A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再利用交集定義去求
【詳解】由，解得，則，
所以.
故選：C.
2. 已知，是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由可得：，
對(duì)兩邊同時(shí)平方可得，所以，
所以”是“”的充要條件.
故選：C.
3. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）
A. B.
CD.
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，故是非奇非偶函?shù)，A錯(cuò)，
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，∴B不對(duì)，
對(duì)于C，∵定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，
設(shè)，∵在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∴在上為增函數(shù)，∴C對(duì).
對(duì)于D，∵為奇函數(shù)，∴D不對(duì).
故選：C.
4. 在的展開式中，的系數(shù)是（）
A. B. 8C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，
取，則，系數(shù)為.
故選：A
5. 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）
A. 升B. 升C. 升D. 升
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，由題意列方程求出，進(jìn)而得解.
【詳解】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，
由題意可得：則，聯(lián)立解得
故選：C．
6. 函數(shù)的大致圖象為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性及函數(shù)特殊值，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除A，B選項(xiàng)，
因?yàn)?，排除C選項(xiàng)，
故選：D
7. 已知,,，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由得，，由得，從而可得.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，
又因?yàn)?，?br>所以，即.
故.
故選：D
8. 已知函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中，，而且在區(qū)間上有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，
故，
當(dāng)時(shí)，，有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，
由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 的最小正周期為B. 點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C. 在上單調(diào)遞增
D. 將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象
【答案】BC
【解析】
【分析】求正弦型函數(shù)最小正周期判斷A；代入法驗(yàn)證是否為對(duì)稱中心判斷B；由函數(shù)在上遞增求自變量x的對(duì)應(yīng)區(qū)間判斷C；根據(jù)平移寫出平移后的解析式判斷D.
【詳解】的最小正周期為，故A錯(cuò)誤．
，
所以是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確．
由，
所以在上單調(diào)遞增，C正確．
的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D錯(cuò)誤．
故選：BC
10. 一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列說法正確的是（）
A. 從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是；
B. 從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；
C. 現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；
D. 從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
【答案】AD
【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可判斷C，根據(jù)條件概率的計(jì)算可判斷C，根據(jù)對(duì)立重復(fù)事件的概率可求D.
【詳解】對(duì)于A，從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是,故A正確，
對(duì)于B, 從中有放回取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X服從二項(xiàng)分布，即，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C ,第一次取到紅球后，第二次取球時(shí)，袋子中還有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，再次取到紅球的概率為，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，
所以取球3次沒有取到白球的概率為，
.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，
故選：AD
11. 已知函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）
A. 0B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意可知，令，換元后可得，即，則實(shí)數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點(diǎn)，
得在有兩個(gè)解，
由可得，令，則，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，
對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于二次方程，即，，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：ABD.
12. 生態(tài)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)種群數(shù)量較少時(shí)，種群近似呈指數(shù)增長(zhǎng)，而當(dāng)種群增加到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學(xué)上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中，，是正數(shù)，表示初始時(shí)刻種群數(shù)量，叫做種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率，是環(huán)境容納量.可以近似刻畫時(shí)刻的種群數(shù)量.下面給出四條關(guān)于函數(shù)的判斷正確的有（）
A. 如果，那么存在，；
B. 如果，那么對(duì)任意，；
C. 如果，那么存在，在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
D. 如果，那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】解方程得到A正確，計(jì)算得到B正確，求導(dǎo)得到恒成立，C錯(cuò)誤，構(gòu)造，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，解得，，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，，故，
，故，即，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，，故任意的，在處的導(dǎo)數(shù)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：令，
則，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求最值是解題的關(guān)鍵.
三、填空題：
13. 在中，，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理計(jì)算作答.
【詳解】在中，，，，
由正弦定理，得.
故答案為：
14. 某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有__________種(用數(shù)字作答)．
【答案】24
【解析】
【分析】應(yīng)用捆綁、插空法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，
排完后其中有3個(gè)空，最后將甲、乙插入其中的兩個(gè)空有種，
綜上，共有種排法.
故答案為：
15. 已知角的大小如圖所示，則的值為________
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)圖像求出正切值，然后分子分母同除構(gòu)造正切結(jié)構(gòu)，最后代入即可.
【詳解】由圖可知，
所以
，
故答案為：
16. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則______；______.
【答案】 ①. 55 ②.
【解析】
【分析】依題意可得，利用累計(jì)法求出，即可求出，根據(jù)正方形數(shù)可知，即可得到當(dāng)時(shí)，，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】根據(jù)三角形數(shù)可知，，則，，…，，
累加得，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上式，
故，則；
根據(jù)正方形數(shù)可知，
當(dāng)時(shí)，，
則
.
故答案為：；四、解答題：
17. 在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算可得；
（2）由正弦定理計(jì)算可得；
（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.
【小問1詳解】
由余弦定理知，，
所以，即，
解得或（舍負(fù)），所以．
【小問2詳解】
由正弦定理知，，
所以，
所以．
【小問3詳解】
由余弦定理知，，
所以，，所以
.
18. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；
（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，由可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得：，.
【小問2詳解】
由（1）得：，
，
，.
19. 小家電指除大功率，大體積家用電器（如冰箱、洗衣機(jī)、空調(diào)等）以外的家用電器，運(yùn)用場(chǎng)景廣泛，近年來隨著科技發(fā)展，智能小家電市場(chǎng)規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢(shì)，下表為連續(xù)5年中國(guó)智能小家電市場(chǎng)規(guī)模（單位：千億元），其中年份對(duì)應(yīng)的代碼依次為1~5.
（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明（若，則線性相關(guān)程度較高，精確到0.01）；
（2）建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
參考公式和數(shù)據(jù)：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，，.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)求出樣本相關(guān)系數(shù)，可得答案；
（2）由題中數(shù)據(jù)求出，，可得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
【小問1詳解】
由表知的平均數(shù)為，
所以，
，
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明與的線性相關(guān)程度較高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
【小問2詳解】年份代碼
1
2
3
4
5
市場(chǎng)規(guī)模（單位：千億元）
1.30
1.40
1.62
1.68
1.80
，
，
，，
所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
20. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用、的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用錯(cuò)位相減法求得，即可證明.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，又，則；
當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，
整理可得，又為正項(xiàng)數(shù)列，即，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，所以，
所以，
所以，
所以.
21. 哈六中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.
（1）若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（2）已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
依題意得甲獲得決賽資格概率為，乙獲得決賽資格的概率為，
的所有可能取值為，
，，，
所以的分布列為：
所以.
【小問2詳解】
記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，
則，，，，，，
所以
.
甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.
22. 已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意，都有，求的取值范圍．
【答案】（1）判斷見解析
（2）
【解析】
【分析】小問1：當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在上正負(fù)，即可確定在上的單調(diào)性；
小問2：由得，令，將參數(shù)區(qū)分為，，0
1
2
三種情況，分別討論的單調(diào)性，求出最值，即可得到的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，得，故，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù).
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，故，即，即.
令
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故，即?br>又，故在上恒成立，故；
②當(dāng)時(shí)，，，
故在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，故；
③當(dāng)時(shí)，由②可知在上單調(diào)遞增，設(shè)時(shí)的根為，
則在時(shí)為單調(diào)遞減；在時(shí)為單調(diào)遞增
又，故，舍去；
綜上：
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，及利用恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍的問題，對(duì)參數(shù)做到不重不漏的討論，是解題的關(guān)鍵.

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