1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在試卷和答題卡指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程直接得答案.
【詳解】拋物線開(kāi)口向右，，準(zhǔn)線方程是，
故選：C．
2. 已知空間向量，，則與的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
所以與的夾角的余弦值是，
故選：B
3. 已知直線l過(guò)原點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，恰與y軸重合，則直線l的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)傾斜角求出直線斜率得解.
【詳解】因?yàn)閥軸的傾斜角為，
所以直線l的傾斜角為，直線斜率，
所以直線l的方程為，
故選：D
4. 已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由A，B，C成等差數(shù)列得到，再利用求解；
【詳解】解：因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，
所以．又，
解得，
所以，
故選：C．
5. 一個(gè)容積為2升的瓶中裝滿某種水溶液，從中倒出1升后用水添滿搖勻，再倒出1升混合溶液后再用水添滿搖勻，如此進(jìn)行下去，若使得瓶中溶液濃度低于原來(lái)的10%，則至少需要倒（ ）
A. 3次B. 4次C. 5次D. 6次
【答案】B
【解析】
【分析】倒n次后濃度變?yōu)椋瑥亩玫讲坏仁?，求出答?
【詳解】設(shè)該種水溶液的原濃度為a，倒1次后濃度變?yōu)?，?次后濃度變?yōu)?，…?br>倒n次后濃度變?yōu)椋睿╪為正整數(shù)），解得.
故選：B．
6. 已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，結(jié)合離心率公式即可求得范圍.
【詳解】由題可知，所以．
又因?yàn)椋?，?br>所以C的離心率的取值范圍是，
故選：D．
7. 過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)作互相垂直的兩條直線AB，CD，與圓分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，，用表示，再結(jié)合基本不等式的知識(shí)即可得最大值.
【詳解】過(guò)點(diǎn)O分別作AB，CD垂線，垂足為M，N，則四邊形OMPN為矩形，
所以．
設(shè)，，則，，
所以，，所以．
因?yàn)?br>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值），所以的最大值為，
故選：A．

8. 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，且兩兩所成的角均為60°．若空間中的點(diǎn)D，E滿足，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用余弦定理求出，再對(duì)已知式子化簡(jiǎn)可得，，從而可得點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，進(jìn)而可求出的最大值.
【詳解】因?yàn)?，，且兩兩所成的角均?0°，
所以，
．
由，得，
所以，
由，得，
所以，所以，
因此點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，兩個(gè)球的半徑分別為，，
設(shè)點(diǎn)，分別是AB，AC的中點(diǎn)，則，
所以DE的最大值為，
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)圓外的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若點(diǎn)，則四邊形的面積是
B. 若點(diǎn)，則四邊形的外接圓方程是
C. 若點(diǎn)在直線上，則所在圓的直徑的最小值是
D. 當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離為
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A，即可求解；對(duì)于B，由四邊形的外接圓的直徑是，即可求解；對(duì)于C，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直徑最小，即可求解；對(duì)于D,由到圓心的距離為，確定 為正方形，可判斷；
【詳解】若，則，又，，，
所以，所以，A正確；
四邊形的外接圓直徑是，若，則，圓心為，
故外接圓方程是，B不正確；
因?yàn)樵c(diǎn)O到直線的距離為，
所以當(dāng)為垂足時(shí)，以為直徑的圓的直徑最小，為，C正確；
若點(diǎn)到圓心O的距離為，易得：，此時(shí)四邊形是正方形，此時(shí)，
易知，當(dāng)時(shí)，，，故D不正確，
故選：AC．
10. 已知數(shù)列滿足，．若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，為等差數(shù)列，且公差為2，從而得到，進(jìn)而得到；CD選項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和得到，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到.
【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以為等差數(shù)列，且公差為2，又，故首項(xiàng)為，
所以，即，A正確，B不正確；
CD選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
，且關(guān)于單調(diào)遞增，且，
所以，C，D都正確.
故選：ACD．
11. 如圖，四面體由矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊而成，其中，，當(dāng)向量和所成的角為45°時(shí)，下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 折疊過(guò)程中四面體外接球的表面積恒等于
B. 棱BD的長(zhǎng)度為4
C. 平面ABD
D. 四面體的四個(gè)面都是直角三角形，其內(nèi)切球的半徑是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體特征以及矩形的邊長(zhǎng)得到球心的位置和半徑可知A正確.由向量數(shù)量積運(yùn)算可得可知B不正確.由勾股定理可知，再由線面垂直判定定理可知C正確.利用等積法可算得內(nèi)切球半徑可知D正確.
【詳解】對(duì)于A，在四面體中，，，，，
外接球的球心在AC的中點(diǎn)處，且半徑，所以表面積為，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所成的角?5°，所以，解得，B不正確；
對(duì)于C，由勾股定理，得，又，所以，，
又，所以平面ABD，C正確；
對(duì)于D，由勾股定理，得，，又，，
所以四面體的四個(gè)面都是直角三角形，
易得，
四面體表面積，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，所以由等積法可得，解得，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若橢圓的一條弦AB的中點(diǎn)為，則直線AB的斜率為_(kāi)_____．
【答案】##04
【解析】
【分析】利用點(diǎn)差法得，再代入M點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案.
【詳解】易知，，設(shè)橢圓中心為O，
不妨設(shè)坐標(biāo)為，則，
兩式作差可得：，
設(shè)，OM的斜率，
則，解得．
故答案為：.
13. 已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．
【答案】
【解析】
【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系得是等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解可得答案.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)除以得，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即．
故答案為：.
14. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)N在對(duì)角線上且，則MN的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】易得點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓?。缓笠渣c(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，由，得到，利用向量的模求解.
【詳解】點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓?。?br>以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則．
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以．
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）與由Sn與an的關(guān)系結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得答案；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，顯然也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
則，
所以，
兩式相減可得，
所以，
故數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16. 已知平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的直線：與直線：，平面內(nèi)點(diǎn)M向直線，作垂線，垂足分別為P，Q，記，，定義點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為．
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M共有幾個(gè)？請(qǐng)寫(xiě)出其坐標(biāo)．
（3）求“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離．
【答案】（1）和
（2）點(diǎn)M共有4個(gè)，其坐標(biāo)為，，，
（3）4或
【解析】
【分析】（1）由，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)的定義和角平分線的定義求解；
（2）由，得到點(diǎn)M在與直線：平行的直線方程，同理得到時(shí)，點(diǎn)M在與直線平行的直線方程，然后聯(lián)立求解；
（3）易得點(diǎn)M滿足，分和，利用余弦定理求得，再由OM是四邊形OPMQ外接圓的直徑，利用正弦定理求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：若，則點(diǎn)M到直線，的距離相等，
所以點(diǎn)M的軌跡是∠POQ的平分線所在直線，
軌跡方程為和．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在與直線：平行且距離為1的兩條平行線上，易得，所以方程為．
同理，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在與直線平行的兩條直線上．
綜上所述，與的交點(diǎn)有4個(gè)，即“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M共有4個(gè)，
其坐標(biāo)為，，，．
【小問(wèn)3詳解】
“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M滿足，
若，則，
由余弦定理得，
OM是四邊形OPMQ外接圓的直徑，由正弦定理得，
同理，當(dāng)時(shí)，，，
．
綜上所述，“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為4或．
17. 已知拋物線上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F和原點(diǎn)O的距離相等．
（1）求拋物線的方程．
（2）若AB，CD是拋物線的兩條不同的弦，且滿足．
（?。┣笞C：直線AB，CD過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)Q；
（ⅱ）過(guò)原點(diǎn)O作AB，CD的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形OMQN面積的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）2
【解析】
【分析】（1）由題意得，代入拋物線方程即可求得p值，則拋物線方程可得；
（2）（i）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求得t值即可得直線AB過(guò)的定點(diǎn)，同理得CD過(guò)的定點(diǎn)即可得證；
（ii）先確定O，M，Q，N四點(diǎn)在以O(shè)Q為直徑的圓上，結(jié)合圖象即可直接求得四邊形OMQN面積的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
原點(diǎn)，焦點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，故，
代入拋物線方程可得．又，所以，
所以拋物線方程為．
【小問(wèn)2詳解】
（?。┳C明：設(shè)直線AB的方程為，，，
與聯(lián)立可得，且，，
由韋達(dá)定理可得．
又，即，
所以，解得，所以直線AB：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
同理，直線CD也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
（ⅱ）解：由（?。┲?，
所以O(shè)，M，Q，N四點(diǎn)在以O(shè)Q為直徑的圓上，圓心即焦點(diǎn)．
當(dāng)MN經(jīng)過(guò)圓心F且與OQ垂直時(shí)，四邊形OMQN的面積最大，
此時(shí)四邊形OMQN的面積為2，即四邊形OMQN面積的最大值為2．
18. 如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，連接BP，，，．
（1）（?。┣蟮拈L(zhǎng)；
（ⅱ）判斷直線和平面BCP是否垂直，并證明你的結(jié)論．
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）（?。?；（ⅱ）直線平面BCP，證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）由題意求出結(jié)合勾股定理得，，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；
（2）利用空間向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
（?。┯深}設(shè)，，，，
所以為等邊三角形，，所以，所以為等邊三角形，
在中，由余弦定理，得，故，
在中，由余弦定理，得，
所以．
（ⅱ）直線平面BCP．
證明如下：在中，．
由可得，由得．
又，所以．
又，平面BCP，
所以直線平面BCP．
【小問(wèn)2詳解】
由（ⅱ）知直線平面BCP，又平面，
所以平面平面BCP．
過(guò)點(diǎn)P作平面垂線PD，則，PB，PD兩兩垂直，
故以點(diǎn)P為原點(diǎn)，，PB，PD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，，，，
所以，，．
設(shè)平面與平面的法向量分別為，，
則，即，取，則，，
則．
同理，即，取，則，則，
所以，即平面與平面夾角的余弦值是．
19. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為，，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為．點(diǎn)P是雙曲線上不同于A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平分線的垂線（垂足為M）交直線于點(diǎn)Q，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于C，D兩點(diǎn)，記，的內(nèi)切圓的圓心分別為，．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出直線CD的傾斜角的取值范圍．
（2）（ⅰ）證明：，在一條定直線上．
（ⅱ）求，到右頂點(diǎn)B的距離之差的取值范圍．
【答案】（1），
（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用焦點(diǎn)到漸近線的距離和焦點(diǎn)距離求出雙曲線的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式求解直線斜率的范圍，進(jìn)而得到傾斜角的范圍.
（2）（?。├秒p曲線定義和內(nèi)切圓性質(zhì)，證明的橫坐標(biāo)均為，即它們?cè)谥本€上；（ⅱ）由于的的橫坐標(biāo)與右頂點(diǎn)相同，應(yīng)用圖形特征得出最后結(jié)合角的范圍計(jì)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
焦點(diǎn)，到漸近線的距離均為b，故．
由角平分線的性質(zhì)可知，在中，OM是中位線，則有．
又，即．又，，，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
知，漸近線的傾斜角分別為，，
當(dāng)CD是通徑時(shí)，其傾斜角；
當(dāng)CD不是通徑時(shí)，可設(shè)其方程為，代入雙曲線方程，整理可得，．
由，可得，所以或，
綜上所述，．
【小問(wèn)2詳解】
（?。┰O(shè)C在第一象限內(nèi)，內(nèi)切圓與，，的切點(diǎn)分別為R，S，T，
則，，，
所以．
因此，切點(diǎn)T是右頂點(diǎn)B，所以圓心在直線上；
同理，圓心也在直線上，從而在直線上．
（ⅱ）解：連接，，，，由（1）知，都垂直于，
且，平分，．知，．
當(dāng)時(shí)，到右頂點(diǎn)B的距離之差為0．
當(dāng)時(shí)，在，中，因?yàn)?，所以，?br>則，，所以．
因?yàn)?，所以?br>又，且，即或，所以或．
綜上所述，，到右頂點(diǎn)B的距離之差的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明的關(guān)鍵點(diǎn)是內(nèi)切圓性質(zhì)的應(yīng)用結(jié)合雙曲線定義即可證明.

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