1.通過(guò)類(lèi)比探索全等三角形的判定方法，得到相似三角形的判定方法。2.掌握三角形相似的判定定理1：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。3.學(xué)會(huì)從題設(shè)或結(jié)論出發(fā)尋求論證思路的分析方法，提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。
想一想：1.什么是相似三角形？
一般地，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形.
2.全等三角形的判定方法有哪些？
“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”.
【思考】怎樣運(yùn)用三角形的相似測(cè)量河的寬度？
【合作學(xué)習(xí)】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC. △ADE與△ABC相似嗎?
證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，又∵DE∥BC，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=BF，DB=EF， ∵DE∥BC，EF∥AB，
又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.
判定三角形相似的預(yù)備定理：
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
根據(jù)上述預(yù)備定理，我們可以得到以下三角形相似的判定定理：
有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
已知：如圖，在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求證：△ABC∽△A'B'C'.
證明：如圖，在A'B'上截取A'D=AB，作DE∥B'C'，交AC于點(diǎn)E，則△A'DE∽△A'B'C'(平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似).
又∵∠A=∠A'，∠B=∠B'=∠A'DE，∴△ABC≌△A'DE,∴△ABC∽△A'B'C'.
相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．
幾何語(yǔ)言：在△ABC與△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
【例1】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為了測(cè)量河寬AB，小聰采用了如下方法：從A處沿與AB垂直的直線方向走45m到達(dá)C處，插一根標(biāo)桿，然后沿同方向繼續(xù)走15m到達(dá)D處，再右轉(zhuǎn)90°走到E處，使B，C，E三點(diǎn)恰好在一條直線上. 量得DE=20m，這樣就可以求出河寬AB.請(qǐng)你說(shuō)明理由，并算出結(jié)果.
【想一想】有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形是否相似？
因?yàn)檫@兩個(gè)三角形是直角三角形，所以有一個(gè)直角是相等的，又因?yàn)檫@兩個(gè)三角形有一個(gè)銳角相等，根據(jù)三角形相似判定定理，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似，所以有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形是相似三角形。
【知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)】 必做題：1.如圖，在□ABCD中，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BF交DC于點(diǎn)E，則圖中相似三角形共有(　　).A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)
3.已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°，70°，另一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是70°，80°，則這兩個(gè)三角形(　　).A．一定相似 B．不一定相似C．一定不相似 D．全等
4.如圖所示，D是BC邊上的點(diǎn)，∠ADC＝∠BAC，則下列結(jié)論正確的是(　　).A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DACC．△ABD∽△ACD D．以上都不對(duì)
【知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)】 選做題：5.在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝60°，∠B＝40°，∠A′＝60°，當(dāng)∠C′為（ ）時(shí)，△ABC∽△A′B′C′.A．40° B．60° C．80° D．100°
6.如圖，現(xiàn)有測(cè)試距離為5 m的一張視力表，表上一個(gè)“E”的高AB為2 cm，要制作測(cè)試距離為3 m的視力表，其對(duì)應(yīng)位置的“E”的高CD為_(kāi)_______ cm.
7.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE于點(diǎn)F，求證：△DAF∽△AEB.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∴∠DAF＋∠BAE＝90°.∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DFA＝∠B，∠ADF＝∠BAE.∴△DAF∽△AEB.
本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？
1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
2.有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
3.有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形是相似三角形。
【知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)】必做題
1.如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長(zhǎng)是(　　).A．1 B．2 C．3 D．4
2.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝45°，∠B＝26°，∠E＝109°，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似.
解：如圖，∵∠A＝45°，∠B＝26°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－26°＝109°.又∵∠E＝109°，∴∠C＝∠E.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DFE.
選做題：3.如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則相似三角形共有(　 　)。A．3對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)
選做題：4.如圖所示，△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD與CE相交于點(diǎn)F，連結(jié)DE. 求證：△BEF∽△CDF；
證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEF＝∠CDF＝90°，又∵∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF.
【綜合實(shí)踐類(lèi)作業(yè)】5.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn). 求證：△AEB∽△CFB.
證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△AEB∽△CFB.

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本

4.4 兩個(gè)三角形相似的判定

版本： 浙教版（2024）

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