本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求，再求．
【詳解】由已知得，所以，故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查交集、補(bǔ)集的運(yùn)算．滲透了直觀想象素養(yǎng)．使用補(bǔ)集思想得出答案．
2. 命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是
A. 所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B. 所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C. 存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D. 存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是“存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)”．故選D．
考點(diǎn)：命題的否定．
3. 正確表示圖中陰影部分的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通過并集，交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，表達(dá)的部分為①②③的并集，不滿足要求，A錯(cuò)誤；
BD選項(xiàng)，如圖2，和表達(dá)的部分均為②③④部分的并集，不滿足要求，BD錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，根據(jù)計(jì)算，滿足題意，C正確；
故選：C
4. “”的一個(gè)必要不充分條件為（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合關(guān)系判定充分必要條件即可.
【詳解】顯然A項(xiàng)是充要條件，不符合題意；
由“”可推出“”，即B項(xiàng)是充分條件，不符合題意；
“”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C項(xiàng)為既不充分也不必要條件，不符合題意；
易知真包含于，所以“”的一個(gè)必要不充分條件為“”，
故選：D．
5. 已知集合，則（）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得或，當(dāng)時(shí)，代入兩集合檢驗(yàn)是否滿足，再由求出的值，代入兩集合檢驗(yàn)是否滿足，還要注意集中元素的互異性
【詳解】因?yàn)?，所以?
①若，則，滿足；
②若，則或.
當(dāng)時(shí)，，滿足；
當(dāng)時(shí)，，集合不滿足元素的互異性，舍去.
綜上，或，
故選：.
6. 設(shè)，，，且，則下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A、D，舉反例可判斷B、C，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由可得，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：取，滿足，但，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：取，滿足，但，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D：由可得，故選項(xiàng)D正確；
故選：D.
7. 不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為整式型即一元二次不等式求解即可.
【詳解】由，
，整理得，
上式等價(jià)于，解得，
不等式的解集為.
故選：D.
8. 若正數(shù)滿足，則的最小值是（）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題不正確的是（ ）
A，
B. ，
C. “”充要條件是“”
D. “，”是“”的充分條件
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；利用充分條件、必要條件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用充分條件的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，命題“，”為假命題，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故命題“，”為假命題，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則無(wú)意義，即“”“”，
另一方面，當(dāng)時(shí)，則有，即，即“”“”，
所以，“”的充分不必要條件是“”，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即“，”是“”的充分條件，D對(duì).
故選：ABC.
10. 設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先將集合表示出來，由可得，則根據(jù)集合中的元素討論即可求出的值.
【詳解】集合，由可得，
則分和或或，
當(dāng)時(shí)，滿足即可；
當(dāng)時(shí)，滿足，解得：；
當(dāng)時(shí)，滿足，解得：；
當(dāng)時(shí)，顯然不符合條件，
所以的值可以為，
故選：.
11. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．
【詳解】由題意得，對(duì)稱軸，則，
當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；
設(shè)一元二次方程的兩根分別為，由圖象可知，整理可得，故D正確．
故選：BCD
12. 下列命題中的真命題有（）
A. 當(dāng)x＞1時(shí)，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 當(dāng)0＜x＜10時(shí)，的最大值是5
D. 若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若x+2y＝3xy，則2x+y的最大值為3
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A、C利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，
對(duì)于D根據(jù)基本不等式的變形分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A因?yàn)?，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B因?yàn)椋?br>等號(hào)成立的條件是，顯然不成立，所以等號(hào)不成立，不能使用基本不等式，即最小值不為2，令，則在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C因?yàn)?，則
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤
故選：AC.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
13. 集合中的元素為________．
【答案】
【解析】
【分析】由集合的表示可求出.
【詳解】
∴該集合中的元素為．
故答案為：
14. 已知，，則的取值范圍是__．
【答案】
【解析】
【分析】由不等式的基本性質(zhì)求解即可
【詳解】解：，，
則，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范圍是．
故答案為：．
15. 正數(shù)，滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式可得，，解不等式即可．
【詳解】正數(shù)、滿足，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，解得或（舍去），
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的取值范圍是.
故答案為：．
16. 若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】討論、，根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，再討論、情況下參數(shù)a、b之間的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)目標(biāo)式并應(yīng)用基本不等式求最大值，注意等號(hào)成立條件.
【詳解】1、當(dāng)時(shí)，題設(shè)不等式恒成立，只需恒成立，
時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)易知：不可能恒成立；
時(shí)，不成立；
∴不合要求.
2、當(dāng)時(shí)，由題設(shè)有或在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，在上不可能恒成立，不合要求；
當(dāng)時(shí)，在上、以零點(diǎn)為界兩側(cè)單調(diào)性相反，且零點(diǎn)相同，
∴，即，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.
綜上，的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知非空集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）求能使成立的的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合集合交集、并集的運(yùn)算，即可求解；
（2）由，得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，集合，
由集合交集和并集的定義與運(yùn)算，可得.
小問2詳解】
解：由非空集合，
因?yàn)?，可得?br>因?yàn)?，所以，解得?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）可利用數(shù)軸求兩個(gè)集合的交集；
（2）根據(jù)子集關(guān)系列出不等式組，解不等式組即得結(jié)果．
【詳解】（1）
（2）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，以及集合之間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
19. 已知函數(shù)．
（1）若當(dāng)時(shí)在上恒成立，求范圍；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口方向向上，若在上恒成立，列出不等式組，即可求解范圍；（2）由，即，對(duì)值進(jìn)行分類討論，可得不同情況下，不等式的解集．
試題解析：（1）只需解得
（2）
當(dāng)時(shí)得到
當(dāng)時(shí)，化為當(dāng)時(shí)得到或
當(dāng)時(shí)得到當(dāng)時(shí)得到或
當(dāng)時(shí)，化為當(dāng)時(shí)得到
當(dāng)時(shí)得到當(dāng)時(shí)得到．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了不等式的恒成立、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，本題的解答中在上恒成立，列出不等式組，即可求解范圍和把，轉(zhuǎn)化為，再對(duì)值進(jìn)行分類討論解答的基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．
20. 選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式.
（1）已知，求證：
（2）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足.證明：；
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可得，三式相加化簡(jiǎn)可得結(jié)論，
（2）利用基本不等式可得，三式相加，結(jié)合，可得結(jié)論
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
【小問2詳解】
因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即
21. 已知為正實(shí)數(shù)，且.
（1）求的最大值；
（2）是否存在，使得的值為？并說明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由條件等式及基本不等式求得，結(jié)合等號(hào)成立條件確定最值；
（2）由（1）及基本不等式求最小值，即可確定存在性.
【小問1詳解】
為正實(shí)數(shù)，且，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，則，且取等號(hào)，
的最大值為.
小問2詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
不存在，使得的值為.
22. 小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為萬(wàn)元．在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元，每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完．
（1）寫出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x萬(wàn)件的函數(shù)解析式．注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本
（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）
（2）年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分和求出利潤(rùn)，得利潤(rùn)的分段函數(shù)；
（2）分別利用二次函數(shù)及均值不等式求最值，比較大小可得函數(shù)的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為5元，則x（萬(wàn)件）商品銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值9；
時(shí)，，
此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，取得最大值15；
∵，
∴年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元．

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