1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(BC+BB1)?D1C1運算的結(jié)果為( )
A. AC1B. BDC. BD1D. D1B
2.如果直線l繞坐標原點按順時針旋轉(zhuǎn)60°得到直線l1且直線l1的傾斜角為165°，那么直線l的傾斜角為( )
A. 15°B. 45°C. 105°D. 225°
3.兩條平行直線3x+4y?12=0與ax+8y+11=0間的距離為( )
A. 1310B. 135C. 72D. 235
4.如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且滿足OM=3MA，N為BC的中點，則MN=( )
A. 12a?34b+12cB. ?23a+12b+12c
C. 12a?23b+12cD. ?34a+12b+12c
5.若函數(shù)f(x)=lg2(x+1)且a>b>c>0，則f(a)a、f(b)b、f(c)c的大小關(guān)系是( )
A. f(a)a>f(b)b>f(c)cB. f(c)c>f(b)b>f(a)a
C. f(b)b>f(a)a>f(c)cD. f(a)a>f(c)c>f(b)b
6.已知直線l1：2x+(m+1)y+2m?6=0，：mx+3y?2=0，則“m=?3”是l1//l2的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7.空間直角坐標系O?xyz中，經(jīng)過點P(x0,y0,z0)且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0，經(jīng)過點P(x0,y0,z0)且一個方向向量為n=(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直線l的方程為x?x0μ=y?y0υ=z?z0ω，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面α的方程為3x?5y+z?7=0，經(jīng)過(0,0,0)的直線l的方程為x3=y2=z?1，則直線l與平面α所成角的正弦值為( )
A. 1010B. 1035C. 105D. 57
8.如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，則AC1在AB上的投影向量是( )
A. 34AB
B. 56AB
C. 38AB
D. 58AB
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.過點M(1,2)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為( )
A. x?y+1=0B. x+y?3=0C. 2x?y=0D. x+y+3=0
10.已知直線l1：(sinα)x?(csα)y+1=0，l2：(sinα)x+(csα)y+1=0，l3：(csα)x?(sinα)y+1=0，l4：(csα)x+(sinα)y+1=0.則( )
A. 存在實數(shù)α，使l1//l2B. 存在實數(shù)α，使l2/?/l3
C. 對任意實數(shù)α，都有l(wèi)1⊥l4D. 存在點到四條直線距離相等
11.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬P?ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD=2，M，N，G分別為PA，PC，PB的中點，則( )
A. 四面體N?BCD是鱉臑
B. CG與MN所成角的余弦值是 63
C. 點G到平面PAC的距離為 34
D. 點M到直線AC的距離為 62
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
12.已知{a,b,c}是空間的一個基底，若m=a+2b?3c，n=x(a+b)?y(b+c)+3(a+c)，若m//n，則xy= ______．
13.已知入射光線經(jīng)過點(3,1)被x軸反射后，反射光線經(jīng)過點(0,2)，則反射光線所在直線方程為______．
14.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=7，則CD的長為______．
15.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體.正十二面體，正二十面體，已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2(如圖)，M，N分別為棱AD，AC的中點，則FM?BN= ______．
四、解答題：本題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題14分)
已知△ABC的三個頂點是A(2,3)，B(1,2)，C(4,?4)．
(1)求BC邊上的中線所在直線l1的方程；
(2)求△ABC的面積；
(3)若直線l2過點C，且點A，B到直線l2的距離相等，求直線l2的方程．
17.(本小題14分)
如圖，正四棱錐P?ABCD的底面邊長和高均為2，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點．
(1)證明：EF⊥PC；
(2)若點M是線段PC上的點，且PM=13PC，判斷點M是否在平面AEF內(nèi)，并證明你的結(jié)論；
18.(本小題14分)
如圖所示，矩形ABCD中，AD=2AB=4，E為BC的中點，現(xiàn)將△BAE與△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都與平面ADE垂直．
(1)證明：BC//平面ADE；
(2)求二面角A?BE?C的正弦值．
19.(本小題15分)
在路邊安裝路燈，路寬23m，燈桿長2.5m，且與燈柱成120°角.路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直.當燈柱高?為多少米時，燈罩軸線正好通過道路路面的中線？(精確到0.01m)( 3≈1.732)
20.(本小題15分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
(1)證明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
參考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.B
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.3
13.x+y?2=0
14. 59
15.52
16.解：(1)由B(1,2)，C(4,?4)．
所以kBC=?4?24?1=?63=?2，
所以BC邊上的高所在直線l1的斜率為k=12，
則BC邊上的高所在直線l1的方程y?3=12(x?2)，
即x?2y+4=0；
(2)A(2,3)，B(1,2)，C(4,?4)，
所以|AB|= (2?1)2+(3?2)2= 2，|AC|= (4?2)2+(?4?3)2= 53，|BC|= (4?1)2+(?4?2)2= 45=3 5，
所以cs∠ABC=AB2+BC2?AC 2AB?BC=2+45?532× 2×3 5=? 1010，
所以sin∠ABC= 1?cs2∠ABC=3 1010，
所以S△ABC=12|AB|?|BC|sin∠ABC=12× 2×3 5×3 1010=92；
(3)因為點A，B到直線l2的距離相等，所以直線l2與AB平行或通過AB的中點，
①當直線l2與AB平行，
因為kAB=3?22?1=1=kl2，且l2過點C，
所以l2方程為y+4=x?4，即x?y?8=0，
②當直線l2通過AB的中點D(32,52)，
所以kCD=?4?524?32=?135，
所以l2的方程為y+4=?135(x?4)，即13x+5y?32=0．
綜上：直線l2的方程為x?y?8=0或13x+5y?32=0．
17.(1)證明；連接AC、BD交于O，連接OP，

由正四棱錐的性質(zhì)可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，則AC⊥BD，
以O(shè)為坐標原點，OA、OB、OP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

因為正四棱錐P?ABCD的底面邊長和高均為2，
則A( 2,0,0),B(0, 2,0),P(0,0,2),C(? 2,0,0),D(0,? 2,0)，E(0,? 22,1)，F(xiàn)(0, 22,1)，
則EF=(0, 2,0)，PC=(? 2,0,?2)，則EF?PC=0，
所以EF⊥PC；
(2)解：由(1)知AE=(? 2,? 22,1)，AF=(? 2, 22,1)，
AP=(? 2,0,2)，AP+13PC=(? 2,0,2)+13(? 2,0,?2)=(?43 2,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(?43 2,0,43)，
AE+AF=(?2 2,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四點共面，即點M在平面AEF內(nèi)．
18.解：(1)證明：如圖，分別取AE，DE的中點F，G，連接BF，CG，F(xiàn)G，
則由平面圖形中矩形ABCD的條件可知BF⊥AE，CG⊥DE，且BF=CG，
又折疊后圖形中平面BAE及平面DEC都與平面ADE垂直，
∴根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BF⊥平面ADE，CG⊥平面ADE，
∴BF//CG，又BF=CG，∴四邊形BFGC為平行四邊形，
∴BC/?/FG，又BC?平面ADE，F(xiàn)G?平面ADE，
∴BC/?/平面ADE；
(2)又(1)知BF⊥平面ADE，CG⊥平面ADE，且AE⊥DE，
故以BF所在直線為z軸，AE所在直線為x軸，平面ADE內(nèi)過F且平行DE的直線為y軸，建系如圖，
則根據(jù)題意可得：B(0,0, 2)，E( 2,0,0)，C( 2, 2, 2)，
∴BE=( 2,0,? 2)，BC=( 2, 2,0)，
易知平面ABE的一個法向量為m=(0,1,0)，
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，
則n?BE= 2x? 2z=0n?BC= 2x+ 2y=0，取n=(1,?1,1)，
∴cs=m?n|m||n|=?11× 3=? 33，
∴二面角A?BE?C的正弦值為 1?cs2= 1?13= 63．
19.解：記燈柱頂端為B，燈罩頂為A，燈桿為AB，燈罩軸線與道路中線交于C，以燈柱底端O點為原點，燈柱OB所在直線為y軸，路寬OC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，

則B點的坐標為(0,?)，C點的坐標為(11.5,0))
因為燈桿AB與燈柱OB成120°角，所以AB的傾斜角為30°，則A點的坐標為(2.5cs30°,?+2.5sin30°)，
即(1.25 3,?+1.25)
因為CA⊥BA，所以kAC=?1kAB=? 3，
由點斜式得CA的方程為y?(?+1.25)=? 3(x?1.25 3)，
因為燈罩軸線CA過點C(11.5,0)，所以0?(?+1.25)=? 3(11.5?1.25 3)，
所以?≈14.92(米)
20.解：(1)證明：過P在平面PAD內(nèi)作直線l/?/AD，
由AD//BC，可得l/?/BC，即l為平面PAD和平面PBC的交線，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵l/?/BC，∴l(xiāng)⊥平面PCD；
(2)如圖，以D為坐標原點，直線DA，DC，DP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D?xyz，
則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，
設(shè)Q(m,0,1)，DQ=(m,0,1)，PB=(1,1,?1)，DC=(0,1,0)，
設(shè)平面QCD的法向量為n=(a,b,c)，
則n?DC=0n?DQ=0，∴b=0am+c=0，取a=?1，可得n=(?1,0,m)，
∴cs=n?PB|n|?|PB|=?1?m 3? 1+m2，
∴PB與平面QCD所成角的正弦值為|1+m| 3? 1+m2= 33? 1+2m+m21+m2
= 33? 1+2m1+m2≤ 33? 1+22= 63，當且僅當m=1取等號，
∴PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為 63．

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