1.過點(?4,2)，傾斜角為3π4的直線方程為( )
A. x?y+2=0B. x+y+2=0C. x?y=2D. x?y+1=0
2.已知兩條直線l1：ax+4y?1=0，l2：x+ay+2=0，則“a=2”是“l(fā)1//l2”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.點P(?2,?1)到直線l：(1+3λ)x+(1+λ)y?2?4λ=0(λ∈R)的距離最大時，直線l的方程為( )
A. 3x+2y?5=0B. 3x+2y+8=0C. 2x?3y?2=0D. 2x?3y+1=0
4.關于空間向量，以下說法錯誤的是( )
A. 空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
B. 若a?b>0，則a與b的夾角是銳角
C. 已知向量a、b、c是不共面的向量，則2a、b、c?a也是不共面的向量
D. 若對空間中任意一點O，有OP=112OA+14OB+23OC，則P，A，B，C四點共面
5.如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，點E和F分別是線段AC1與BD上的動點，則EF間最小距離為( )
A. 22
B. 1
C. 33
D. 66
6.直線l過點(2,1)，且與圓C：(x?2)2+(y?4)2=10相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.直線y=x+1關于直線y=2x對稱的直線方程為( )
A. 3x?y?1=0B. 4x?y?2=0C. 5x?y?3=0D. 7x?y?5=0
8.已知三棱錐A?BCD的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD=2，若球O的表面積為22π，則三棱錐A?BCD(以A為頂點)的側面積的最大值為( )
A. 6 B. 212 C. 252 D. 272
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是( )
A. 若l//α，m//β，α//β，則l//m
B. 若α⊥β，l//α，m//β，則l//m
C. 若直線m?α，n?α，且l⊥m，l⊥n，則l⊥α
D. 若l，m是異面直線，l?α，m?β，且l//β，m//α，則α//β
10.下列結論正確的是( )
A. 已知點P(x,y)在圓C：(x?1)2+(y?1)2=2上，則x+y的最大值是4
B. 已知直線kx?y?1=0和以M(?3,1)，N(3,2)為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為?23≤k≤1
C. 已知點P(a,b)是圓x2+y2=r2外一點，直線l的方程是ax+by=r2，則直線l與圓相離
D. 已知直線l1：mx?y+2=0，l2：x+my+2=0，則存在實數(shù)m，使得l1和l2關于直線x+y=0對稱
11.設圓C：(x?1)2+(y?1)2=3，直線l：x+y+1=0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，則下列說法中正確的有( )
A. |PA|的取值范圍為[ 62,+∞)B. 四邊形PACB面積的最小值為3 22
C. 存在點P使∠APB=120°D. 直線AB過定點(0,0)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若點A(2,1)在圓x2+y2?2mx?2y+5=0(m為常數(shù))外，則實數(shù)m的可能取值為______．
13.已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)，則△ABC外接圓的方程是______．
14.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，B1D與平面ACD1交于點P，則點P到直線BC的距離為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點，設AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的長；
(2)求異面直線AE和BC夾角的余弦值．
16.(本小題15分)
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A=AB=AC=3，B1C∩BC1=P，G是△A1B1C1的重心，點Q在線段AB(不包括兩個端點)上．
(1)若Q為AB的中點，證明：PG//平面A1CQ；
(2)若直線PG與平面A1CQ所成的角正弦值為 3333，求AQ．
17.(本小題15分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB=BC=2．
(1)求證：平面AB1C1⊥平面A1BC；
(2)設點P為A1C的中點，求平面ABP與平面BCP夾角的余弦值．
18.(本小題17分)
已知半徑為83的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線12x?9y?1=0與圓C相切．
(1)求圓C的標準方程．
(2)若M(x,y)是圓C上任意一點，求(x+3)2+(y?13)2的取值范圍．
(3)已知A(0,?1)，P為圓C上任意一點，試問在y軸上是否存在定點B(異于點A)，使得|PB||PA|為定值？若存在，求點B的坐標；若不存在，請說明理由．
19.(本小題17分)
如圖，在三棱臺ABC?DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N為DF的中點，二面角D?AC?B的大小為θ．
(1)求證：AC⊥BN；
(2)若θ=π2，求三棱臺ABC?DEF的體積；
(3)若A到平面BCFE的距離為 62，求csθ的值．
參考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.ABC
10.AD
11.ABD
12.?3(答案不唯一)
13.x2+y2?5x?3y+6=0(或(x?52)2+(y?32)2=52)
14.2 173
15.解：(1)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，
因為AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB?BC+AB?CC1+BC?CC1，
由題意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB?BC=|AB|?|BC|cs(180°?90°)=0，AB?CC1=|AB|?|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC?CC1=|BC|?|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE?BC=(AB+BC+CE)?BC=AB?BC+BC2+12BC?CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|?|BC|=123 6×3=29 6．
設異面直線AE和BC夾角為θ，則θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以異面直線AE和BC夾角的余弦值為29 6．
16.解：(1)證明：根據(jù)題意可建系如圖：

則A1(0,0,3)，B1(0,3,3)，C1(3,0,3)，G(1,1,3)，C(3,0,0)，P(32,32,32)，
設Q(0,t,0)，t∈(0,3)，
∴GP=(12,12,?32)，A1C=(3,0,?3)，QC=(3,?t,0)，
設平面A1CQ的法向量為n=(x,y,z)，
則n?A1C=3x?3z=0n?QC=3x?ty=0，取n=(t,3,t)，
若Q為AB的中點，則t=32，
∴GP?n=t2+32?3t2=32?t=0，又PG?平面A1CQ，
∴PG//平面A1CQ；
(2)由(1)可知直線PG與平面A1CQ所成的角正弦值為：
|cs|=|GP?n||GP||n|=|32?t| 14+14+94× t2+9+t2= 3333，t∈(0,3)，
∴(5t?3)(t?3)=0，t∈(0,3)，解得t=35，
∴AQ=35．
17.(1)證明：∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA1⊥BC，
又∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，且AA1，AB?平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵AB1?平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，
又∵AB1⊥A1C，A1C∩BC=C，且A1C，BC?平面A1BC，
∴AB1⊥平面A1BC，
∵AB1?平面AB1C1，
∴平面AB1C1⊥平面A1BC．
(2)解：由(1)知AB1⊥平面A1BC，
∵A1B?平面A1BC，
∴AB1⊥A1B，
∴四邊形ABB1A1為正方形，即AA1=AB=2，且AC=2 2，
以點A為原點，AC，AA1所在直線分別為y，z軸，以過A點和AC垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz，

則A1(0,0,2),C(0,2 2,0),B( 2, 2,0),B1( 2, 2,2),P(0, 2,1)，
∴BP=(? 2,0,1),AP=(0, 2,1),CB=( 2,? 2,0)，
設平面ABP的法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=0n?AP=0，即? 2x+z=0 2y+z=0，
取z= 2，則x=1，y=?1，∴n=(1,?1, 2)，
同理可得，平面PBC的一個法向量為m=( 2, 2,2)，
∴|cs|=|m?n||m|?|n|= 2? 2+2 22 2×2=12，
故平面ABP與平面BCP夾角的余弦值為12．
18.解：(1)依題可設圓心坐標為(0,b)(b>0)，
則圓C的方程為x2+(y?b)2=649，
因為直線12x?9y?1=0與圓C相切，
所以點C(0,b)到直線l2x?9y?1=0的距離d=|?9b?1| 122+92=83，
因為b>0，解得b=133，
故圓C的標準方程為x2+(y?133)2=649；
(2)若M(x,y)是圓C上任意一點，

則(x+3)2+(y?13)2表示圓上任意一點到點D(?3,13)距離的平方，
所以(x+3)2+(y?13)2的最大值為|DB|2=(|DC|+r)2=( (0?3)2+(133?13)2+83)2=(5+83)2=(233)2=5299；
(x+3)2+(y?13)2的最小值為：|DA|2=(|DC|?r)2=( ( 0?3)2+(133?13)2?83)2=(5?83)2=(73)2=499．
所以(x+3)2+(y?13)2的取值范圍為：[499,5299]；
(3)假設存在定點B，設B(0,m)(m≠?1)，P(x,y)，
則x2=649?(y?133)2=?y2+263y?353，
則|PB||PA|= x2+(y?m)2 x2+(y+1)2= ?y2+263y?353+(y?m)2 ?y2+263y?353+(y+1)2= m2?353+(263?2m)y ?323+323y，
當m2?353?323=263?2m323>0，
即m=3，m=?1(舍去)時，|PB||PA|為定值，且定值為12，
故存在定點B，且B的坐標為(0,3)．
19.(1)證明：取AC的中點O，連接ON，OB，
由題意知，四邊形ACFD是等腰梯形，△ABC是等邊三角形，
所以ON⊥AC，OB⊥AC，
因為ON∩OB=O，ON、OB?平面OBN，
所以AC⊥平面OBN，
又BN?平面OBN，所以AC⊥BN．
(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，
所以∠BON就是二面角D?AC?B的平面角，即∠BON=θ，
若θ=π2，則∠BON=90°，即OB⊥ON，
因為ON⊥AC，OB∩AC=O，所以ON⊥平面ABC，
即三棱臺ABC?DEF的高為ON，
因為AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，
所以ON= AD2?(OA?DN)2= 1?(1?12)2= 32，S△DEF=12×1× 32= 34，S△ABC=12×2× 3= 3，
所以三棱臺ABC?DEF的體積V=13×( 34+ 3+ 34× 3)× 32=78．
(3)解：以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(?1,0,0)，F(xiàn)(?12, 32csθ, 32sinθ)，其中θ∈(0,π)，
所以CB=(1, 3,0)，CF=(12, 32csθ, 32sinθ)，CA=(2,0,0)，
設平面BCFE的法向量為n=(x,y,z)，則n?CB=x+ 3y=0n?CF=12x+ 32csθ?y+ 32sinθ?z=0，
取y=?1，則x= 3，z=csθ?1sinθ，所以n=( 3,?1,csθ?1sinθ)，
因為A到平面BCFE的距離為 62，
所以|CA?n||n|=|2 3| 3+1+(csθ?1sinθ)2= 62，整理得(csθ?1sinθ)2=4，即(csθ?1)21?cs2θ=4，
解得csθ=?35或csθ=?1(舍)，
故csθ的值為?35．

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