廣東省清遠(yuǎn)市陽山縣2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題，8個(gè)小題，每小題5分共40分.
1. 點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知，
點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選：A
2. ，，若，則（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量共線求出m，n的值作答.
【詳解】因?yàn)?，，，則存在，使得，
即，于是，解得，
所以.
故選：C
3. 某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對(duì)立事件是（）
A. 至多投中一次B. 兩次都投中
C. 只投中一次D. 兩次都沒投中
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷.
【詳解】至少投中1次的反面是沒有一次投中，因此選項(xiàng)D正確．
故選：D．
4. 已知直線的一個(gè)方向向量，直線的一個(gè)方向向量，若，且，則（）
A. -3或1B. 3或
C. -3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合即可求得x的值，再根據(jù)，列出方程，即可求得y，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，又，所以?br>所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，
所以或.
故選：A.
5. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)可得答案.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)榕c的中點(diǎn)相同，所以，
解得，所以.
故選：A.
6. 利用隨機(jī)模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法，用此方法可以快速進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)而用頻率估計(jì)概率．甲、乙兩名選手進(jìn)行比賽，采用三局兩勝制決出勝負(fù)，若每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)整數(shù)，約定出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1或2時(shí)表示一局比賽甲獲勝，由于要比賽3局，所以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)如下：
354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，則依此可估計(jì)甲選手最終贏得比賽的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析隨機(jī)數(shù)中表示甲獲勝的數(shù)目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，表示甲獲勝有：151，125，112，312，252，114，123，共7種情況，
所以可估計(jì)甲選手最終贏得比賽的概率為，
故選：B
7. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離為即可求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，而，
故到l的距離為.
故選：C
8. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得，利用三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，，所以．
因?yàn)椋?，所?
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以,因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)檎襟w中，平面，平面,故，
所以，
故選：B．
二、多選題，4個(gè)小題，每小題5分共20分，有錯(cuò)選不得分，少選且正確得2分.
9. 已知向量，，則下列說法正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算并判斷.
【詳解】對(duì)于A，向量，，則，A正確；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由數(shù)量積的定義得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以，D正確.
故選：AD.
10. 設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說法正確的是（）
A. ，，兩兩不共線，但兩兩共面
B. 對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得
C. ，，能構(gòu)成空間另一個(gè)基底
D. 若，則實(shí)數(shù)，，全為零
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.
【詳解】因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以，，兩兩不共線，但兩兩共面，故A正確；
對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得，故B正確；
因?yàn)?，所以，，共面，故不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)空間向量基本定理可知，若，則實(shí)數(shù)，，全為零，故D正確；
故選：ABD
11. 已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果與互斥，那么
D. 如果與相互獨(dú)立，那么
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)一個(gè)盒子里有標(biāo)號(hào)為 1 到 10 的小球，從中摸出一個(gè)小球，記下球的編號(hào)，
記事件A=“球的編號(hào)是偶數(shù)”，事件B=“球的編號(hào)是1，2，3” ，事件C=“球的編號(hào)是奇數(shù)” 滿足，但是選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，如果，那么，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，如果與互斥，那么，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，如果與相互獨(dú)立，那么
，所以選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）
A.
B. 存在一點(diǎn)，使得
C. 三棱錐的體積為
D. 若，則的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，利用空間向量法判斷A、B、D，根據(jù)錐體的體積公式判斷C.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、，
設(shè)點(diǎn)，其中，，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，
所以，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，
若，則，解得，不符合題意，
所以不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，
所以，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
若，則，可得，
由，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題，4個(gè)小題，每小題5分共20分.
13. 從長(zhǎng)度為的條線段中任取條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】從條線段中任取條，則有，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；
其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共個(gè)；
所求概率.
故答案為：.
14. 已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的模是___________
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出投影向量，再求出模作答.
【詳解】向量，，則，，
因此向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量的模是.
故答案為：
15. 已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】依題意設(shè)，列方程組能求出結(jié)果．
【詳解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，
設(shè)，
，2，，，，
，
解得，，．
故答案為：．
16. 點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，計(jì)算出正四面體內(nèi)切球的半徑，由此可求得，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)為正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即可得解.
【詳解】如下圖所示：
正四面體的棱長(zhǎng)為，其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，
則為正的中心，且平面，
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，
，，
平面，平面，，則，
面積為，
正四面體的體積為，
設(shè)球的半徑為，則，
，，
，，
，
當(dāng)點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，
因此，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查空間向量數(shù)量積的最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了正四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于較難題.
四、解答題，6個(gè)小題，第17題10分，第18-22每題12分，共70分.
17. ，，.
（1）若，求.
（2）若，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；
（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得，即可求出，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋遥?br>所以，即，即，即，
所以，
所以.
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋遥?br>所以，解得，
所以，
所以，，
所以.
18. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.求下列事件的概率.
（1）“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是5”；
（2）“Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典摡型概率計(jì)算公式，即可求解；
（2）利用列舉法，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；
【小問1詳解】
解：由拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件共有個(gè)不同的結(jié)果，
因?yàn)椤皟蓚€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是5”，可得事件，
所以，所以.
【小問2詳解】
解：因?yàn)椤阿裉?hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”，
可得事件，即，
所以.
19. 如圖，已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求的值.
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解計(jì)算即可.
【小問1詳解】
連接，
因?yàn)锳BCD是正四面體，所以是等邊三角形，
又因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以，
而平面，因此平面，
而平面，因此；
【小問2詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
所以有，
由（1）同理可證明，即，
因?yàn)锳BCD是正四面體，
所以是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2，
因此.
20. 近年來，我國居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長(zhǎng)趨勢(shì)，其對(duì)人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=衡量人體胖瘦程度是否健康，中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BMI

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