本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷 （選擇題 共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知一個(gè)水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關(guān)線段的長度，即可求出平面圖形的面積.
】由直觀圖可得如下平面圖形：
其中，，
所以.
故選：A
2. 設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質(zhì)判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.
，，則可能平行，錯(cuò)；
，，由線面平行的性質(zhì)可得，正確；
，，則，與異面；錯(cuò)，
，，與可能平行、相交、異面，錯(cuò)，.故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).
3. 下列命題中正確的是（ ）
A. 點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
B. 若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則
D. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量對稱性知識來判斷A，利用直線方向向量與法向量垂直，結(jié)合線與面的位置關(guān)系來判斷B，利用空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)來判斷C，利用直線方向向量與法向量夾角來判斷D.
對于A，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)椋?，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C ，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，D選項(xiàng)正確；
故選：D
4. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，將直三棱柱展開成矩形，連結(jié)交于，此時(shí)最小，則，利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.
將直三棱柱展開成矩形，
如下圖，連接，交于，此時(shí)最小，
∵，則，而，
由且都在面，則面，
又，則面，即面，
點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，即，得，
又為直角三角形，此時(shí)三棱錐的體積為：
.
故選：C
5. 黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（ ）（附：的值取3，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.
設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），
則，，，
所以，
故圓臺部分的側(cè)面積為，
圓柱部分的側(cè)面積為，
故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.
故選：B.
6. 設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率的取值范圍求傾斜角的范圍.
設(shè)直線的斜率為，則，
故，而，故，
故選：C.
7. 在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，已知四棱錐為陽馬，且，底面．若是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件作出與、與底面所成的角，確定二面角的平面角，再推理計(jì)算作答.
四棱錐中，是線段上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過E作交CD于F，連接DE，SF，如圖，
則是與所成的角，即，因底面，則是與底面所成的角，即，
而底面， 則，又是長方形，即，而，平面，
則平面，又平面，即有，于是得是二面角的平面角，，
中，，中，，
由底面，底面可得，而，則有，
因，平面，則平面，又平面，
有，，
因，即有，因此，，而正切函數(shù)在上遞增，
所以.
故選：A
8. 如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等體積公式求出截面圓的半徑為，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.
由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面射影為的中心，連接，由，
得，所以，
因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以截面圓的半徑，
所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，
如圖所示

易求，所以，
易得，所以，
所以交線長度和為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題為空間幾何體交線問題，找到球面與三棱錐的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵.具體做法為由等體積公式求出截面圓的半徑，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.
二、多選題（本題共3個(gè)小題，每題6分，有多個(gè)選項(xiàng)，不分選對得部分分，共18分）
9. 直線的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】將兩直線的方程均化為斜截式，先固定，判斷另外一條是否與之相符.
對于A，由可知，，此時(shí)與圖象不符，故A錯(cuò)誤；
對于B，由可知，，此時(shí)圖象可能，故B正確；
對于C，由可知，，此時(shí)圖象可能，故C正確；
對于D，由可知，，此時(shí)與圖象不符，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（ ）

A. B.
C. 平面D. 異面直線與夾角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性運(yùn)算判斷A，由向量模的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)數(shù)量積為0證明垂直判斷C，由異面直線所成角的向量求法判斷D.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

而，從而A0,0,0，，，
對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯(cuò)誤；
對于C，，平面的一個(gè)法向量為，故C正確；
對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．
故選：ACD．
11. 如圖，一個(gè)漏斗形狀的幾何體上面部分是一個(gè)長方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個(gè)邊長為1的正方形，則（ ）
A. 該幾何體的體積
B. 直線PD與平面ABCD所成角的正切值為
C. 異面直線AP與CC1的夾角正弦值為
D. 存在一個(gè)球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)長方體和棱錐的體積公式求解即可；對于B，連接交于，連接，則可得為直線與平面所成角，然后求解即可；對于C，由于,則可得的補(bǔ)角為異面直線與的夾角，然后在中求解即可；對于D，先求出長方體的外接球半徑，然后判斷點(diǎn)是否在該球上即可.
對于A，該幾何體的體積為，故A正確；
對于B，連接交于，連接，
由題意可知四棱錐為正四棱錐，
所以平面，
所以為直線與平面所成角，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，
所以，
所以，故B正確；
對于C，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以或其補(bǔ)角為異面直線與的夾角,
且，
所以，
所以異面直線與的夾角余弦值為，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)長方體的外接球的球心為，半徑為，
則為的中點(diǎn)，
且，得，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)長方體的外接球上，
所以存在一個(gè)球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上，故D正確.
故選：ABD.
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.
12. 若直線：與直線：平行，則實(shí)數(shù)_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出答案.
由題意得，解得，檢驗(yàn)符合.
故答案為：
13. 已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．
【答案】2
【解析】
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.
如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，
設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因?yàn)?，即，解?
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法
（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；
（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長；
（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
14. 如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，，證得平面，設(shè)，且，由，求得，得到，求得，結(jié)合，即可求解.
取中點(diǎn)O，連接，可則,，
因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>設(shè)，且，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，可得且，
又由，
因?yàn)椋傻茫?br>解得，所以，
所以，
所以三棱錐的體積為.
故答案為：
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知，，．求：
（1）BC邊上的中線所在的直線方程；
（2）AB邊垂直平分線方程；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程即可；
（2）利用垂直平分線經(jīng)過AB的中點(diǎn)，且和AB垂直求解即可.
【小問1】
由于，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，
所以BC邊上的中線所在的直線方程為，整理得；
【小問2】
由于，，所以直線的斜率，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，AB邊垂直平分線斜率且過，
故AB邊垂直平分線方程為整理得．
16. 如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)．
（1）證明：EF平面ABC．
（2）證明：平面EFA⊥平面PAC．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用中位線定理得到EFBC，利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）由AB為圓O的直徑，得到BC⊥AC，再利用線面垂直得到BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC，結(jié)合（1）中，所以EF⊥平面PAC，得到面面垂直.
【小問1】
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)，所以EFBC，
因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，
所以EF平面ABC；
【小問2】
因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BC⊥AC．
因?yàn)镻A⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA，
又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA，
所以平面EFA⊥平面PAC．
17. 已知一條動(dòng)直線，
（1）求直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）重新整理直線方程，由此列方程組來求得定點(diǎn)坐標(biāo).
（2）利用截距式設(shè)出直線方程，根據(jù)三角形的面積以及點(diǎn)坐標(biāo)求得直線的方程，再經(jīng)過驗(yàn)證來確定正確答案.
【小問1】
由題意，整理得，
所以不管取何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，
解得，即.
【小問2】
設(shè)直線方程為，則，
由直線恒過定點(diǎn)，得，
由整理得：，解得或，
所以直線方程為：或，
即或，
又直線的斜率，
所以不合題意，則直線方程為.
18. 如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面再應(yīng)用線面垂直性質(zhì)得出線線垂直，即可證明線面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求線面角正弦值即可.
【小問1】
因?yàn)槭钦切?，M為AB中點(diǎn)，所以CM⊥AB，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，
又平面
所以平面
又因?yàn)槠矫?，所以?br>連接，易得，
所以，所以，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面.
【小問2】
取AC中點(diǎn)O，連接，易知三條直線兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，又，
所以，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為直線與所成角的余角，
所以直線與平面所成的角的正弦值為．
19. 已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，
為線段上一點(diǎn)，．

（1）求的長；
（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；
（3）若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解可得；
（2）利用法向量方法求二面角；
（3）設(shè)，，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將條件轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，結(jié)合模長等量關(guān)系，建立的方程組求解可得.
【小問1】
由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，由已知，
則,
則，
則，
且.
由題意知,
所以有，
則，解得（舍去），
故的長為.
【小問2】
由（1）知，,
又為中點(diǎn)，則，，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則.
故平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，且，
則，
故.
故二面角的正弦值為.
【小問3】
由（1）可得，
由題意，設(shè)，，
則
則，
由可知，，
且，由，
則，解得；
則，
則解得，，
則，
又，解得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于理解新定義“向量積”，首先它是一個(gè)向量，解題中也要從方向與長度兩個(gè)方面分析，如第三問中的轉(zhuǎn)化：一是該向量的垂直關(guān)系可得與兩個(gè)等式；二是向量的模長.由此通過建立空間直角坐標(biāo)系向量坐標(biāo)化轉(zhuǎn)化為方程組的求解即可.

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