注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章6.1.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 某大學(xué)食堂備有4種葷菜?8種素菜?2種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數(shù)為（ ）
A. 14B. 64C. 72D. 80
【正確答案】B
【分析】按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.
【詳解】因為備有4種素菜，8種葷菜，2種湯，所以素菜有4種選法，葷菜有8種選法，湯菜有2種選法，
所以要配成一葷一素一湯的套餐，可以配制出不同的套餐有種.
故選：B．
2. 已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（ ）
A. 3B. C. 6D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，
所以，
所以．
故選：B.
3. 若函數(shù)，則（ ）
A. 0B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入導(dǎo)函數(shù)中進(jìn)行計算.
【詳解】對于函數(shù)，求導(dǎo).
將代入中.
所以.
故選：A.
4. 現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的4個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B. C. 20D. 9
【正確答案】A
【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計數(shù)原理可得答案.
【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.
則由分步計數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為.
故選：A
5. 已知函數(shù)，則的極小值為（ ）
A. 2B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及函數(shù)的極小值的定義即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因為
所以，
令，則，解得或（舍），
由此表可知，當(dāng)時，的取得極小值為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，若，則下列式子大小關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得到，由函數(shù)單調(diào)性得到，故，從而得到，得到答案.
【詳解】在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
因為，故，所以，故，
所以，
當(dāng)時，，
故，，則，
故，
綜上，，A正確.
故選：A
7. 已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】由題意的值域包含于的值域，再分別求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而根據(jù)值域區(qū)間端點(diǎn)滿足的不等式列式求解即可.
【詳解】，，令，解得，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以的值域為.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以值域為，
又，使得，所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
8. 已知直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A. 2B. C. D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點(diǎn)，繼而求出t的值，結(jié)合切線方程，即可求得答案.
【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，
設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即①
令，解得，
即直線與曲線的切點(diǎn)為，
所以，即，解得或，
當(dāng)時，①為，不符合題意，舍去，
所以，此時①可化為，所以，
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐項計算判斷即可.
【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A錯誤；
對于B：因為，所以，故B正確；
對于C：因為，所以，故C正確；
對于D：，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減B. 的最小值為0
C. 的對稱中心為D. 方程有3個不同的解
【正確答案】AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性及極值畫出函數(shù)的大致圖象，逐項判斷，可判斷A,B,D,對于C，利用中心對稱定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對于A：，令或，令，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
可畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示，故A正確；
對于B：此函數(shù)無最小值，故B錯誤；
對于C：根據(jù)解析式易知，故C正確；
對于D：根據(jù)圖象可知有2個不同的解，故D錯誤，
故選:AC．
11. 已知函數(shù)的最大值為1，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時，
C.
D. 當(dāng)時，
【正確答案】ACD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求最值，結(jié)合已知可得，可判斷A；利用單調(diào)性可判斷BC；將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.
【詳解】對A，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時取得最大值，解得，A正確；
對B，由上可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因為，所以，B錯誤；
對C，因為，所以，所以，C正確；
對D，當(dāng)時，，不等式成立，
當(dāng)時，，
記，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
綜上，當(dāng)時，不等式成立，D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 家住廣州的小明同學(xué)準(zhǔn)備周末去深圳旅游，從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次.則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有__________.
【正確答案】90種
【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得方法種數(shù)為（種）.
故90種
13. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則_____________．
【正確答案】
【分析】對函數(shù)兩邊求導(dǎo)，然后賦值，解得代入即可求解.
【詳解】由，函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：，
令，則，所以
代入函數(shù)得：．
故
14. 設(shè)實數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則k的最小值為_______．
【正確答案】##
【分析】將整理為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到，即，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到，即可得到的范圍.
【詳解】由得，
即，
令，則．
因為，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以，即，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以k的最小值為．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
（1）；
（2）；
（3）.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，根據(jù)求導(dǎo)法則，可得答案.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
.
16. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）求的極值.
【正確答案】（1）；
（2）極小值為，無極大值.
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)坐標(biāo)列方程求解即可；
（2）求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可確定極大值和極小值.
【小問1詳解】
由題意知，所以，
解得；
【小問2詳解】
由（1）知，令，所以，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以的極小值為，無極大值.
17 已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
【正確答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）.
【分析】（1）求出，由題意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的單調(diào)區(qū)間.
（2）由條件可得在區(qū)間上恒成立，得在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)，可得答案.
【小問1詳解】
，
，解得，則，
，
令，解得或，令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
【小問2詳解】
，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，
因為恒大于，所以在區(qū)間上恒成立，
設(shè)，
當(dāng)時，得在區(qū)間上不恒成立，所以不滿足題意，
當(dāng)時，由于函數(shù)的對稱軸，所以要在區(qū)間上恒成立，
只需不等式組無解，
或解得，
當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，
要在區(qū)間上恒成立，
則只需，無解，
綜上，實數(shù)的求值范圍是.
18. 已知函數(shù)．
（1）若恰有兩個極值點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若的兩個極值點(diǎn)分別為，證明:．
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析.
【分析】（1）由題意導(dǎo)函數(shù)在上恰有兩個不同的解，再根據(jù)二次函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)值，對稱軸與判別式列式求解即可；
（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個不同的根，所以再代入化簡，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可證明不等式.
【小問1詳解】
在上恰有兩個不同的解，
令，所以
解得，即實數(shù)的取值范圍是；
【小問2詳解】
證明：由（1）知是方程的兩個不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以．
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）令，當(dāng)時，求的極值點(diǎn)個數(shù)；
（3）令，當(dāng)有且僅有兩個零點(diǎn)時，求的取值范圍.
【正確答案】（1）答案見解析
（2）兩個極值點(diǎn). （3）或
【分析】（1）求導(dǎo)，利用一次型含參討論求得單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)，求的極值點(diǎn)個數(shù)即為求的變號零點(diǎn)個數(shù)；
（3）求導(dǎo)，整理得，易知，為一個零點(diǎn)，
分和分類討論.
【小問1詳解】
定義域為，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，由，得，
由，得，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
，
令
當(dāng)時，時單調(diào)遞減，
時，單調(diào)遞增，，
又時，，
所以分別在和上存在唯一的變號零點(diǎn)，
即有兩個極值點(diǎn).
【小問3詳解】
，
又為一個零點(diǎn)，
①若，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以只有一個零點(diǎn).
②若，令
又，則，即單調(diào)遞增，
i.當(dāng)時，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，的最小值為，函數(shù)只有一個零點(diǎn).
ii.當(dāng)時，即，當(dāng)時，，
所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增
又時，，所以有兩個零點(diǎn).
iii.當(dāng)時，即，當(dāng)時，，
所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
又時，，所以有兩個零點(diǎn).
所以，有且僅有兩個零點(diǎn)時，或.
思路點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，可以通過轉(zhuǎn)換、求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，借助零點(diǎn)存在定理求解.
x
2
－
0
＋
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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