人教A版 (2019)選擇性必修第二冊4.3 等比數(shù)列精品精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點01：等比數(shù)列前項和公式
若等比數(shù)列的首項為,公比為,則它的前項和
【即學(xué)即練1】（2023春·海南儋州·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列{an}中，
(1)已知，求前4項和；
(2)已知公比，前5項和，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)公比為，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
知識點02:等比數(shù)列前項和的性質(zhì)
公比為的等比數(shù)列的前項和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?
(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列
(2)當(dāng)是偶數(shù)時, ;當(dāng)是奇數(shù)時,
(3)
【即學(xué)即練2】（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，
其中，所以，
所以.
故選：A
知識點03：錯位相減法求數(shù)列的和
推導(dǎo)等比數(shù)列前項和的方法叫做錯位相減法,一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積所構(gòu)成的數(shù)列的前項和.
題型01等比數(shù)列前項和的基本量計算
【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列等比數(shù)列的前n項和．
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)378
【詳解】（1）由，，得
（2）由，，得
（3）由，，得
（4）由，，得
【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項和為．
(1)如果，，求；
(2)如果，，求q；
(3)如果，，求．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【詳解】（1）等比數(shù)列中，，，
，解得．
（2）在等比數(shù)列中，
，，顯然公比，
，整理得，
解得或．
（3）因為，，所以公比，
所以，，
所以，即，所以，
所以，則.
【變式1】（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列的前項和.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，
當(dāng)時，，
又，因為數(shù)列是等比數(shù)列，
所以滿足，
，即，
（2）由（1），，
，
，解得.
【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是等比數(shù)列.
(1)若，，求；
(2)若，，，求；
(3)若，，，求n.
【答案】(1)
(2)
(3)5
【詳解】（1）因為，，所以.
（2）由，，可得，即，
又由，得，所以.
（3）把，，代入，得．
整理得，解得.
題型02等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)
【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．8B．9C．16D．17
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，
因為為等比數(shù)列，所以仍成等比數(shù)列.
易知，
所以,故.
故選:A.
【典例2】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】等比數(shù)列的前項和為，則成等比數(shù)列，
設(shè)，則，，，，
所以.
故選：D
【變式1】（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．20B．30C．35D．40
【答案】B
【詳解】由等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：也成等比數(shù)列，
，得，
解得.
故選：B.
【變式2】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（）
A．13B．16C．9D．12
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，
因為為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，
可得仍成等比數(shù)列.
因為，所以，
所以，故.
故選：A
題型03等比數(shù)列奇、偶項和的性質(zhì)
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得所有項之和是所有偶數(shù)項之和的倍，所以，，故
設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項，
則，所以，，
因為，可得，因此，.
故選：C.
【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項中，所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則的值為．
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項中，設(shè)所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，
則，
所以，，
又，則，
因此，.
故答案為：.
【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項和為．
【答案】450
【詳解】在等比數(shù)列中，公比，則有，
而，于是得，
所以數(shù)列的前100項和．
故答案為：450
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前10項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（）
A．B．2C．D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，，又，
即前10項分別為，
所以數(shù)列的前10項中，，所以，
故選：C．
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，
又由數(shù)列的奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則，
故；
故選：
【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，，，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
即，
因為，所以，
則，
即，解得，
故選：B.
【變式4】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，求的值.
【答案】50
【詳解】解：設(shè),，
所以,
所以，
所以.
題型04分組求和法求數(shù)列的前項和
【典例1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由得,
,
又,
故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知,,
則,
故
.
【典例2】（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)9
【詳解】（1）兩邊取倒數(shù)得，，
即，
又，
故為首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，
故，
所以
，
故，則，
由于單調(diào)遞增，且，
，
故滿足條件的最大整數(shù)為9.
【變式1】（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且為等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求滿足的最大整數(shù).
【答案】(1)；
(2)11
【詳解】（1）由得，，，
故等比數(shù)列的公比為2，
則，
故；
（2）由（1）可得：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又易知當(dāng)時，，故時，和式，
故滿足的最大整數(shù)為11.
【變式2】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)公比是，則，，因此，
所以；
（2）由（1），
．
題型05錯位相減法求數(shù)列的前項和
【典例1】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.
(1)求與的通項公式；
(2)設(shè)，求的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為，
所以有和，
注意到，所以分別解得和，
因此由定義可知與的通項公式分別為.
（2）由（1）可知，
所以由題意有，
當(dāng)時，有，
所以有，
以上兩式作差得
，
當(dāng)時，有，
綜上所述：的前項和為.
【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二星海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由，，則，
有，則，
所以，又，顯然也滿足，
故是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則
所以，則，
所以，故.
（2）由，則，
所以，則，
所以，則.
【變式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得，
所以，，
數(shù)列的前項和為，且，
當(dāng)時，則有，
當(dāng)時，由可得，
上述兩個等式作差可得，即，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.
（2）解：因為，則，①
可得，②
①②得
，
故.
【變式2】（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）由，得，
又，所以當(dāng)時，
，
所以，又，符合上式，，所以，
又，所以．
（2）由（1）知，所以，
，
兩式相減得，
所以．
題型06等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題
【典例1】（2023秋·湖南·高三雅禮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則 .
【答案】32
【詳解】因為成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，
所以成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，
所以可得的前8項為0，2，4，8，12，18，24，32.
故答案為：32
【典例2】（2023秋·北京·高三北師大實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)記比較與的大小.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，當(dāng)時，.
【詳解】（1）因為，
依題意，
故，由得，
解得或2，
因為，所以，，
故，
其中，故公比，
所以；
（2），
故
；
（3）
所以
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，.
【典例3】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列公差為2，且，，恰為等比數(shù)列的前三項．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，即，解得：．
所以，，，所以．
（2）由于，
則
【變式1】（多選）（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，是其前項和.若與的等差中項為20，則（）
A．B．公比
C．D．
【答案】ACD
【詳解】由得，
又與的等差中項為20，則，所以公比為，
故，故，
故ACD正確，B錯誤，
故選:ACD
【變式2】（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是以3為首項，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，又，所以，
故．
（2）由（1）可得，，
則．
【變式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式：
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)的公差為，
因為成等比數(shù)列，所以
又因為，所以，所以．
因為，所以，所以，得，
故．
（2）因為，
所以
．
題型07 等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用
1．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，，解得，
所以，此人后三天所走的里程數(shù)為.
故選：D.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（）
A．60B．120C．240D．480
【答案】B
【詳解】由題意，數(shù)列1，1，3，27，729，…為，且為一階等比數(shù)列，
設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，所以，
則，，
所以，，
因為，，也適合上式，所以，
所以
.
故選：B.
3．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┠硶簲?shù)科考試中有這樣一道題：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復(fù)切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山問：夫子切了六斤桃花一共飲了幾壺酒（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：由題意可知，數(shù)列前項都是，從第二項開始，構(gòu)成以公比為的等比數(shù)列，
所以前項和為：，
.
故選：B．
4．（2023春·上海浦東新·高一上海師大附中校考期末）（1）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是一個整數(shù)除以三余二、除以五余三、除以七余二，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為，當(dāng)時，試求符合條件的的個數(shù).
（2）《九章算術(shù)》敘述了一個老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，大鼠“壯壯”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壯壯'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.問:何日相逢?各穿幾何?”意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞，大老鼠“壯壯”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壯壯”每天的打洞進(jìn)度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的進(jìn)度是前一天的倍.問第300天結(jié)束時，兩只老鼠“壯壯”與“果果”是否能喜相逢?請說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析
【詳解】（1）由題可知滿足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的數(shù)為23，
滿足該條件的數(shù)從小到大構(gòu)成以23為首項，為公差的等差數(shù)列，
其通項公式為，
令，解得，所以符合條件的整數(shù)a的個數(shù)為10.
（2）大老鼠“壯壯”和小老鼠“果果”每天穿墻尺寸分別構(gòu)成數(shù)列，它們都是等比數(shù)列，
由題意，數(shù)列的公比為，數(shù)列的公比為，
則，
所以第300天結(jié)束時，兩只老鼠“壯壯”與“果果”不能喜相逢.
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則（）
A．B．2C．或D．或2
【答案】D
【詳解】由題意得：，因為，所以，
所以，解得或．
故選：D
2．（2023春·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,,則數(shù)列的前n項和為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為,
由題意可得：,
又?jǐn)?shù)列是遞增的等比數(shù)列,
所以,
所以,
所以數(shù)列的前項和為.
故選:A.
3．（2023春·北京·高二中關(guān)村中學(xué)校考期中）大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前項依次是、、、、、、、、、.其通項公式為如果把這個數(shù)列排成如下圖形狀，并記表示第m行中從左向右第n個數(shù)，則的值為（）

A．1984B．2048C．5724D．5832
【答案】D
【詳解】由題意：前10行共有，
表示數(shù)列的第108項.
所以.
故選：D
4．（2023·高二課時練習(xí)）若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由可知，
該表達(dá)式是一個以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，共有項
故，
故選：C.
5．（2023秋·四川雅安·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【詳解】設(shè)公比為，由，
可得: ，
解得，
，
故選：C.
6．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．8B．9C．16D．17
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，
因為為等比數(shù)列，所以仍成等比數(shù)列.
易知，
所以,故.
故選:A.
7．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】等比數(shù)列的前項和為，則成等比數(shù)列，
設(shè)，則，，，，
所以.
故選：D
8．（2023春·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）數(shù)列，其前項和為，若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】數(shù)列，則，，
則數(shù)列是首項為4公比為2的等比數(shù)列，
其前項和，
則不等式對一切恒成立，
可化為，即對一切恒成立，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
則實數(shù)的取值范圍為.
故選：D
二、多選題
9．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則數(shù)列的公比可能是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，
則，
所以，解得或，即或．
故選：BC．
10．（2023秋·重慶南岸·高三重慶第二外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）等差數(shù)列的公差為，前項和為；等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為，下列說法正確的是（）
A．是等比數(shù)列，公比為
B．是等差數(shù)列，公差為
C．若，則，，成等差數(shù)列，公差是
D．若，則，，成等比數(shù)列，公比是
【答案】ABD
【詳解】A：因為等差數(shù)列的公差為d ，所以，故A正確；
B：因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，所以，，故B正確；
C：當(dāng)時，，
又
但是，
所以，
同理，
所以，，成等差數(shù)列，公差是，故C錯誤；
D：當(dāng)時，，
，
又等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，
，
且
所以，同理
即，，成等比數(shù)列，公比是，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則 .
【答案】
【詳解】記等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，
記，
因為，所以是1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
12．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則 .
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，
即等比數(shù)列的前項和要滿足，
又因為，
所以.
故答案為：
四、解答題
13．（2023秋·北京·高三北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)記比較與的大小.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，當(dāng)時，.
【詳解】（1）因為，
依題意，
故，由得，
解得或2，
因為，所以，，
故，
其中，故公比，
所以；
（2），
故
；
（3）
所以
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，.
14．（2023秋·北京·高三北京市廣渠門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若分別是等比數(shù)列的第1項和第2項，求使數(shù)列的前項和的最大正整數(shù)．
【答案】(1)；
(2)5.
【詳解】（1）由題設(shè)，若公差為，
所以，即，
所以，故.
（2）由（1）知：，故數(shù)列的首項、公比為3，
所以，則，
所以且，而，
所以，故最大正整數(shù)為5.
B能力提升
1．（2023秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，的前項和為，前項積為，則下列選項中正確的是（）
A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增
B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增
C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則
D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則
【答案】D
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，
對于A項，由得，即，
所以當(dāng)，時，滿足，但不是遞增數(shù)列，故A項不成立；
對于B項，由得，
所以當(dāng)，時，，滿足，但不是遞增數(shù)列，故B項不成立；
對于C項，當(dāng)，時，，，，
此時滿足數(shù)列是單調(diào)遞增，但，故C項不成立；
對于D項，由數(shù)列是單調(diào)遞增可知，且，
所以，所以，即，
所以，，
所以，，
又因為，，
所以，即，故D項正確.
故選：D.
2．（2023秋·山東·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項組成新的數(shù)列，則（）
A．4048B．2023C．2022D．4046
【答案】B
【詳解】令數(shù)列的公比為，∵，∴，，
因為，
所以當(dāng)時，，即或（舍去），
當(dāng)時，，即，解得或（舍去），
所以，，即，
因為數(shù)列中的整數(shù)項組成新的數(shù)列，
所以，，此時，即，∴．
故選：B
3．（2023秋·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若（n為正整數(shù)），求數(shù)列的前n項和；
(3)若（n為正整數(shù)），且不等式對任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因為，則有：
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，
兩式相減得，整理得；
且，可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
（2）由（1）可得：，
所以，
所以數(shù)列的前n項和.
（3）由（1）可得：，
令，即，解得，
可得數(shù)列的最大項為，
因為等式對任意正整數(shù)n都成立，即，
可得，解得或，
所以實數(shù)t的取值范圍.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競爭使人精疲力竭．?dāng)?shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案．設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法錯誤的是（）

A．從正方形開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為
B．
C．使得不等式成立的的最大值為4
D．?dāng)?shù)列的前項和
【答案】C
【詳解】由題可得，，，……，，
則，所以數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，則，顯然B正確；
由題意可得：，即，，……，
于是，為等比數(shù)列，
對A：連續(xù)三個正方形面積之和，A正確；
對C：令，則，而，C錯誤；
對D：，D正確．
故選：C.
2．（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
(4)記的前項和為，求證：；
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；
(4)證明見解析.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，得，，
解得，或（舍去），
所以，.
（2）由（1）知，，，則，
所以.
（3）由（1）知，
，
于是，
兩式相減得，
所以.
（4）由（1）知，，，
于是
所以.
3．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）教育儲蓄是指個人按國家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項儲蓄，是一種專門為學(xué)生支付非義務(wù)教育所需教育金的專項儲蓄，儲蓄存款享受免征利息稅的政策.若你的父母在你12歲生日當(dāng)天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入2000元，并且每年在你生日當(dāng)天存入2000元，連續(xù)存6年，在你十八歲生日當(dāng)天一次性取出，假設(shè)教育儲蓄存款的年利率為10%.
(1)在你十八歲生日當(dāng)天時，一次性取出的金額總數(shù)為多少？（參考數(shù)據(jù)：）
(2)高考畢業(yè)，為了增加自己的教育儲蓄，你利用暑假到一家商場勤工儉學(xué)，該商場向你提供了三種付酬方案：
第一種，每天支付38元；
第二種，第1天付4元，從第2天起，每一天比前一天都多付4元；
第三種，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
你會選擇哪種方式領(lǐng)取報酬？
【答案】(1)17000元
(2)答案見解析
【詳解】（1），
∴在十八歲生日當(dāng)天時，一次性取出的金額總數(shù)為17000元.
（2）設(shè)到商場勤工儉學(xué)的天數(shù)為，則第一種方案領(lǐng)取的報酬為；
第二種方案每天報酬與天數(shù)成首項為4，公差為4的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項和公式可得：
領(lǐng)取的報酬為；
第三種方案每天報酬與天數(shù)成首項為0.4，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和公式可得：
領(lǐng)取的報酬為.，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
令，
則，
當(dāng)時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，即.
∵，則，又∵，，故當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即.
令，其中，
則，
令，則，
當(dāng)時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，則，則，
∴當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，
綜上所述，當(dāng)時，，應(yīng)選第一種方案；
當(dāng)時，，應(yīng)選第三種方案.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握等比數(shù)列前n項和公式及求取思路，熟練掌握等比數(shù)列的五個量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項與和求通項。
②會利用等比數(shù)列性質(zhì)簡化求和運算，會利用等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征求最值。
③能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題。
能掌握等比數(shù)列的通項與前n項和的相關(guān)計算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問題，會利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題

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