一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．等差數(shù)列的首項為，公差不為0，若成等比數(shù)列，則的前6項和為（ ）
A．24B．24C．3D．3
4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．如圖，正方形中，是直線上的動點，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
6．設，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數(shù)的定義域為，值域為，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐標系內，函數(shù)及其導函數(shù)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個公共點，其坐標為，則（ ）
A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為1
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．設方程在復數(shù)范圍內的兩根分別為，，則下列關于，的說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
10．盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為，地震釋放的能量為，則數(shù)列是等比數(shù)列
11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則
D．若，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上．
12．已知函數(shù)，則________．
13．《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經包含了深刻的哲理．如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中，為正八邊形的中心，則_________．
14．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當]時，，
則________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題13分）
在△中，角、、所對的邊為、、，，角的平分線交邊于點，且．
（1）求的值；
（2）若，求△的面積．
16．（本小題滿分15分）
某企業(yè)投資生產產品，經過市場調研，生產產品的固定成本為200萬元，每生產萬件，需可變成本萬元，當產量不足50萬件時，；當產量不小于50萬件時，．每件產品的售價為100元．
（1）寫出利潤關于產量的函數(shù)；
（2）若生產的產品可以全部銷售完，則生產該產品能獲得的最大利潤為多少萬元？
17．已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前項和．
18．已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，求證：．
19．定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列1，3，5經過第一次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3，8，5；第二次“和擴充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3，11，8，13，5．設數(shù)列經過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為．
（1）若已知數(shù)列3，4，5，求；
（2）求不等式的解集；
（3）是否存在不全為0的數(shù)列，使得數(shù)列為等差數(shù)列？請說明理由．
2024-2025學年高三年級第一學期期中考前考二數(shù)學答案
1-8 CBAA CDDC 9-11 ABD ACD BCD
12．13． 14．1
15．解：（1）因為，由正弦定理可得，
，所以，故，
又角為三角形內角，故；
（2）由題意可知，即，化簡可得，
在△中，由余弦定理得，
從而，解得或（舍），所以．
16．解：（1）由題意得，銷售收入為100萬元，
當產量不足50萬件時，利潤；
當產量不小于50萬件時，利潤．
所以利潤
（2）①當時，，
當時，在上單調遞增；
當時，在（40,50）上單調遞減，則；
②當時，，
當且僅當，即時取等號．又，故當時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元．
所以，生產該產品能獲得的最大利潤為1000萬元．
17．解：（1）由，則當時
兩式相減得，所以．將代入得，，
所以對于，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．
（2）．，
因為當時，當時，所以當時，，
當時，．
故．
18．解：（1）當時，，∴
斜率，∴，即，
曲線在點處的切線方程為．
（2）證明：當時，，則，
則
故只需證當時，即可，
即證，即證，即證，令，
在上單調遞增，又，
故在上有唯一的實根，且，
當時，，當時，，
所以當時，取得最小值，由得，,
兩邊取對數(shù)得，即．
∴，即，綜上所述：當時，．
19．解：（1）第一次“和擴充”：3，7，4，9，5；第二次“和擴充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5；
故．
（2）數(shù)列經每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
數(shù)列經過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，
則經第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，
所以，所以，
其中數(shù)列經過1次“和擴充”后，得到，
故，故是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故，
又，則，即，解得．
（3）因為，
，
依次類推，，
故
，若使為等差數(shù)列，則，
所以存在不全為0的數(shù)列，使得數(shù)列為等差數(shù)列．

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