掌握判定三角形相似的預(yù)備定理，并了解它的證明過程.掌握利用兩角判定三角形相似的定理，了解證明過程，并會根據(jù)相似三角形的判定定理判定兩個三角形相似.能利用三角形的相似解決簡單的實(shí)際問題.
怎樣運(yùn)用三角形的相似測量河的寬度？
在解決這個問題之前，我們先思考：判定兩個三角形相似需要多少條件？
回顧判定兩個三角形全等的條件，相應(yīng)的，猜想判定兩個三角形相似有哪些條件？
兩個三角形全等的條件：
AAS，ASA，SAS，SSS，HL.
兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等
如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC. △ADE與△ABC相似嗎？
猜想： △ADE∽△ABC.
先證明兩個三角形的角分別相等.
在△ADE和△ABC中，∠A=∠A.
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
再證明兩個三角形的邊成比例.
過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.
∵DE∥BC， EF∥AB，
∵四邊形DBFE是平行四邊形，
∴△ADE∽△ABC.
判定三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
根據(jù)上述預(yù)備定理，我們可以得到以下三角形相似的判定定理：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
證明：如圖，在A′B′上截取A′D=AB，作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E，則△A′DE∽△A′B′C′.又∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′=∠A′DE，∴△ABC≌△A′DE，∴△ABC∽△A′B′C′.
已知：如圖，在△ABC 與△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠ B′. 求證：△ABC∽△A′B′C′.
由兩角對應(yīng)相等判定三角形相似是所有判定方法中最常用的方法之一，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)角，解題時應(yīng)注意挖掘公共角、對頂角、同角的余角（或補(bǔ)角）等相等關(guān)系.常見的基本圖形如下：
（1）若∠ADE=∠B，則有△ADE∽△ABC；
（2）若∠CDE=∠A，則有△ABC∽△DEC；
（3）若∠CDA=∠CAB，則有△ABC∽△DAC；
（4）若∠A=∠C，則有△OAB∽△OCD；
（5）若∠B=∠E，則有△AED∽△ABC.
例1 在一次數(shù)學(xué)活動課上，為了測量河寬AB，小聰采用如下方法：從A處沿與AB垂直的直線方向走45 m到達(dá)C處，插一根標(biāo)桿，然后沿同方向繼續(xù)走15 m到達(dá)D處，再右轉(zhuǎn)90°走到E處，使B，C，E三點(diǎn)恰好在一條直線上. 量得DE=20 m，這樣就可以求出河寬AB. 請你說明理由，并算出結(jié)果.
類似地，頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似.任意兩個等邊三角形都相似.
一對銳角相等的兩個直角三角形相似.
三角形相似的判定定理：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
1.能否判定如圖△ABC與△A′B′C′相似？為什么？
解：能判定這兩個三角形相似. 理由如下：∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-105°-35°=40°，∴∠C=∠C′.又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
2.如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的各條邊上，且DE∥BC，DF∥AC. 請盡可能多地找出圖中的相似三角形，并說明理由.
解：（1）△ADE∽△ABC. 理由如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.（2）△DBF∽△ABC. 理由如下：∵DF∥AC，∴△DBF∽△ABC.
（3）△ADE∽△DBF. 理由如下：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠DBF，∠EDF=∠DFB.又∵DF∥AC，∴∠EDF=∠AED.∴∠DFB=∠AED.∴△ADE∽△DBF.

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）九年級上冊電子課本

4.4 兩個三角形相似的判定

版本： 浙教版（2024）

年級： 九年級上冊

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