2024-2025學(xué)年遼寧省名校聯(lián)盟高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

這是一份2024-2025學(xué)年遼寧省名校聯(lián)盟高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案），共8頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.90×91×92×…×100=( )
A. A 10010B. A 10011C. A 10012D. A 10111
2.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(?1,0)，且橢圓C上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為2 2，則橢圓C的方程為( )
A. x29+y28=1B. x29+y26=1C. x28+y27=1D. x26+y25=1
3.若C183n+6=C184n?2，則n的值為( )
A. 2B. 8C. 2或8D. 2或4
4.已知直線l：kx?y?2k+2=0(k∈R)過定點(diǎn)Q，若P為圓C：(x?5)2+(y?6)2=4上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最大值為( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
5.已知向量a=(2,?1,2)，b=(?1,3,?3)，c=(13,6,λ)，若a，b，c共面，則λ=( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
6.已知雙曲線C：x2m+y2n=1，則C的漸近線方程為y=±34x是C的離心率為54的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且D1F=λD1C1，若B1F/?/平面A1BE，則λ=( )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 23
8.據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮、商、角、微、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是( )
A. 50B. 64C. 66D. 78
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知在(x+2 x)a的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則( )
A. n=6B. 展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243
C. 展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16D. 展開式中不含常數(shù)項(xiàng)
10.已知空間中三點(diǎn)A(2,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,1)，則( )
A. 與向量AB方向相同的單位向量是(0,2 55,? 55)
B. AB在AC上的投影向量是(?1,1,0)
C. AB與BC夾角的余弦值是15
D. 坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)關(guān)于平面ABC的對(duì)稱點(diǎn)是(43,43,83)
11.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì).雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點(diǎn)P處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)F1，且雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分∠F1PF2．
如圖，對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過點(diǎn)(3,?1)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若從F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)P反射的光線為PQ，點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)T，則下列說法正確的是( )
A. 雙曲線C的方程為x2?y2=8
B. 過點(diǎn)P且垂直于PT的直線平分∠F2PQ
C. 若PF2⊥PQ，則|PF1|?|PF2|=18
D. 若∠F1PF2=60°，則|PT|=4 305
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知拋物線y2=4x，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M(4,2)是平面上的一定點(diǎn)，則|PM|+|PF|的最小值為______．
13.若直線x+(1+m)y?2=0與直線mx+2y+4=0平行，則實(shí)數(shù)m的值______．
14.如圖，在三棱錐V?ABC中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，且VA=VD=VE=1，則直線VA與平面VBC所成角為______，四棱錐V?BCDE的外接球的表面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知(1+2x)2+(1+2x)3+?+(1+2x)n=9+a1x+a2x2+?+anxn．
(1)求n的值；
(2)求(a1+a3+a5+…)?(a2+a4+a6+…)的值；
(3)求a2的值.(結(jié)果用數(shù)字表示)
16.(本小題15分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若AB=a，AD=b，AA1=c，
(1)用a，b，c表示BM和AC1；
(2)求cs的值．
17.(本小題15分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM與圓x2+y2?2x=0內(nèi)切，且與直線x=?2相切，設(shè)動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線E．
(1)求曲線E的方程；
(2)過點(diǎn)F(1,0)作兩條互相垂直的直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積S的最小值．
18.(本小題17分)
在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知B1C⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，BB1= 5，E是線段B1D上的點(diǎn)．
(1)點(diǎn)C1到平面B1CD的距離；
(2)若E為B1D的中點(diǎn)，求異面直線DD1與AE所成角的余弦值；
(3)在線段B1D上是否存在點(diǎn)E，使得二面角C?AE?D的余弦值為 55？若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)位置；若不存在，試說明理由．
19.(本小題17分)
通過研究發(fā)現(xiàn)對(duì)任意平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角可得到向量AP=(xcsθ?ysinθ,xsinθ+ycs0)，這一過程叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(? 3,2 3)，點(diǎn)B( 3,?2 3)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)已知二次方程x2+y2?xy=1的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4所得的斜橢圓C．
(i)求斜橢圓C的離心率；
(ii)過點(diǎn)Q( 63, 63)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l1交斜橢圓C于點(diǎn)M，N，過原點(diǎn)O作直線l2與直線l1垂直，直線l2交斜橢圓C于點(diǎn)G，H，判斷 2|MN|+1|OH|2是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.5
13.1
14.π2 11π2
15.解：(1)由題意令x=0，則1×(n?1)=9，解得n=10；
(2)由(1)，已知等式化簡(jiǎn)為：(1+2x)2+...+(1+2x)10=9+a1x+...+a10x10，
令x=?1，則(?1)2+(?1)3+...+(?1)10=9?a1+a2?a3+...+a10，
即9?a1+a2?a3+...+a10=1?1+1?1+1?1+1?1+1=1，
所以a1?a2+a3?...?a10=8，則(a1+a3+a5+a7)?(a2+a4+...+a10)=a1?a2+a3?...?a10=8．
(3)由題意可知a2為展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)，
則a2=C22?22+C32?22+...+C102?22=4×(C33+C32+C42+...+C102)=4×C113=4×165=660．
16.解：(1)連接A1B，AC，AC1，如圖：

∵AB=a，AD=b，AA1=c，
在△A1AB中，根據(jù)向量減法法則可得：BA1=AA1?AB=c?a，
∵底面ABCD是平行四邊形，∴AC=AB+AD=a+b，
∵AC/?/A1C1且|AC|=|A1C1|，∴A1C1=AC=a+b，
又∵M(jìn)為線段A1C1中點(diǎn)，∴A1M=12A1C1=12(a+b)，
在△A1MB中BM=BA1+A1M=c?a+12(a+b)=?12a+12b+c，
平行四邊形AA1C1C中，AC1=AC+AA1=a+b+c．
(2)∵AC1=a+b+c，AB=a，
又cs=AB?AC1|AB|?|AC1|=a?(a+b+c)1× 6=(a)2+a?b+a?c 6=1+12+12 6=2 6= 63．
17.解：(1)設(shè)圓M的半徑為r，圓x2+y2?2x=0的圓心F(1,0)，半徑為1，
因?yàn)閳AM與圓F內(nèi)切，所以|MF|=r?1，
因?yàn)閳AM與直線x=?2相切，
所以圓心M到直線x=?2的距離為r，
故M到直線x=?1的距離為r?1，
故圓心M到點(diǎn)F的距離與到直線x=?1的距離相等，
由拋物線的定義，曲線E是以F(1,0)為焦點(diǎn)，直線x=?1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線E的方程為y2=4x．
(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+1，m≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2).
聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，整理得y2?4my?4=0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=4my1y2=?4，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=my1+1+1+my2+1+1=m(y1+y2)+4=4m2+4，
因?yàn)锳B⊥CD，直線CD的方程為x=?1my+1，
同理可得|CD|=4m2+4，
所以，S=12|AB|?|CD|=12(4m2+4)(4m2+4)
=8(2+m2+1m2)≥8(2+2 m2?1m2)=32
當(dāng)且僅當(dāng)m2=1m2，即m=±1時(shí)，取等號(hào)．
所以四邊形ABCD面積的最小值是32．
18.解：(1)根據(jù)題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，CB1的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，B1(1,1,2)，C1(1,2,2)，
則CB1=(0,0,2)，CD=(?1,1,0)，CC1=BB1=(0,1,2)
設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則n?CB1=2z=0n?CD=?x+y=0，
令x=1，則y=1，z=0，所以n=(1,1,0)，
所以點(diǎn)C1到平面B1CD的距離d=|CC1?n||n|=1 2= 22；
(2)根據(jù)題意，因?yàn)镋為B1D的中點(diǎn)，所以E(12,32,1)，
所以AE=(12,32,1)，DD1=BB1=(0,1,2)，
所以cs?AE,DD1?=AE?DD1|AE||DD1|=32+2 14+94+1× 1+4= 7010，
所以異面直線DD1與AE所成角的余弦值為 7010；
(3)設(shè)DE=λDB1=λ(1,?1,2)=(λ,?λ,2λ)，其中0