南陽(yáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)科試卷滿分：150分  考試時(shí)間：120分鐘     一、單選題，8個(gè)小題，每小題5分共40分.1. 點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A2. ，，若，則（    ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量共線求出m，n的值作答.【詳解】因?yàn)?/span>，，，則存在，使得，即，于是，解得，所以.故選：C3. 某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對(duì)立事件是（    ）A. 至多投中一次 B. 兩次都投中C. 只投中一次 D. 兩次都沒(méi)投中【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷.【詳解】至少投中1次的反面是沒(méi)有一次投中，因此選項(xiàng)D正確．故選：D．4. 已知直線的一個(gè)方向向量，直線的一個(gè)方向向量，若，且，則（    ）A. -3或1 B. 3或C. -3 D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合即可求得x的值，再根據(jù)，列出方程，即可求得y，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以或.故選：A.5. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>與的中點(diǎn)相同，所以，解得，所以.故選：A.6. 利用隨機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法稱(chēng)為蒙特卡洛方法，用此方法可以快速進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)而用頻率估計(jì)概率．甲、乙兩名選手進(jìn)行比賽，采用三局兩勝制決出勝負(fù)，若每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)整數(shù)，約定出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1或2時(shí)表示一局比賽甲獲勝，由于要比賽3局，所以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)如下：354   151   314   432   125   334   541   112   443   534   312   324   252   525   453   114   344   423   123   243，則依此可估計(jì)甲選手最終贏得比賽的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析隨機(jī)數(shù)中表示甲獲勝的數(shù)目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，表示甲獲勝有：151，125，112，312，252，114，123，共7種情況，所以可估計(jì)甲選手最終贏得比賽的概率為，故選：B7. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離為即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則，所以，而，故到l的距離為.故選：C8. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得，利用三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，所以．因?yàn)?/span>，，所以,因?yàn)?/span>，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以,因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)檎襟w中，平面，平面,故，所以，故選：B．二、多選題，4個(gè)小題，每小題5分共20分，有錯(cuò)選不得分，少選且正確得2分.9. 已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算并判斷.【詳解】對(duì)于A，向量，，則，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由數(shù)量積的定義得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，D正確.故選：AD.10. 設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. ，，兩兩不共線，但兩兩共面B. 對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得C. ，，能構(gòu)成空間另一個(gè)基底D. 若，則實(shí)數(shù)，，全為零【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以，，兩兩不共線，但兩兩共面，故A正確；對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得，故B正確；因?yàn)?/span>， 所以，，共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量基本定理可知，若，則實(shí)數(shù)，，全為零，故D正確；故選：ABD11. 已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果與互斥，那么D. 如果與相互獨(dú)立，那么【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)一個(gè)盒子里有標(biāo)號(hào)為 1 到 10 的小球， 從中摸出一個(gè)小球， 記下球的編號(hào)，記事件A=“球的編號(hào)是偶數(shù)”， 事件B=“球的編號(hào)是1，2，3” ，事件C=“球的編號(hào)是奇數(shù)” 滿足 ， 但是 選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果 ， 那么，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C， 如果與互斥，那么 ， 所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如果與相互獨(dú)立，那么，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A. B. 存在一點(diǎn)，使得C. 三棱錐的體積為D. 若，則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，利用空間向量法判斷A、B、D，根據(jù)錐體的體積公式判斷C.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，若，則，解得，不符合題意，所以不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，若，則，可得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題，4個(gè)小題，每小題5分共20分.13. 從長(zhǎng)度為的條線段中任取條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】從條線段中任取條，則有，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共個(gè)；所求概率.故答案為：.14. 已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的模是___________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出投影向量，再求出模作答.【詳解】向量，，則，，因此向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量的模是.故答案為：15. 已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于__________.【答案】【解析】【分析】依題意設(shè)，列方程組能求出結(jié)果．【詳解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，設(shè)，，2，，，，，解得，，．故答案為：．16. 點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是_______________.【答案】【解析】【分析】作出圖形，計(jì)算出正四面體內(nèi)切球的半徑，由此可求得，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)為正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即可得解.【詳解】如下圖所示：正四面體的棱長(zhǎng)為，其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，則為正的中心，且平面，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，，，平面，平面，，則，面積為，正四面體的體積為，設(shè)球的半徑為，則，，，，，，當(dāng)點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量數(shù)量積的最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了正四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題，6個(gè)小題，第17題10分，第18-22每題12分，共70分.17. ，，.（1）若，求.（2）若，求的值【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得，即可求出，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，且，所以，即，即，即，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?/span>，且，所以，解得，所以，所以，，所以.18. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.求下列事件的概率.（1）“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是5”；（2）“Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典摡型概率計(jì)算公式，即可求解；（2）利用列舉法，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；【小問(wèn)1詳解】解：由拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件共有個(gè)不同的結(jié)果，因?yàn)?/span>“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是5”，可得事件，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?/span>“Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”，可得事件 ，即，所以.19. 如圖，已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求的值.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)?/span>ABCD是正四面體，所以是等邊三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以，而平面，因此平面，而平面，因此；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以有，由（1）同理可證明，即，因?yàn)?/span>ABCD是正四面體，所以是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2，因此.20. 近年來(lái)，我國(guó)居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長(zhǎng)趨勢(shì)，其對(duì)人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=衡量人體胖瘦程度是否健康，中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9為正常：24≤BMI<27.9為偏胖；BMI>28為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機(jī)抽取了100名居民體檢數(shù)據(jù)，將其BMI值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖．  （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計(jì)該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)BMI的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法從，的兩組中抽取6名居民，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一組的概率．【答案】（1），80%分位數(shù)為    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為求出，再根據(jù)頻率分布直方圖求百分位數(shù)步驟求解即可；（2）先按照分層抽樣在，分別抽取人和人，再應(yīng)用古典概型計(jì)算可解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知組距為，所有矩形面積和為，所以，解得因?yàn)?/span>，，三組頻率之和為，而，，，，四組的頻率之和為，故樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)80%分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取人，則在，分別抽取人和人，記這組兩個(gè)樣本編號(hào)為，這組編號(hào)為，故從人隨機(jī)抽取人所有可能樣本的構(gòu)成樣本空間：設(shè)事件“從6個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，抽取到2人的值不在同一組”，則故，即從這6個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，抽取到2人的值不在同一組的概率為.21. 如圖，在直三棱柱中，，．  （1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)后利用它們的數(shù)量積為零可證異面直線的垂直.（2）求出平面的法向量和的坐標(biāo)后可求點(diǎn)面距.【小問(wèn)1詳解】建立直角坐標(biāo)系，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).  依題意得，因?yàn)?/span>，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)是平面的法向量，由得所以，令，則，因?yàn)?/span>，所以到平面的距離為.22. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，且．記的中點(diǎn)為，若在線段上（異于、兩點(diǎn)）．（1）若點(diǎn)是中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接、，然后證明四邊形為平行四邊形，從而，從而平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線段的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?/span>，，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則且，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則且，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，平面.【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)?/span>，，為的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，且，因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，，，所以，，所以，，則，又因，、平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則、、、，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，若直線與平面所成角的正弦值為，則，整理可得，因?yàn)?/span>，解得，故.

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