海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題Word版附解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

海南中學(xué)2025屆高三年級(jí)第2次月考
數(shù)學(xué)試題
時(shí)間：120分鐘總分：150分
注意事項(xiàng)：
1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y=+1},則 ( )
A. B. C. D.
2.設(shè)A是B的充分不必要條件，C是B的必要不充分條件，D是C的充要條件，則D 是A的 ( ) 條件
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3. 函數(shù)的圖像是( )
A. B. C. D.
4.已知 a,b,c 滿足,bln2=1,, 則（）
A.a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D.b>a>c
若在用二分法尋找函數(shù)（x>0）零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為則實(shí)數(shù)a 和b 分別等于( )
A. B. C. D.
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6.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則( )
A. 函數(shù)y=f(x)+x的最大值為1 B. 函數(shù)的最小值為1
C.函數(shù)y=的最大值為1 D. 函數(shù)的最小值為1
7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是C 上一點(diǎn)，且PF?⊥, H是線段上靠近的四等分點(diǎn)，且=0,則C的離心率為( )
B. C. D.
8.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a的值為( )
A.2 B. C. D.-1
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知冪函數(shù)（），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（）
A.m,n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
m是奇數(shù)，n 是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)是偶函教
m是偶數(shù)，n 是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
D.時(shí)，冪函數(shù)f(x)在(0,+00)上是增函數(shù)
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10.已知函數(shù)f(x)的定義為(-00,0),其導(dǎo)函數(shù)f’(x)滿足xf'(x)-2f(x)>0,則下列不等式中正確的是( )
A.f(-2)4f(-1)
C.f(-4)>4f(-2) D.f(-4)0)的任意,均有f(x?)-f()>t,則稱函數(shù)y=f(x)具有“P(t)性質(zhì)”,已知f(x)=,且函數(shù)y=f(x)具有P(t)性質(zhì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(,y?),B(x?,y?),D(,y?)為拋物線C上的任意三點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),,且|FA|+|FB|+|FD|=6,若直線AB,AD,BD的斜率分別為, 則p的值為
四。解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推算步驟。
15. (13分)已知a、b、c分別是△ABC 三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且.
(1)求角A;
(2)若a= ,△ABC的面積為，求b, c.
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海南中學(xué)2025屆第二次月考數(shù)學(xué)試題
16.(15分)已知數(shù)列{an }是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn }滿足
(1)求數(shù)列{an },{bn }的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和。
17. (15分)已知f(x)=,。
(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)(l,g(1))處的切線方程；
(2)討論是否存在a 0} = (|( , +∞), ，N = {y y > 1} = (1, +∞) ，因M ∩ N = 故 A 項(xiàng)錯(cuò)誤；由M N = (1, +∞) ，知 B 項(xiàng)錯(cuò)誤；因M ≤ N ，故 C 項(xiàng)正確, 由cNM = 項(xiàng)錯(cuò)誤.
2.【答案】B【解析】由題意得 A ，B ，C ，D 間的關(guān)系如圖．故 D 是 A 的必要不充分條件.
3. 【答案】D
= 3x2 + > 0 ，函數(shù)f在上單調(diào)遞增，且f (1) = f (-1) = 0 。
因?yàn)?a = 3 ，b ln 2 = 1 ，3c = 2 ，所以a = lg2 3 ，b = = lg2 e ，
c = lg3 2 < lg3 3 = 1 ，因?yàn)閥 = lg2 x 在定義域上單調(diào)遞增，所以lg2 3 > lg2 e > lg2 2 = 1
所以a > b > 1 ，c < 1 ，所以a > b > c ，故選：A
5.【答案】B【詳解】由函數(shù) = ex - = ex - 2 -
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f (x) 在(1, +∞) 上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f (x) 在(1, +∞) 至多有一個(gè)零點(diǎn)，又由依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為
[a, b],EQ \* jc3 \* hps29 \\al(\s\up 7(「),L)| , b,|EQ \* jc3 \* hps26 \\al(\s\up 7(「4),L3) a, b- ，可得，即 0 ，得a = .故選 B.
6 ．【答案】B
【詳解】AB 選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在 x 軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一
個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為y = f, (x) ，實(shí)線部分為y = f (x)，
對(duì)于 A, y, = f, (x)+1 > 0恒成立，故y = f (x )+ x 在 R 上單調(diào)遞增，則 A 顯然錯(cuò)誤，
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對(duì)于 C, y, = f,(x).ex + f( x) .ex = ( f,( x) + f( x)) . ex > 0 恒成立，故y = f (x ). ex 在 R 上單調(diào)遞增，則 C 顯然錯(cuò)誤，
對(duì)于 D ，y, = 由圖像可知，y, = > 0 恒成立，故
單調(diào)遞增，當(dāng)x ∈ , y, = < 0 ，y = f 單調(diào)遞減，
所以函數(shù)y = 在x = 0 處取得極大值，也為最大值， = 1 ，D 錯(cuò)誤 B 正確.故選：B
7.【答案】C【解析】由題意，不妨設(shè)點(diǎn) P 在第一象限，如圖.
因?yàn)镻F2 丄 F1F2 ，則iPF2 i = ， = 2a - iHF1 i = iPF1 i = .
---→ ---→
因?yàn)镺H . PF1 = 0 ，則OH 丄 PF1 ，可知△PF1F2 ∽△OF1H ，
2 2
則即整理得c2 - 22ac + a2 = 0 .
a
由得e2 - 22e +1 = 0 ，解得2 ±1（舍去 +1），
所以 C 的離心率為 2 - 1.故答案為：C.
8.【答案】A 【詳解】f(x) = x2 - 4x + a(ex-2 + e-x+2 ) = (x - 2)2 - 4 + a(ex-2 + e-x+2 )
設(shè)t = x - 2 ，則f (t ) = t2 - 4 + a (et + e-t )
定義域?yàn)镽，f (-t) = (-t)2 - 4 + a (e-t + et ) = f (t )
所以f (t ) 為偶函數(shù)，所以f (x ) 的圖像關(guān)于x =2 成軸對(duì)
要使f (x ) 有唯一零點(diǎn)，則只能f (2) = 0 ，即-4 + 2a = 0 ，解得a = 2 ，故答案為：2 .
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二、多項(xiàng)選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
對(duì) A ，當(dāng) m ，n 是奇數(shù)時(shí)，f (x) 的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
xn = -f 則冪函數(shù)f (x) 是奇函數(shù)，故 A 中的結(jié)論正確；
對(duì) B ，當(dāng) m 是奇數(shù)，n 是偶數(shù)時(shí)，f (x) 的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
xn = f 則冪函數(shù)f (x) 是偶函數(shù)，故 B 中的結(jié)論正確；
對(duì) C ，當(dāng) m 是偶數(shù)，n 是奇數(shù)，冪函數(shù)f (x) 在x < 0 時(shí)無意義，故 C 中的結(jié)論錯(cuò)誤；
對(duì) D ，0 < 0 ，
所以 g(x)在(-∞, 0) 上單調(diào)遞減，
- 4 < -2 → g → → f ；選：BC.
11.【答案】ABC 【詳解】畫出f (x ) = ex - 2 的函數(shù)圖象，如圖：
f (x)
= h (x) 恰有兩個(gè)
h (x ) = kx - 2k +1 經(jīng)過定點(diǎn)(2, 1) ，從圖中可以看出存在實(shí)數(shù) k，使得方程
根；A 正確；
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存在實(shí)數(shù) k ，使得方程 f (x) = h (x) 恰有三個(gè)根，B 正確；
要想對(duì)任意實(shí)數(shù) a ，存在不相等的實(shí)數(shù)x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x2 )-g (x1 ) ，即
f (x1 ) -f (x2 ) = - g (x1 ) - g (x2 ) ，只需f (x) = ex - 2 與-g (x) = -x2 - ax ，無論 a 取何值，都
有兩個(gè)交點(diǎn)，其中-g = -x2 - ax = - 開口向下，且有最大值為且恒過 (0, 0) ，畫出兩函數(shù)圖象如下，其中-g = -x2 - ax = - 為一組拋物線，用虛線表
示：無論 a 取何值，都有兩個(gè)交點(diǎn)，C 正確；
要想對(duì)任意實(shí)數(shù) a ，存在不相等的實(shí)數(shù)x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x1 )-g (x2 ) ，只需函數(shù)
f (x) = ex - 2 ，g (x) = x2 + ax（a ∈ R ）始終有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a = 1 時(shí)，g = x2 + x =
3
開口向上，且最小值為，此時(shí)圖象如圖所示：由于指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度高于二次函數(shù)，顯
4
然此時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，故 D 錯(cuò)誤；
三．填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12.【答案】1
〔x -1≥ 0
【解析】由題意得：{l2 - x ≥ 0 ，解得：1 ≤ x ≤ 2 ，故
+
x2 - 2x +1
=
4 (x - 2)4
·( )
+
2 x -1
=
4(x - 2)4
| x -1| + | x - 2 |
= x -1 + 2 - x = 1 ，故答案為：1 .
13.【答案】a > 4 【解析】由題意x2 - x1 = 1, x2 = x1 +1，
則f(x2 ) -f(x1 ) = ax23 - ax13 = a(x1 +1)3 - ax13 = a(3x12 + 3x1 +1) > 1 恒成立，故有a > 0 時(shí)，
且x1 = - 取最小值，即有 > 1, a > 4 。
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( p )
14.【答案】2， 0 【解析】F 為 △ABD 的重心，F(xiàn) |( 2 , 0, ，
所以x1 + x2 + x3 = , y1 + y2 + y3 = 0 ，
又 FA + FB + F = x1 + x2 + x3 + = 6 ，即p = 2 ，
因?yàn)閥12 = 4x1 ，y22 = 4x2 ，兩式相減,得：(y1 + y2 )(y1 - y2 ) = 4 (x1 - x2 ) ,
所以kAB = 同理可得kBD = , kAD = 所以
四．解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13 分）【解析】（1）已知 asin C -c csA -c = 0 ，
根據(jù)正弦定理，即為 3 sin Asin C -sin C cs A -sin C = 0 .
cs A- 1 = 0
,
因?yàn)樵凇鰽BC 中，sin C > 0 ，所以 3 sin A
即，因?yàn)? < A < π , 0 < A - 所以A - = ，即A = ； ……6 分
（2）解法一：由A = bc sin A = 3 ，得bc = 2 .
由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc cs A ，
因?yàn)閍 = ，A = ，bc = 2 ，所以2 = b2 + c2 - 2，b2 + c2 = 4 ，
又bc = 2 ，解得b = c = 或b = c = - （舍）．所以b = c = ……13 分
（2）解法二：由A = bc sin A = 3 ，得bc = 2 .
由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc csA = (b+ c)2 - 2bc - 2bc csA，
因?yàn)閍 = s2 ，A = ，bc = 2 ，所以(b + c )2 - 2 × 2 - 2 × 2 cs = 2 ，:b, c > 0 ，有b + c = 2 · ,
又bc = 2 ，解得b = c = · 或b = c = -v2 （舍）．所以b = c = · 。 ……13 分
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16.（15 分）
解析（1）設(shè)數(shù)列{an } 的公差為d , d = 3 ，
anbn+1 + bn+1 = nbn 中，令n = 1 ，有a1b2 + b2 = b1 ，代入b1 = 1, b2 = ，得a1 = 2 ，
所以數(shù)列{an } 是首項(xiàng)為2 ，公差為3 的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an = 2 + 3(n -1) = 3n -1；
將an = 3n -1 代入anbn+1 + bn+1 = nbn ，得3nbn+1 = nbn , n ∈ N * ，故有
因此{(lán)bn } 是首項(xiàng)為1 ，公比為EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(1),3) 的等比數(shù)列，
bn = 1 × n-1 = n-1 。 ……8 分
（2）設(shè)cn = (-1)n an = (-1)n (3n -1) ，
n 為奇數(shù)時(shí)，cn + cn+1 = (-1)n (3n -1) + (-1)n+1(3n + 2) = -(3n -1) + (3n + 2) = 3 ，
: S2n = (c1 + c2 ) + (c3 + c4 ) +…… + (c2n -1 + c2n ) + (b1 + b2 +…… + b2n )
……15 分
2025 屆高三數(shù)學(xué)第 2 次月考（試題卷）第 6 頁共 11 頁
17.（15 分）
因?yàn)間，所以g 定義域?yàn)?br>有g(shù) (1) = 0 ，且g ' (1) = 1 ，
所以曲線y = g (x) 在點(diǎn)(1, g(1)) 處的切線方程為y - 0 = 1.(x -1) ，即y = x -1 。 ……5 分
則h (x) 定義域?yàn)?令 = ln x +1+ 2ax ，則m, + 2a ，
因?yàn)閍 0 ，
由f(x)= a 有 2 個(gè)不同實(shí)數(shù)根，得a = g(t) 在[ - a，+ ∞) 上有 2 個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
應(yīng)有不等式組無解，故舍去。
②a > 0 時(shí)，f(x) 的定義域?yàn)閇0,+∞) ，則t ≥ 0 ，
由f(x)= a 有 2 個(gè)不同實(shí)數(shù)根，得a = g(t) 在[0，+ ∞) 上有 2 個(gè)不同實(shí)根，
1 1
應(yīng)有0 ≤ a < 4 ，又a ≠ 0 ，所以，a 的取值范圍是(0, 4 ) ；
1
綜上，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(0, ) . ……10 分
4
1
1
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（3） |x+a|-a - x 中，有| x + a |≥ a ，
① a ≤ 0 時(shí)，| x + a |≥ a 恒成立，函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?br>易知x < -a 時(shí)，f(x) 在(-∞,-a) 上單調(diào)遞減，
若存在實(shí)數(shù)a ，使得函數(shù)f(x) 在定義域內(nèi)具有單調(diào)性，
應(yīng)有x ≥ -a 時(shí)，f - x = - 在上單調(diào)遞減，
令t = x ，t = x 在[-a,+∞) 上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)同增異減，
得在[ - a ,+∞) 上單調(diào)遞減，故有，- a ≥ 即
② a > 0 時(shí)，| x + a |≥ a → x + a ≤ -a或x + a ≥ a → x ≤ -2a或x ≥ 0 ，函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)閧x | x ≤ -2a或x ≥ 0}，
x ≥ 0 時(shí)，f - x = - 在[0, EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 8(1),4)] 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
不合題意，舍去；
綜上：a ≤ - . ……17 分
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19.（17 分）
中，令x = c ，解得y = ± 2 ，
因?yàn)橹本€y = 1 為△PF1F2 的等線，顯然點(diǎn) P 在直線y = 1 的上方，故有P 又，有 -1 = 2, e = = 2, c2 = a2 + b2 ，
解得a = 1，b = 3 ，所以E 的方程為 ……4 分
（2）設(shè)P(x0, y0 ) ，由題意有m 方程為x0x -
漸近線方程為y = ± 3x ，聯(lián)立得xA = , xB =
所以P 是線段 AB 的中點(diǎn)，因?yàn)镕1, F2 到過原點(diǎn)O 的直線距離相等，則過原點(diǎn)O 點(diǎn)的等線必定滿足:A, B 到該等線距離相等，
且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)P ，即OP 的方程為y = 2x ，
由 x= 1 ，解得{〔lEQ \* jc3 \* hps28 \\al(\s\up 11(x),y) EQ \* jc3 \* hps28 \\al(\s\up 11(3),6) ，故P( 3, 6 ) .所以
所以yA - yB = 6 ，所以SABCD = lF1F2 . yA - yB = 2 yA - yB = 12 . ……10 分
1
2
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設(shè)G ，由，所以x0 = 3x, y0 = 3y ，
故曲線Γ 的方程為9x2 - 3y2 = 1(x > 0)
由（*）知切線為 n ，也為 = 1 ，即x0 x - ，即3x0x - y0 y -1 = 0
易知 A 與F2 在n 的右側(cè)，F(xiàn)1 在n 的左側(cè)，分別記F1, F2, A 到n 的距離為d1 , d2 , d3 ，
由（2）知xA = ，
由 x0 ≥1 得d1 = = , d2 = = 因?yàn)閐2 + d3 = ，
所以直線n 為△AF1F2 的等線 . ……17 分
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