，又，即，
結(jié)合解得，
代入中，整理得，
即，解得（舍）或.
故選：D.
9．【答案】AC
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由，得；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由，得．
故選：AC.
10．【答案】ABD
【詳解】由已知可得，所以，的周長(zhǎng)為，故A正確；因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓C相切于上下頂點(diǎn)，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)P共有4個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闉殁g角三角形，所以中有一個(gè)角大于，由選項(xiàng)B知不可能為鈍角，所以或?yàn)殁g角，當(dāng)時(shí)，最大，將代入得，此時(shí)的面積為，所以三角形的面積，故D正確；
故選：ABD
11．【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，由題意可知，直線過定點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為3，
設(shè)圓心到直線的距離為，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)與直線不垂直時(shí)，總有，
綜上，，所以點(diǎn)到的最大距離為，故A正確；
對(duì)于B，若被圓所截得的弦長(zhǎng)最大，則直線過圓心，可得，
所以，故B正確；
對(duì)于C，若為圓的切線，則，解得，
另一條切線為，斜率不存在，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若也在圓上，則直線與圓相切或相交，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，
點(diǎn)到的距離取最大值，故D正確.
故選：ABD
12．【答案】或
【詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則其方程為，
即，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得，
此時(shí)直線方程為；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，也滿足條件；
綜上可知所求直線方程為或.
故答案為：或.
13．【答案】
【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，
∴B（2，2，0），D1（0，0，4），A（2，0，0），D（0，0，0），
（﹣2，﹣2，4），（﹣2，0，0），
設(shè)異面直線BD1與AD所成角為θ，
則csθ．
∴異面直線BD1與AD所成角的余弦值為．
故答案為．
14．【答案】
【詳解】，與的夾角為鈍角，則，即.
又當(dāng)與的夾角為平角時(shí)，有，得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為且.
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）聯(lián)立方程，解得，即P．
（2）∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴直線l的斜率為或直線l經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，∵直線l過點(diǎn)P，∴l(xiāng)的方程為；
當(dāng)直線l斜率為時(shí)，∵直線l過點(diǎn)P，∴l(xiāng)的方程為，
綜上所述，直線l的方程為或．
16．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）∵，∴線段的中垂線斜率為.
又線段的中點(diǎn)為，∴線段的中垂線方程為，即.
由可得,即，∴半徑為，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題知，切線l的斜率存在，設(shè)切線l的斜率為k，
則，即.
∴，解得，,
∴l(xiāng)的方程為或.
17．【答案】（1）見解析；（2）.
【詳解】（1）連接，
，分別為，中點(diǎn) 為的中位線
且
又為中點(diǎn)，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面
平面
（2）設(shè)，
由直四棱柱性質(zhì)可知：平面
四邊形為菱形
則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
則：，，，D（0，-1,0）
取中點(diǎn)，連接，則
四邊形為菱形且 為等邊三角形
又平面，平面
平面，即平面
為平面的一個(gè)法向量，且
設(shè)平面的法向量，又，
，令，則，

二面角的正弦值為：
18．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，設(shè)的中點(diǎn)為
所以，，則
所以直線的斜率，
則直線的方程為：，整理成一般式為：．
（2）解：已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的圓記為，
設(shè)圓的方程為：，
則：
解得：，
所以圓的方程為．
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，
則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面.
（2）因是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，又為的中點(diǎn)，則，
在平面內(nèi)，過作，由（1）可得，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)在棱上，，則，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
而二面角的大小為，
所以，
解得，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
而，
所以點(diǎn)到平面的距離.

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