2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）探究冪函數(shù)當(dāng)時的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）
A．2B．3C．D．-1
2．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
3．（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)的大致圖象是（）
A． B．
C． D．
4．（2024上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．（2023上·山西太原·高一太原市外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
6．（2023上·廣東深圳·高一?？计谥校┒魏瘮?shù)在上的最大值為（）
A．-1B．0C．3D．4
14．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知一次函數(shù)滿足，.
(1)求這個函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，恒成立，求m的取值范圍.
15．（2024上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最值，并求對應(yīng)的自變量的值．
B能力提升
1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎瘮?shù)．
(1)用定義法證明：函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若，求函數(shù)的最小值．
2．（2024下·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點
(1)解不等式：；
(2)設(shè)，若存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)()為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．
(1)求和的值；
(2)求滿足的實數(shù)的取值范圍．
C綜合素養(yǎng)
4．（2022上·四川·高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A佳”函數(shù).已知冪函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式:
(2) 是否為“A佳”函數(shù).若是，請指出所在區(qū)間；若不是，請說明理由.
(3)若函數(shù)，且是“A佳”函數(shù)，試求出實數(shù)的取值范圍.
5．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀τ诤瘮?shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“倒戈函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“倒戈函數(shù)”，并說明理由；
(2)若為定義在上的“倒戈函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值.
第04講冪函數(shù)與二次函數(shù) (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）探究冪函數(shù)當(dāng)時的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）
A．2B．3C．D．-1
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】由題意可得且為奇數(shù)，
所以.
故選：B.
2．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)冪指對函數(shù)的增減性的判定即可得出答案．
【詳解】，因為，所以在上為增函數(shù)，故A錯誤；
在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故B錯誤；
，所以在上為減函數(shù)，故C正確；
，所以在上為增函數(shù)，故D錯誤；
故選：C．
3．（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)的大致圖象是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】待定系數(shù)法求出解析式，從而選出答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)解析式為，將代入得，
即，故，解得，
所以，C選項為其圖象.
故選：C
4．（2024上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸方程為，
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
5．（2023上·山西太原·高一太原市外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出定義域，進而根號下配方求出值域.
【詳解】令得，，故定義域為，
.
故選：A
6．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）二次函數(shù)在上的最大值為（）
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最大值.
【詳解】因為函數(shù)是開口向上的拋物線，且對稱軸為：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以函數(shù)在上的最大值為：.
故選：C
7．（2022上·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)上單調(diào)遞增，則（）
A．0B．2C．或D．或2
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義以及其單調(diào)性，結(jié)合解析式，即可求得參數(shù)值.
【詳解】因為冪函數(shù)上單調(diào)遞增，
所以且，解得.
故選：A
8．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得便函數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解即得.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，
依題意，，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
二、多選題
9．（2024上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，現(xiàn)有一個直角三角形材料，，想要截得矩形CDEF，點E在邊AB上，記矩形CDEF的面積為S，的面積為T.已知，設(shè)，，則（）
A．B．
C．當(dāng)S取最大值時，D．當(dāng)S取最大值時，
【答案】BC
【分析】由，利用對應(yīng)邊成比例，表示出的關(guān)系式判斷選項A；由的關(guān)系式，把表示為關(guān)于的函數(shù)，驗證選項B；由二次函數(shù)的性質(zhì)，求S取最大值時的值，計算驗證選項C；通過三角形形狀驗證判斷選項D．
【詳解】，為矩形，則，，，
可得，有，，得，A選項錯誤；
由，得，，B選項正確；
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，S取最大值，此時，C選項正確；
當(dāng)S取最大值時，，此時分別為的中點，
，所以與不垂直，D選項錯誤．
故選：BC
10．（2024上·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）
A．B．的圖象經(jīng)過點
C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，代入法確定函數(shù)解析式，從而依次判斷.
【詳解】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
則，得，所以冪函數(shù)，所以A正確；
又，即的圖象經(jīng)過點，B正確；
且在上單調(diào)遞增，C正確；
不等式，即，解得，D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
11．（2022上·全國·高一校聯(lián)考期中）若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】由在上單調(diào)遞增，故，解得.
故答案為：
12．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，的值域是，則實數(shù) .
【答案】或
【分析】分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到方程，求出答案.
【詳解】若，此時，
其在上單調(diào)遞增，
故，解得，滿足要求，
若，此時，
其在上單調(diào)遞減，
故，解得，滿足要求，
若，此時的最小值為0，當(dāng)時，等號成立，
此時不滿足值域是.
故答案為：或
四、解答題
13．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求參數(shù)的值；
（2）分解因式，對的值進行分類討論即可求解.
【詳解】（1）由得函數(shù)對稱軸為：，
由.
（2）由.
當(dāng)時，可得：;
當(dāng)時，可得：；
當(dāng)時，可得：
綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為：；
當(dāng)時，原不等式的解集為：
當(dāng)時，原不等式的解集為：
14．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知一次函數(shù)滿足，.
(1)求這個函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；
（2）利用配方法求得，從而利用恒成立問題的解法即可得解.
【詳解】（1）依題意，設(shè)，
由條件得，解得，
故.
（2）由（1）知，
則，所以，
因為恒成立，則，
所以.
15．（2024上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最值，并求對應(yīng)的自變量的值．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)的最大值為7
【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性，求出的值，得函數(shù)解析式；
（2）求出函數(shù)的解析式，由定義域結(jié)合解析式，利用配方法求最值.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，即，
所以，解得，
又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以，即函數(shù)的解析式為．
（2）由（1）可知
因，所以，
所以當(dāng)，即，函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時，，函數(shù)的最大值為7．
B能力提升
1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）已知函數(shù)．
(1)用定義法證明：函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若，求函數(shù)的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）用單調(diào)性的定義直接證明即可；
（2）通過換元法將原問題等級轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)動軸定區(qū)間的最小值問題，對對稱軸的位置分類討論即可求解.
【詳解】（1）不妨設(shè)，所以，
因為，所以，即，
所以函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù).
（2）若，則，
所以
，
，
若，則單調(diào)遞減，
所以此時，
若，則，
若，則單調(diào)遞增，
所以此時，
綜上所述，.
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個數(shù)，且，然后通過計算的符號，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
2．（2024下·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點
(1)解不等式：；
(2)設(shè)，若存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖象所過點求出冪函數(shù)解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分離參數(shù)后由題意轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值即可得解.
【詳解】（1）因為冪函數(shù)的圖象過點，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集為
（2）由（1）可知，，則，
由得，，
即，
令，根據(jù)題意，存在實數(shù)，，
則，由于，
所以當(dāng)時，取最小值，故，
所以的取值范圍為.
3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)()為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．
(1)求和的值；
(2)求滿足的實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)以及奇偶性等知識求得.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及對分類討論來求得的取值范圍.
【詳解】（1）由函數(shù)為冪函數(shù)，
則，解得；
【詳解】（1）因為冪函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，
所以，解得，
所以函數(shù)的解析式為．
（2）由（1）知，，函數(shù)的定義域為，
又，所以函數(shù)的值域為，
若存在，使得在上的值域為，
故函數(shù)為“A佳”函數(shù).
因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
有，解得或，或，而，
故“A佳”函數(shù)的區(qū)間為；
（3），，則在上單調(diào)遞減，
因為是“A佳”函數(shù)，所以，
令，，則，，
所以，有，即，
因為，所以，所以，得，
所以，代入，
得，
因為，所以，得，
令，，
所以，又該函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關(guān)于函數(shù)新定義問題，一般需要理解定義的內(nèi)容，根據(jù)定義直接處理比較簡單問題，加深對新定義的理解，本題中，需要根據(jù)是“A佳”函數(shù)，及函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，換元后求出的關(guān)系，利用函數(shù)值域求解.
5．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀τ诤瘮?shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“倒戈函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“倒戈函數(shù)”，并說明理由；
(2)若為定義在上的“倒戈函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值.
【答案】(1)為“倒戈函數(shù)”；理由見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程在上有解，令換元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程在上有解，可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)或二次方程根的分布知識可得，然后通過分類討論求函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）為“倒戈函數(shù)”.
等價于方程有解，
即有解，顯然為方程的解，
所以為“倒戈函數(shù)”；
（2）若為定義在上的“倒戈函數(shù)”，
則在上有解，即在上有解.
令，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取等號，
則，
從而關(guān)于的方程在上有解，
令，
①當(dāng)時，在上有解，
由，即，解得；
②當(dāng)時，在上有解等價于
，此不等式組無解.
則所求實數(shù)的取值范圍是.
令，因為，所以，
則，
令，對稱軸為，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，
所以時，取得最小值，，
即時
當(dāng)時，時，取得最小值，，
即時，即時，.
綜上，當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解“倒戈函數(shù)”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題來進行求解.

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