TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19976" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc19976 \h 1
\l "_Tc21623" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc21623 \h 2
\l "_Tc14949" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc14949 \h 2
\l "_Tc30040" 高頻考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義 PAGEREF _Tc30040 \h 2
\l "_Tc13558" 角度1：求冪函數(shù)的值 PAGEREF _Tc13558 \h 2
\l "_Tc16554" 角度2：求冪函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc16554 \h 3
\l "_Tc10774" 角度3：由冪函數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc10774 \h 3
\l "_Tc17321" 高頻考點(diǎn)二：冪函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc17321 \h 4
\l "_Tc17178" 高頻考點(diǎn)三：冪函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc17178 \h 4
\l "_Tc14140" 角度1：判斷冪函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc14140 \h 4
\l "_Tc16040" 角度2：冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題 PAGEREF _Tc16040 \h 5
\l "_Tc2913" 高頻考點(diǎn)四：冪函數(shù)單調(diào)性 PAGEREF _Tc2913 \h 7
\l "_Tc4332" 角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc4332 \h 7
\l "_Tc16149" 角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc16149 \h 7
\l "_Tc12912" 角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc12912 \h 7
\l "_Tc28750" 高頻考點(diǎn)五：冪函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc28750 \h 8
\l "_Tc31382" 高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù) PAGEREF _Tc31382 \h 9
\l "_Tc11527" 角度1：二次函數(shù)值域問題 PAGEREF _Tc11527 \h 9
\l "_Tc2826" 角度2：求二次函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc2826 \h 9
\l "_Tc5487" 角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù) PAGEREF _Tc5487 \h 10
\l "_Tc15272" 角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù) PAGEREF _Tc15272 \h 10
\l "_Tc8369" 角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問題 PAGEREF _Tc8369 \h 11
\l "_Tc12968" 第四部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc12968 \h 12
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
（2）五種常見冪函數(shù)
（3）冪函數(shù)性質(zhì)（高頻考點(diǎn)）
冪函數(shù)，在
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
2、二次函數(shù)
形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義
角度1：求冪函數(shù)的值
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是冪函數(shù)，則（ ）
A．3B．C．6D．
例題2．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 .
角度2：求冪函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則 ．
例題2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 .
角度3：由冪函數(shù)求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則（ ）
A．B．或C．或D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤羰嵌x域?yàn)榈膬绾瘮?shù)，則 ．
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 .
3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則 ．
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則等于 .
高頻考點(diǎn)二：冪函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵? ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；
(3)求函數(shù)的值域．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)? ．
高頻考點(diǎn)三：冪函數(shù)圖象
角度1：判斷冪函數(shù)圖象
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
角度2：冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題
典型例題
例題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ袇卿林袑W(xué)?？计谀┫铝忻}中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線
B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn)
C．冪函數(shù)圖象不可能在第四象限內(nèi)
D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則是定義域內(nèi)的嚴(yán)格增函數(shù)
例題2．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中m，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．4
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
2．（多選）（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（ ）
A．B．
C．D．
3．（多選）（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象所過的定點(diǎn)，則冪函數(shù)具有的特性是（ ）
A．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減B．圖象過點(diǎn)
C．是奇函數(shù)D．定義域是
高頻考點(diǎn)四：冪函數(shù)單調(diào)性
角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源縣第一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的值為（ ）
A．或 3B．1 或C．D．3
例題2．（2023上·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) .
角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍.
例題2．（2023上·廣西欽州·高一校考期中）已知是冪函數(shù).
(1)求、的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) .
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
(1)求的解析式；
(2)求關(guān)于x的不等式的解集．
高頻考點(diǎn)五：冪函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
例題2．（2024上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù) ．
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．為單調(diào)遞增函數(shù)D．的值域?yàn)?br>例題1．（2024下·云南紅河·高一蒙自一中?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的值域是，則的最大值是（ ）
A．3B．6C．4D．8
例題2．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)二次函數(shù)的值域是，則的最小值是 .
角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問題
典型例題
例題1．（2023上·北京·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)若對(duì)任意，都有，則的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，求的最小值.
例題2．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；
(2)若的最大值為9，求a的值．
4．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）已知是二次函數(shù)，且，.
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
5．（2024上·河南周口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值.
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“G函數(shù)”．
(1)試判斷，（）是否為“G函數(shù)”，簡(jiǎn)要說明理由；
(2)若是定義在區(qū)間上的“G函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)試討論在上是否為“G函數(shù)”？并說明理由．
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
第04講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20689" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc20689 \h 1
\l "_Tc14449" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc14449 \h 2
\l "_Tc29918" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc29918 \h 3
\l "_Tc4252" 高頻考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義 PAGEREF _Tc4252 \h 3
\l "_Tc2433" 角度1：求冪函數(shù)的值 PAGEREF _Tc2433 \h 3
\l "_Tc15590" 角度2：求冪函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc15590 \h 3
\l "_Tc292" 角度3：由冪函數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc292 \h 4
\l "_Tc12052" 高頻考點(diǎn)二：冪函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc12052 \h 6
\l "_Tc13176" 高頻考點(diǎn)三：冪函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc13176 \h 8
\l "_Tc16675" 角度1：判斷冪函數(shù)圖象 PAGEREF _Tc16675 \h 8
\l "_Tc14155" 角度2：冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題 PAGEREF _Tc14155 \h 10
\l "_Tc26699" 高頻考點(diǎn)四：冪函數(shù)單調(diào)性 PAGEREF _Tc26699 \h 13
\l "_Tc2063" 角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc2063 \h 13
\l "_Tc2281" 角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc2281 \h 14
\l "_Tc15514" 角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc15514 \h 15
\l "_Tc15035" 高頻考點(diǎn)五：冪函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc15035 \h 18
\l "_Tc232" 高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù) PAGEREF _Tc232 \h 20
\l "_Tc2083" 角度1：二次函數(shù)值域問題 PAGEREF _Tc2083 \h 20
\l "_Tc21218" 角度2：求二次函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc21218 \h 21
\l "_Tc18496" 角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù) PAGEREF _Tc18496 \h 22
\l "_Tc17024" 角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù) PAGEREF _Tc17024 \h 23
\l "_Tc29478" 角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問題 PAGEREF _Tc29478 \h 23
\l "_Tc14260" 第四部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc14260 \h 28
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
（2）五種常見冪函數(shù)
（3）冪函數(shù)性質(zhì)（高頻考點(diǎn)）
冪函數(shù)，在
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
2、二次函數(shù)
形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義
角度1：求冪函數(shù)的值
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是冪函數(shù)，則（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果即可.
【詳解】由題知，解得，且，解得.
故選：D
例題2．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 .
【答案】16
【分析】由題意可求出冪函數(shù)的解析式，再代入求值，即可求得答案
【詳解】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，故，
所以，
故答案為：16
角度2：求冪函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和過點(diǎn)，求解解析式.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)，則，
又由過點(diǎn)，所以，
故，所以.
故答案為：.
例題2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 .
【答案】4
【分析】利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?
則，
故答案為：4.
角度3：由冪函數(shù)求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由冪函數(shù)的定義即可得解.
【詳解】由題意得冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得或（舍）.
故選：D.
例題2．（2024上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考期末）已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出，再由函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限得出即可．
【詳解】解：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，顯然其圖象不經(jīng)過第二象限，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，其圖象經(jīng)過第二象限，不滿足題意；
綜上，．
故選：D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤羰嵌x域?yàn)榈膬绾瘮?shù)，則 ．
【答案】2
【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，
則有，解得，
又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以?br>故答案為：2
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出值，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求值即可.
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以；解得或，
又因?yàn)樵谏线f減，所以，故.
故答案為：
3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出值，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求得值.
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以；解得或，
又因?yàn)樵谏线f減，所以，故．
故答案為：
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于 .
【答案】2
【分析】首先求冪函數(shù)的解析式，再代入求值.
【詳解】設(shè)，，得，
即，所以.
故答案為：2
高頻考點(diǎn)二：冪函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵? ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由已知值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
時(shí)，等號(hào)成立，所以的值域是，B錯(cuò)誤；
因?yàn)槎x域?yàn)椋?，函數(shù)值域?yàn)椋蔆正確；
，，，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
例題2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；
(3)求函數(shù)的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）依題意可得，求出的取值范圍，再根據(jù)，即可得到，再代入求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；
【詳解】（1）解：依題意，即，解得，因?yàn)椋曰蚧?，所以或?br>（2）解：若定義域?yàn)?，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；
若定義域?yàn)?，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若定義域?yàn)?，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；
（3）若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案.
【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，不符合題意；
對(duì)于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；
對(duì)于C：的定義域和值域都為，不符合題意；
對(duì)于D：的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以值域?yàn)?，定義域和值域不相同，符合題意；
故選：D．
2．（2024下·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】/
【分析】分別求出各段函數(shù)的值域再求并集即可
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以；
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：
高頻考點(diǎn)三：冪函數(shù)圖象
角度1：判斷冪函數(shù)圖象
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對(duì)B選項(xiàng)，根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，不滿足，其他選項(xiàng)滿足類冪函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，得到答案.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，
對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸在軸右邊，滿足；
對(duì)選項(xiàng)B：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，不滿足；
對(duì)選項(xiàng)C：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在軸左邊，滿足；
對(duì)選項(xiàng)D：取，則，，滿足圖像；
故選：B
例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對(duì)應(yīng)解析式的形式，即可得答案.
【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；
圖象（2）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；
圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；
圖象（4）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；
圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；
圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞減，故滿足；
圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞增，故滿足；
故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?
故選：C
角度2：冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題
典型例題
例題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ袇卿林袑W(xué)?？计谀┫铝忻}中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線
B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn)
C．冪函數(shù)圖象不可能在第四象限內(nèi)
D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則是定義域內(nèi)的嚴(yán)格增函數(shù)
【答案】C
【分析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線除去點(diǎn)，所以A項(xiàng)不正確；
對(duì)B，冪函數(shù)的冪指數(shù)小于0時(shí)，圖象不經(jīng)過，所以B項(xiàng)不正確；
對(duì)C，冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)，所以C項(xiàng)正確；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是嚴(yán)格的增函數(shù)，所以D項(xiàng)不正確；
故選：C.
例題2．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中m，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】D
【分析】求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出的關(guān)系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】依題意，，則，因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4.
故選：D
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，
所以0，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，
所以選項(xiàng)D正確，
故選：D.
2．（多選）（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】結(jié)合二次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為，
，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，故A滿足要求；
對(duì)于B，當(dāng)開口向上時(shí)，，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，故B不滿足要求；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，其圖象開口向上，對(duì)稱軸為，
，其圖象在上單調(diào)遞增，且越來越緩，故C滿足要求；
對(duì)于D，當(dāng)開口向上時(shí)，，
此時(shí)其對(duì)稱軸為，故D不滿足要求.
故選：BD.
3．（多選）（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象所過的定點(diǎn)，則冪函數(shù)具有的特性是（ ）
A．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減B．圖象過點(diǎn)
C．是奇函數(shù)D．定義域是
【答案】BC
【分析】求出函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式，求出的值，再利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】由，即，可得，
故函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，
則，解得，則，定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但在定義域內(nèi)不單調(diào)遞減.
因?yàn)?，所以函?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以選項(xiàng)B、C正確.
故選：BC.
高頻考點(diǎn)四：冪函數(shù)單調(diào)性
角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性可對(duì)A、C判斷；利用函數(shù)奇偶性的判斷并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可對(duì)B、D判斷.
【詳解】對(duì)A、C：由，定義域?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；
定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)B、D：，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，
當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，故B正確；
，定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
例題2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源縣第一中學(xué)校考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】解：由，得，即，
解得，所以 的定義域?yàn)椋?br>令，在上遞增，在上遞減，又，在上遞減，
所以在上遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：C
角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的值為（ ）
A．或 3B．1 或C．D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，
則，則或，
當(dāng)，，不符合題意，
當(dāng)，，則在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意，則；
故選：D.
例題2．（2023上·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】由冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程求解.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)單調(diào)遞減，
所以，解得.
故答案為：
角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍.
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)求得，利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.
又，所以或.
又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是偶數(shù)，所以，即.
則原不等式可化為.
因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
例題2．（2023上·廣西欽州·高一?？计谥校┮阎莾绾瘮?shù).
(1)求、的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值；
（2）分析的定義域和單調(diào)性，然后列出關(guān)于的不等式組，由此求解出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，
所以，解得；
（2）由（1）可知，定義域?yàn)椋遥?br>所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，
又因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.
【詳解】對(duì)于A，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確；
對(duì)于B，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
2．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) .
【答案】6
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及性質(zhì)求解即可.
【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)可知，，
解得或，
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.
故答案為：6
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，解出的值，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）分析函數(shù)的定義域與單調(diào)性，根據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，
即，即，解得或，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，則，解得，
所以，，故.
（2）由（1）可知，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)任意的，，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
4．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
(1)求的解析式；
(2)求關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取，再驗(yàn)證單調(diào)性得到答案.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域得到不等式，解得答案.
【詳解】（1）冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故，解得或，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不滿足；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足；
故.
（2）在上單調(diào)遞增，，
故，解得或，即.
高頻考點(diǎn)五：冪函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.
【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，
則，解得：，當(dāng)時(shí)，，，
則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；
“函數(shù)為奇函數(shù)”，
則，即，
解得：，故必要性不成立，
故選：A．
例題2．（2024上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)來解答即可.
【詳解】，
若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，
又冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．為單調(diào)遞增函數(shù)D．的值域?yàn)?br>【答案】AC
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由冪函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由為冪函數(shù)可得，解得，
所以，故A正確，C正確；
由于，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
的值域?yàn)椋珼錯(cuò)誤，
故選：AC.
2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)．若是奇函數(shù)，則的值為 ．
【答案】3
【分析】由冪函數(shù)的定義結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由題意，解得或，又是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，滿足題意.
故答案為：3.
高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)
角度1：二次函數(shù)值域問題
典型例題
例題1．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則在區(qū)間的值域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得.
【詳解】，
則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，，，
故在區(qū)間的值域?yàn)?
故選：C.
例題2．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化公式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解；
（2）利用換元法直接求解函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，
解得，
故的解析式為.
（2）當(dāng)時(shí)，，令，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又，
所以的值域?yàn)?
角度2：求二次函數(shù)解析式
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且最小值為．
(1)求函數(shù)的解析式；
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)的兩點(diǎn)式形式，再由條件得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可得解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，分類討論、與三種情況下在的單調(diào)情況，從而得到關(guān)于的方程，解之即可.
【詳解】（1）由題意設(shè)函數(shù)的解析式為，
由已知可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入得，解得，
所以二次函數(shù)解析式為，即．
例題2．（2024上·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，已知函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)的對(duì)稱軸為.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)及二次函數(shù)的對(duì)稱軸，得到方程組，解得、即可求出函數(shù)解析式；
（2）將函數(shù)配成頂點(diǎn)式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.
【詳解】（1）解：依題意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024下·云南紅河·高一蒙自一中?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】二次函數(shù) 的對(duì)稱軸為，
欲使得時(shí)是單調(diào)的，
則對(duì)稱軸必須在 區(qū)間之外，
即 或者.
故選：A.
例題2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】?jī)绾瘮?shù)為偶函數(shù)，解得，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】為冪函數(shù)，則，解得或，
時(shí)，；時(shí)，.
為偶函數(shù)，則.
函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，
則或，解得或，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：D.
角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的值域是，則的最大值是（ ）
A．3B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)，要使得區(qū)間長(zhǎng)度最大，則對(duì)稱軸兩邊（能取到對(duì)稱軸的前提下）距離越大，區(qū)間長(zhǎng)度越大
【詳解】，
因?yàn)橹涤驗(yàn)?，所以要取到最小?，必須取到對(duì)稱軸，
又對(duì)稱軸兩邊距離越大，則區(qū)間長(zhǎng)度越大，
令，得或，
所以當(dāng)時(shí)，
故選：B
例題2．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)校考期末）設(shè)二次函數(shù)的值域是，則的最小值是 .
【答案】2
【分析】由二次函數(shù)值域確定參數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意知，，，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值是2.
故答案為：2.
角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問題
典型例題
例題1．（2023上·北京·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)若對(duì)任意，都有，則的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件列出等量關(guān)系，由此求解出的值，則解析式可知；
（2）根據(jù)區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系列出不等式，由此求解出的取值范圍；
（3）分析對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解出.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
化簡(jiǎn)得，且不恒為，
所以，所以，
所以；
（2）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，又在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，所以，
所以的取值范圍為；
（3）的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，
綜上可知，.
例題2．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可設(shè)，結(jié)合進(jìn)而可得的解析式；
（2），對(duì)稱軸為，分情況討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，
又，設(shè)，
又，∴．
∴；
（2）由（1）知，圖象的對(duì)稱軸為，開口朝下，
若，則在上是減函數(shù)，最大值；
若，即，則在上是增函數(shù)，；
若，即，則；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由二次函數(shù)對(duì)稱軸及單調(diào)性列出不等式來求解即可.
【詳解】易知的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以或，解得或．
故選:C
2．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得，從而求出代入解析式檢驗(yàn)，進(jìn)而可求出的解析式；
（2）求出的對(duì)稱軸，然后由在上是單調(diào)函數(shù)，得或，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意，解得或3，
若是偶函數(shù)，代入檢驗(yàn)可得，故；
（2），對(duì)稱軸是，
若在上是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；
(2)若的最大值為9，求a的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的值域；
（2）令，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列方程求參數(shù).
【詳解】（1）由題設(shè)，若，則，
在上遞減，在上遞增，則，
在定義域上遞增，則，
所以的值域?yàn)?
（2）令，則，
又在定義域上遞增，而的最大值為9，即，
則開口向下且對(duì)稱軸為，，
所以.
4．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）已知是二次函數(shù)，且，.
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)，由，求得，再由，列出方程組，求得，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，
因?yàn)?，可得，即?br>又由，
且，
又因?yàn)?，即?br>所以，
當(dāng)區(qū)間在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，，
解得或（舍去）
當(dāng)區(qū)間在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，，
解得或（舍去），
當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí)，即時(shí)，，不符合題意，
綜上所述，或
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“G函數(shù)”．
(1)試判斷，（）是否為“G函數(shù)”，簡(jiǎn)要說明理由；
(2)若是定義在區(qū)間上的“G函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)試討論在上是否為“G函數(shù)”？并說明理由．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）由可判斷；
（2）由題意，得，即在有解，分離參數(shù)可得m的取值范圍；
（3）若為“G函數(shù)”，則在定義域上有解，令，則，，在有解，再分類討論即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）∵，
∴，
∴是“G函數(shù)”．
（2）∵為“G函數(shù)”，故存在，
使，
∴，
即在有解．
∵，
∴．
又∵在恒成立，
∴．
∴
（3）當(dāng)為定義域上
的“G函數(shù)”時(shí)，則在定義域上有解，
可化為在定義域上有解，
令，則，，
從而在有解，即可保證為“G函數(shù)”，
令，則的圖象是開口向上的拋物線，
對(duì)稱軸為．則
①當(dāng)即時(shí)，
解得所以
②當(dāng)，即時(shí)，
解得，所以，
綜上，當(dāng)時(shí)，
為定義域上的“G函數(shù)”，否則不是．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)題目新定義轉(zhuǎn)化為存在定義域內(nèi)的，使得，進(jìn)而判斷方程是否有解.
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)

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