一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. “”是“”的（）
A. 必要而不充分條件B. 充分而不必要條件
C充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】分析兩個集合和的關(guān)系，從而推出命題之間的關(guān)系
【詳解】解不等式，得
而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要條件
故選：B
2. 若，則函數(shù)的最小值為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】由題意可得：，
∵，則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：D.
3. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值排除錯誤選項，利用差比較法證明正確選項.
【詳解】A選項，，如，而，所以A選項錯誤.
B選項，，如，而，所以B選項錯誤.
C選項，，則，所以，所以C選項正確.
D選項，，如，而，所以D選項錯誤.
故選：C
4. 下列各組中的兩個函數(shù)，表示同一個函數(shù)的是（）
A. 與B. 與C. 與D. 與
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，并化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而判斷各選項.
【詳解】A選項：定義域為，的定義域為，故A選項錯誤；
B選項：與的定義域均為，且，故B選項正確；
C選項：與的定義域均為，但，故C選項錯誤；
D選項：的定義域為，的定義域為，故D選項錯誤；
故選：B.
5. 函數(shù)的圖像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化簡函數(shù)為分段函數(shù)，利用解析式即判斷圖象.
【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以C中的圖象滿足題意.
故選：C.
【點睛】方法點睛：本題考查由解析式選函數(shù)圖象問題，可由解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性，對稱性等等，研究函數(shù)值的變化規(guī)律，特殊的函數(shù)值等等用排除法確定正確選項．
6. 已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解集是，可求出的值，從而求解不等式的解集.
【詳解】因為不等式的解集是，
所以的兩根為，
則，
解得，
帶入不等式得，
即，
解得：.
故選：A
7. 三個數(shù),則的關(guān)系是
A. ；B. ；C. ；D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出的取值范圍，從而可得結(jié)果.
【詳解】因為，
，
，
三個數(shù)的關(guān)系是，故選C.
【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間 ）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.
8. 已知函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意知分段函數(shù)求值應(yīng)分段處理，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.
【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，且.
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
由得，，解得.
故選：C.
二、多選題（本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 設(shè)x，y為實數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)x，y的范圍及基本不等關(guān)系，對選項一一分析即可.
【詳解】對于A，，即，故A正確；
對于B，，則，即，故B錯誤；
對于C，，即，故C正確；
對于D，由題知，則，故D錯誤；
故選：AC
10. ，且，則m可能的取值為（）
A. 0B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題可得，然后討論集合B是否為空集，求解即得.
【詳解】由得或，
所以，
∵，
∴，
①時，，滿足；
②時，，又，
所以或，
∴或．
綜上，實數(shù)m的值可以為0或或.
故選：ABC．
11. 我們用符號表示兩個數(shù)中較小的數(shù)，若，，則（）
A. 最大值為1B. 無最大值C. 最小值為D. 無最小值
【答案】AD
【解析】
【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，結(jié)合圖象及新定義確定函數(shù)解析式及其最值.
【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，如圖：
根據(jù)題意，圖中實線部分即為函數(shù)的圖象.
由，解得，，
所以，
當(dāng)時，取得最大值，且，
由圖象可知無最小值，
故選：AD.
12. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）
A. 0B. C. 3D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】把問題轉(zhuǎn)化為有四個根，即和有四個交點，再分討論兩個函數(shù)是否能有4個交點，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)恰有4個零點，
所以有四個根，
即和有四個交點.
當(dāng)時，與圖像如下：
兩圖像有2個交點，不符合題意；
當(dāng)時，與x軸交于兩點.
圖像如下：
當(dāng)時，函數(shù)的函數(shù)值為，函數(shù)的函數(shù)值為.
兩圖像有4個交點，符合題意；
當(dāng)時，與軸交于兩點，
在內(nèi)函數(shù)圖像有兩個交點.
要使兩圖像有4個交點，只需與在內(nèi)有兩個交點即可，
即在還有兩個根，
就是在內(nèi)有兩個根，
函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.
所以且，
解得：
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
所以A，D不符合，B，C符合.
故選:BC
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若集合且，則實數(shù)a的取值為______．
【答案】4或
【解析】
【分析】由題意得出關(guān)于a的方程，求出a的值，利用集合的互異性確定出a的值．
【詳解】若，此時，符合題意；
若，則或，
當(dāng)時，此時不滿足集合中元素的互異性，舍去；
則，，符合題意．
故答案為：4或．
14. 函數(shù)的圖像恒過定點__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，令，解得：，
，所以函數(shù)的圖像恒過定點，
故答案為：.
15. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是__________
【答案】
【解析】
【分析】對參數(shù)分與討論，根據(jù)單調(diào)性求出范圍.
【詳解】當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)增，滿足題意；
當(dāng)時，為二次函數(shù)，對稱軸為，
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需滿足，解得；
若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則需滿足，無解；
綜上：.
故答案為：
16. 已知，且，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，則，根據(jù)基本不等式即可求出答案．
【詳解】解：由，得到，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
∴，
∴的最小值是，
故答案為：．
四、解答題（本題共6小題，17題10分，18至22題分別12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知，,．
（1）當(dāng)a＝1時，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，求出，進(jìn)而求出交集；
（2）根據(jù)條件得到，比較端點，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
，解得，故，
當(dāng)時，，
所以；
【小問2詳解】
因為，所以，
因為，所以，
所以，
解得：，
所以實數(shù)a的取值范圍為
18. 已知：；：．
（1）若是的必要條件，求的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
【詳解】試題分析：（Ⅰ）求出p，q成立的等價條件，根據(jù)p是q的必要條件，建立條件關(guān)系即可．
（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分條件，即q是p的必要不充分條件，建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．
解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即P：﹣2≤x≤10，
又q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（1）若p是q的必要條件，
則，即，即m2≤3，解得，
即m的取值范圍是．
（2）∵?p是?q的必要不充分條件，
∴q是p的必要不充分條件．
即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3
即m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
19. 設(shè)：對任意的都有，：存在，使，如果命題為真，命題為假，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：先根據(jù)恒成立得最小值，得p，再根據(jù)方程有解得q，根據(jù)命題為真，命題為假，得一真一假，最后分類求實數(shù)的取值范圍.
試題解析：由題意：對于命題，∵對任意的，∴，即；對于命題，∵存在，使，
∴,即或. ∵為真，為假，
∴一真一假，①真假時，, ②假真時，.
綜上，.
20. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.
（1）求實數(shù)和的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．
【答案】（1），；（2）上為增函數(shù)，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)有可得，再由可得；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義法證明即可.
【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，
∴．
即，
比較得，.
又，
∴，
解得，
即實數(shù)和的值分別是2和0.
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明如下：由（1）知，
設(shè)，
則，
，，，
∴，
∴，
即函數(shù)在上增函數(shù)．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義法證明，屬于中檔題.
21. 已知關(guān)于的不等式的解集為或
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到1和是方程的兩個實數(shù)根，再利用根與系數(shù)關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.
【小問1詳解】
因為不等式的解集為或，
所以1和是方程的兩個實數(shù)根，且，
所以，解得，即，.
所以實數(shù)，的值分別為1，2.
【小問2詳解】
由（1）知，于是有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，
依題意有，即，
得，即，
所以的取值范圍為．
22. 某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在2h內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間（h）之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)的圖象，且.
（1）寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）據(jù)測定：每毫升血液中藥物含量不少于時治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上8 點，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當(dāng)天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間注射第二次藥物，則第二次注射后再過1.5h，該人每毫升血液中藥物含量為多少（參考數(shù)據(jù)：）？
【答案】（1）
（2）13點（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象分段求解函數(shù)解析式即可；
(2)根據(jù)題意列出不等式，求解出答案即可；
(3)分別求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，把代入（是常數(shù)）
得：，解得：，
∴.
【小問2詳解】
設(shè)第一次注射藥物后最遲過小時注射第二次藥物，其中.
則，
解得：，
∴第一次注射藥物5h后開始第二次注射藥物，即最遲13點注射藥物.
【小問3詳解】
第二次注射藥物后
每毫升血液中第一次注射藥物的含量：
每毫升血液中第二次注射藥物的含量：，

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