一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 如圖，陰影部分所表示的集合為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析出陰影部分所在范圍，再根據(jù)集合的交、并、補的意義即可得答案.
【詳解】解：由題意可得，陰影部分不在集合內，所以一定在內；
又因為陰影部分在集合內，
所以陰影部分所表示的集合為.
故選：B.
2. 命題“，都有”的否定是（）
A. ，使得B. ，都有
C. ，使得D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定得解.
【詳解】根據(jù)全程命題的否定得：命題“，都有”的否定是：，使得，
故選：A.
3. 已知集合只有一個元素，則的取值集合為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對參數(shù)分類討論，結合判別式法得到結果.
【詳解】解：①當時，，此時滿足條件；
②當時，中只有一個元素的話，，解得，
綜上，的取值集合為，．
故選：D．
4. 已知集合M滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素構成的集合為集合的子集，從而可求出集合的個數(shù).
【詳解】因為
所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素構成的集合為集合的子集，
所以集合的個數(shù)為，
故選：C
5下列四個命題∶.
①
②
③
④至少有一個實數(shù)x，使得x3+1=0
其中真命題的序號是（）
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】結合全稱量詞命題和存在量詞命題的定義，逐一判斷即可.
【詳解】對于①，，當時等號成立，①正確，
對于②，由于，故②錯誤，
對于③，當時，，③錯誤，
對于④，當時，，故④正確，
所以正確的為①④.
故選：D.
6. 山東省自2017年入學的高中生實行選科分班，每名學生自高二起從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中任選三科作為選考科目.若某校高二1班由選考物理、化學、生物的學生組成，其中選物理的30人，選化學的20人，選生物的20人，既選物理又選化學的10人，既選物理又選生物的8人，既選化學又選生物的10人，三科都選的5人，則該班的學生總數(shù)為（）
A. 45B. 47C. 48D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件結合韋恩圖求出只選物理和化學，不選生物，只選化學和生物，不選物理，只選物理和生物，不選化學，只選物理，只選化學，只選生物的人數(shù)，從而計算出總人數(shù)
【詳解】
因為三科都選5人，所以只選物理和化學，不選生物的有人，
只選化學和生物，不選物理的有人，
只選物理和生物，不選化學的有人，
則只選物理的有人，
只選化學有人，
只選生物的有人，
所以該班學生總數(shù)為人.
故選：B
7. 已知集合，，且，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)集合與集合的交集和并集運算結果，確定集合與集合中元素，再根據(jù)元素與集合的關系求解參數(shù)即可.
【詳解】，，
得，解得.
故.
又因為，所以得.
代入得，解得：，
綜上可得：.
故選：C.
8. 定義集合運算：.若集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)集合中的元素球集合，再求.
【詳解】，
當，或，或，或，解得或或或，
所以，，
所以.
故選：D
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 已知集合，集合，則（）
A. ?B. ?C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】將集合，，再由集合的包含關系以及集合的交、并運算即可求解.
【詳解】由題意知，集合，
集合，
為偶數(shù)，為整數(shù)，
所以，，.
故選：AD.
10. 下列說法正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)作差法分析判斷A、D，根據(jù)不等式的性質分析判斷B、C.
【詳解】對A：
∵，，
∴由不能得出，例如，A錯誤；
對B：
∵，
∴，即，B正確；
對C：
∵，則，
∴，C正確；
對D：
作差得：，
∵，，則，
∴，即，D正確.
故選：BCD.
11. 下列條件可以作為的充分不必要條件的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式得到，再根據(jù)集合的包含關系及充分條件必要條件的定義判斷可得；
【詳解】解：由，即，解得，因為，所以是的必要不充分條件，故A錯誤；
所以是的充分不必要條件，故B正確；
，所以是的必要不充分條件，故C錯誤；
所以是的充分不必要條件，故D正確；
故選：BD
12. 若集合A具有以下性質：（1）0∈A，1∈A；（2）x，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，∈A，則稱集合A是“完美集”，給出以下結論，其中正確結論的序號是（）
A. 集合B＝{－1，0，1}是“完美集”；
B. 有理數(shù)集Q是“完美集”；
C. 設集合A是“完美集”，若x，y∈A，則x＋y∈A；
D. 設集合A是“完美集”，若x，y∈A，則xy∈A；
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用第（2）條性質結合，可判斷A選項的正誤；利用題中性質（1）（2）可判斷B選項的正誤；當時，推到出，結合性質（2）可判斷C選項的正誤；討論、中是否有或可推導出，可判斷D選項的正誤．
【詳解】對于A選項，取，，則，集合不是“完美集”，A選項錯誤；
對于B選項，有理數(shù)集滿足性質（1）、（2），則有理數(shù)集為“完美集”，B選項正確；
對于C選項，若，則，，C選項正確；
對于D選項，任取、，若、中有或時，顯然；
當、均不為、且當，時，，
則，所以，，，，D選項正確
故選：BCD
【點睛】本題考查集合的新定義，正確理解定義“完美集”是解題的關鍵．
三?填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 設，，若，則實數(shù)a的值是______．
【答案】，0，
【解析】
【分析】分，和三類討論即可.
【詳解】,
①當時,無解,,
②當時,,
③當時,,
故實數(shù)的值是.
故答案為：.
14. 設集合，，若，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由集合間的關系，即可得出結論.
【詳解】因為，，
所以
故答案為：
【點睛】本題考查的是集合的運算，較簡單.
15. 已知，則的取值范圍為____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質即可得到結果
【詳解】解：因為，所以，
由于，，所以，
所以的取值范圍是
故答案為：
16. 若，則，就稱是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合個數(shù)為_________.
【答案】
【解析】
【分析】列舉出滿足條件的集合，即可得解.
【詳解】由題意可知，滿足條件的集合為：、、、、、、，共個.
故答案為：.
四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 求證：關于x方程有兩個同號且不相等的實數(shù)根的充要條件是.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】結合判別式、根與系數(shù)關系，先證得充分性，然后證得必要性.
【詳解】①充分性：
因為，
所以方程的判別式，且兩根積，
所以方程有兩個同號且不相等的實根.
②必要性：
若方程有兩個同號且不相等的實根，
設兩根為，
則有，解得.
綜合①②可知，方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是，命題得證.
18. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)寫出集合，由集合得到，即可求得答案；
（2）由是的充分條件，可得，對集合分情況討論，列不等式組即可解得答案.
【小問1詳解】
若時，則，
或，
，
；
【小問2詳解】
是的充分條件，，
①當時，，解得，
②當時，，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.
19. 設集合，.
（1）若，求實數(shù)a的值；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）2；（2）或.
【解析】
分析】
（1）由，得到，代入方程，得到，求得或，代入驗證，即可求解；
（2）由，可得，分和兩種情況討論，結合集合的包含關系，即可求解.
【詳解】（1）由題意，集合，
因為，可得，
把代入方程，可得，解得或；
當時，集合，不符題意舍；
當時，集合，符合題意，
綜上可得，實數(shù)a的值.
（2）因為，可得，
①當時，則滿足，解得；
②當時，集合或或，
若或，則，解得，
此時，不符合題意；
若，由根與系數(shù)的關系定理，可得，解答，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是或.
【點睛】本題主要考查了元素與集合的關系，以及根據(jù)集合的包含關系求解參數(shù)問題，其中解答中熟練應用集合的包含關系，分類討論求解是解答的關鍵，著重考查分類討論思想，推理與運算能力.
20. 已知命題“使不等式成立”是假命題
（1）求實數(shù)m的取值集合；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)題意得出命題的否定“，不等式”成立是真命題，然后由或求解即可；
（2）根據(jù)題意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【小問1詳解】
因為命題 “，不等式”成立是假命題，
所以命題的否定 “，不等式”成立是真命題，
所以或，解得或，
故集合；
【小問2詳解】
因為，即，
所以，
因為是集合的必要不充分條件，
令集合，則集合是集合的真子集，
即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是
21. （1）比較與的大小；
（2）已知，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求差法進行大小比較即可；
（2）求差法去證明即可解決.
【詳解】（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
22. 設命題：對任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立．
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若命題與命題一真一假，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）為真命題時，任意，不等式恒成立可轉化為，求解即可
（2）化簡命題，由（1）結合條件列不等式即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
因為為真命題，
所以對任意，不等式恒成立，
所以，其中，
所以，解得，
所以的取值范圍；
【小問2詳解】
若為真命題，即存在，使得不等式成立，
則，其中，
而，
所以，故；
因為，一真一假，
所以為真命題，為假命題或為假命題，為真命題，
若為真命題，為假命題，則，所以；
若為假命題，為真命題，則或，所以.
綜上，或，

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