第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
題型一：成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性
題型二：回歸分析
角度1：經(jīng)驗(yàn)回歸方程及應(yīng)用
角度2：非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程及應(yīng)用
角度3：相關(guān)系數(shù)
角度4：殘差分析
題型三：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
第一部分：知 識(shí) 點(diǎn) 精 準(zhǔn) 記 憶
知識(shí)點(diǎn)一：變量的相關(guān)關(guān)系
(1)兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
(2)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)
從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān);如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì),則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
(3)線性相關(guān)、非線性相關(guān)
一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).
一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
知識(shí)點(diǎn)二：樣本相關(guān)系數(shù)
（1）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算
變量與變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下：
（2）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
①當(dāng)時(shí),稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)時(shí),稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).
當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系.
②樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為,當(dāng)越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)越接近0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
知識(shí)點(diǎn)三：一元線性回歸模型
(1)數(shù)學(xué)表述式:如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示為
我們稱該式為關(guān)于的一元線性回歸模型.
其中,稱為因變量或響應(yīng)變量,稱為自變量或解釋變量;和為模型的未知參數(shù),稱為截距參數(shù),稱為斜率參數(shù);是與之間的隨機(jī)誤差.
（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程
我們將稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，其中
（3）利用刻畫回歸效果
的計(jì)算公式為，其意義是越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.
知識(shí)點(diǎn)四：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)2×2列聯(lián)表
如圖,給出成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)
依據(jù)上述列聯(lián)表構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量
利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).
常用的小概率值和臨界值表
第二部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．
下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由圖可知：所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān) ，而且對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，
故選：C
例題2．（2022·北京·高二期末）對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖，對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）
A．變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)
B．變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)
C．變量與正相關(guān)，與正相關(guān)
D．變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)
【答案】B
【詳解】由散點(diǎn)圖可知，變量與負(fù)相關(guān)，變量與正相關(guān)，所以，與負(fù)相關(guān).
故選：B.
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于，兩變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的線性相關(guān)系數(shù)（如下），則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是（ ）
A．－0.82B．0.78C．－0.69D．0.87
【答案】D
【詳解】由相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)知：各選項(xiàng)中的絕對(duì)值最大.
故選：D
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在下列4組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，樣本相關(guān)系數(shù)最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)可知，，，，，
又第2組散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)更為集中，更接近于一條直線，
所以，
故樣本相關(guān)系數(shù)最小的是．
故選：B．
2．（多選）（2022·福建三明·高二期末）已知5個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)（x，y）的散點(diǎn)圖如下，若去掉點(diǎn)D（4，3），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．變量x與變量y呈負(fù)相關(guān)B．變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
C．殘差平方和變小D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大
【答案】ABC
【詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)D后，與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以AB正確，
由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，所以殘差平方和變小，所以C正確，
由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大，而相關(guān)系數(shù)為負(fù)的，所以樣本相關(guān)系數(shù)r變小，所以D錯(cuò)誤，
故選：ABC
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)的散點(diǎn)圖的序號(hào)為______．
【答案】（2）（4）
【詳解】由散點(diǎn)圖可知：（1）（3）的散點(diǎn)呈左上到右下分布，故為負(fù)相關(guān)，
（2）（4）的散點(diǎn)呈左下到右上，故為正相關(guān).
故答案為：（2）（4）
題型二：回歸分析
角度1：經(jīng)驗(yàn)回歸方程及應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·四川成都·高三期中（文））某單位為了了解辦公樓用電量（度）與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：
由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為，當(dāng)氣溫為時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（ ）
A．68度B．67度C．66度D．52度
【答案】A
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，，
因?yàn)榛貧w方程為過(guò)樣本中心，所以，
所以當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
例題2．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））某農(nóng)科所調(diào)研得出農(nóng)作物近五年的銷售單價(jià)（單位：元/公斤）如下表.
經(jīng)計(jì)算，關(guān)于的回歸直線方程為，則估計(jì)2025年該農(nóng)作物的單價(jià)為___________元/公斤.
【答案】
【詳解】因?yàn)閾?jù)線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以有，即，
把代入，得，
故答案為：
例題3．（2022·河南·高二期末（文））2021年是中國(guó)加入世界貿(mào)易組織20周年，“入世”是中國(guó)對(duì)外開放的一個(gè)里程碑，中國(guó)已經(jīng)連續(xù)11年成為貨物貿(mào)易出口第一大國(guó)，經(jīng)濟(jì)全球化是歷史潮流，大勢(shì)所趨.“入世”20年，中國(guó)的發(fā)展證明，世界經(jīng)濟(jì)離不開中國(guó)，中國(guó)發(fā)展也離不開世界.下表是中國(guó)2016~2020這5年來(lái)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）數(shù)據(jù)，已知年份代碼和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求年份代碼和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的回歸直線方程
(2)預(yù)測(cè)2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.
參考數(shù)據(jù)：.參考公式：線性回歸方程中，.
【答案】(1)
(2)16.88萬(wàn)億美元
(1)
，
，
，
所以，
，
所以年份代碼x和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y的回歸直線方程
(2)
令，得，
所以2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值大約為16.88萬(wàn)億美元.
例題4．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）鄭州是一個(gè)缺水的城市，人均水資源占有量?jī)H為全國(guó)的十分之一，政府部門提出“節(jié)約用水，我們共同的責(zé)任”倡議，某用水量較大的企業(yè)積極響應(yīng)政府號(hào)召對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造，以達(dá)到節(jié)約用水的目的，下表提供了該企業(yè)節(jié)約用水技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)用水（噸）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：
(1)請(qǐng)根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，若，之間是線性相關(guān)，求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)已知該廠技術(shù)改造前噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)用水為噸，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)技術(shù)改造后生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前減少多少噸水？
【參考公式】
，
【答案】(1)
(2)
(1)
根據(jù)題意得：，，
所以，
所以，所以.
(2)
當(dāng)時(shí)，，
所以改造后生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品減少的用水量為：噸.
例題5．（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（文））機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)，商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)兩部分．經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)某保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上一年沒(méi)有出險(xiǎn)，則下一年保費(fèi)倍率為85%，上一年出險(xiǎn)一次，則下一年保費(fèi)倍率為100%，上一年出險(xiǎn)兩次，則下一年保費(fèi)倍率為125%．太原王女士2022年1月購(gòu)買了一輛價(jià)值32萬(wàn)元的新車．若該車2022年2月已出過(guò)一次險(xiǎn)，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車維修店詢價(jià)，預(yù)計(jì)修車費(fèi)用為800元，理賠人員建議王女士自費(fèi)維修（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為王女士是否應(yīng)該接受該建議？請(qǐng)說(shuō)明理由．（假設(shè)車輛2022年與2023年都購(gòu)買相同的商業(yè)險(xiǎn)產(chǎn)品）
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：．
【答案】(1)
(2)王女士應(yīng)接受理賠專員的建議；理由見解析
（1）
（萬(wàn)元），
所以
（2）
價(jià)值為32萬(wàn)元的車輛的商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)預(yù)報(bào)值為元．
由于該車已出險(xiǎn)一次，若再出險(xiǎn)一次，則保費(fèi)要增加25%，
即保費(fèi)增加元．
因?yàn)?，若出險(xiǎn)，2023年增加的保費(fèi)大于800元，
所以王女士應(yīng)接受理賠專員的建議．
同類題型歸類練
1．（2022·四川成都·高三期中（理））某單位為了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：
由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為，當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（ ）
A．69度B．68度C．66度D．52度
【答案】B
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，
根據(jù)滿足線性回歸方程，得，∴，
則回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，
故選：B．
2．（2022·青?！ず|市教育研究室高二期末（文））已知某商品的廣告費(fèi)（萬(wàn)元）與銷售額（萬(wàn)元）之間的數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)可得線性回歸方程為,則當(dāng)投入8萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí),銷售額約為_______萬(wàn)元.
【答案】8.64
【詳解】解:由題意可得,,
則,解得,
故.
當(dāng)時(shí),.
故答案為: 8.64
3．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里遠(yuǎn)方中學(xué)高一期末）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出（萬(wàn)元）與銷售額（萬(wàn)元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：
(1)作出銷售額關(guān)于廣告費(fèi)用支出的散點(diǎn)圖；
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程；
(3)據(jù)此估計(jì)估計(jì)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí)，銷售收入的值．
參考公式：，．
【答案】(1)答案見詳解
(2)
(3)82.5萬(wàn)元
（1）
畫出坐標(biāo)系，把所給的五組點(diǎn)的坐標(biāo)描到坐標(biāo)系中，作出散點(diǎn)圖如圖所示：
（2）
設(shè)所求線性回歸直線方程為，，
，，，
，，
因此，所求線性回歸方程為．
（3）
當(dāng)時(shí)，的預(yù)報(bào)值為（萬(wàn)元），
答：當(dāng)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí)，銷售收入約為82.5萬(wàn)元．
4．（2022·四川省通江中學(xué)高二開學(xué)考試（理））某車間為了確定合理的工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了五次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：
(1)求出 y 關(guān)于 x 的回歸方程；
(2)試預(yù)測(cè)加工 9 個(gè)零件需要多少時(shí)間？
參考公式：，
【答案】(1)；
(2).
（1）
由表中數(shù)據(jù)得：，，
，
根據(jù)公式知：=0.75，
，
回歸直線方程為：.
（2）
將代入回歸直線方程得，，
預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要小時(shí).
5．（2022·全國(guó)·高二期中）“十一五”規(guī)劃提出單位國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）能耗降低20%左右的目標(biāo)，“節(jié)能降耗”需要長(zhǎng)期推行，這既有利于改善環(huán)境?可持續(xù)發(fā)展，又有利于民眾生活福祉的改善.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
(2)當(dāng)該廠產(chǎn)量提升到10噸時(shí)，預(yù)測(cè)生產(chǎn)能耗為多少.
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)
(2)當(dāng)產(chǎn)量提升到10噸時(shí)，預(yù)測(cè)生產(chǎn)能耗為6.9噸標(biāo)準(zhǔn)煤
(1)
解：因?yàn)椋?br>，.
所以，
所以，
所以y關(guān)于x的線性回歸肪程為.
(2)
解：當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)產(chǎn)量提升到10噸時(shí)，預(yù)測(cè)生產(chǎn)能耗為6.9噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
角度2：非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程及應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·云南昆明·高三開學(xué)考試）根據(jù)中國(guó)海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)，從2017年到2021年全國(guó)直排海污染物中各年份的氨氮總量（單位：千噸）與年份的散點(diǎn)圖如下：
記年份代碼為，，對(duì)數(shù)據(jù)處理后得：
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年全國(guó)直排海污染物中的氨氮總量（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）.
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.
【答案】(1)模型②適宜作為y關(guān)于x的回歸方程.
(2)，3.97千噸.
（1）
由散點(diǎn)圖得模型②適宜作為y關(guān)于x的回歸方程.
（2）
由題知：
，
，
所以y關(guān)于t的回歸方程為，
即y關(guān)于x的回歸方程為，
2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，得，
所以，預(yù)計(jì)2022年全國(guó)直排海污染物中的氨氮總量約為3.97千噸.
例題2．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）設(shè)某種植物幼苗從觀察之日起，第天的高度為（cm），測(cè)得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（給出判斷即可，不需說(shuō)明理由）？
(2)根據(jù)（1）的判斷，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)第100天幼苗的高度（估計(jì)的高度精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位）；
(3)在作出的這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，甲同學(xué)隨機(jī)選取其中的4個(gè)點(diǎn)，記這4個(gè)點(diǎn)中幼苗的高度大于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，其中為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程的斜率的最小二乘估計(jì)為.
【答案】(1)
(2)，
(3)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為
（1）
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）
令，則，根據(jù)已知數(shù)據(jù)表得到如下表：
故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程
令；
（3）
這7天中幼苗高度大于的有4天，服從超幾何分布，其中
所以隨機(jī)變量的分布列為：
隨機(jī)變量的期望值.
例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染，某研究團(tuán)隊(duì)收集了組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及如表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值，其中，化肥施用量為（單位：千克），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百千克）．令，．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作為糧食畝產(chǎn)量關(guān)于化肥施用量的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并估計(jì)化肥施用量為千克時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值；
附：①在回歸直線方程中，，；
【答案】(1)更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型
(2)；千克．
（1）
由散點(diǎn)圖可知：隨的變化呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì)，
更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型．
（2）
由得：，即，
，，
，關(guān)于的回歸方程為：；
當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)當(dāng)化肥施用量為千克時(shí)，糧食畝產(chǎn)量為千克.
例題4．（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）國(guó)慶期間，某市文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng).下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格（單位：元）與購(gòu)買人數(shù)（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)如下表：
在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中，.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；
附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，，.
②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，.
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為，
由，，
則，，
所以變量關(guān)于的回歸方程為，
因?yàn)?，，所以，故?br>綜上，關(guān)于的回歸方程為；
同類題型歸類練
1．（2022·福建省福州延安中學(xué)高二期末）某公司對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，獲得了該產(chǎn)品的定價(jià)x（單位：萬(wàn)元/噸）和一天的銷售量y(單位：噸）的一組數(shù)據(jù)，制作了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，并作出了散點(diǎn)圖．
表中，，．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型：（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，試建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.20萬(wàn)元，依據(jù)（2）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)計(jì)定價(jià)為多少時(shí)，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，并求此時(shí)的月利潤(rùn)．（每月按30天計(jì)算，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸時(shí)，一天的利潤(rùn)最大，月利潤(rùn)最大為45.00萬(wàn)元．
（1）
根據(jù)散點(diǎn)圖知更適合作為y關(guān)于x的回歸方程．
（2）
令，則，
則，
，，
關(guān)于x的回歸方程為．
（3）
一天利潤(rùn)為．
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）
每月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元）
預(yù)計(jì)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸時(shí)，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，此時(shí)的月利潤(rùn)為45.00萬(wàn)元．
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的2011—2020年的營(yíng)業(yè)收入，制成表格如下：
表1
由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：
根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a均為常數(shù)）來(lái)擬合y和x的關(guān)系，這時(shí)，
可以令，得，由表1可得t與y的相關(guān)數(shù)據(jù)如表2．表2
(1)根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；
(2)根據(jù)（1）中得到的回歸直線方程估計(jì)2023年的營(yíng)業(yè)收入以及營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份．
參考公式；回歸直線方程中，，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【答案】(1)
(2)3574億元，2024年
（1）
解：易得，
，
故y關(guān)于t的回歸直線方程為．
（2）
解：2023年對(duì)應(yīng)的t的值為169，故該年的營(yíng)業(yè)收入為（億元），
所以估計(jì)2023年的營(yíng)業(yè)收入為3574億元．
依題意，有．解得，即．
因?yàn)椋?br>所以估計(jì)營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份序號(hào)為14．即2024年．
3．（2022·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）某市統(tǒng)計(jì)了該市近五年的環(huán)保投資額（萬(wàn)元）得下表：
以為解釋變量，為響應(yīng)變量，若用作為經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則決定系數(shù)，若用作為經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則決定系數(shù).
(1)判斷與哪一個(gè)更適合作為年環(huán)保投資額關(guān)于年份代號(hào)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并說(shuō)明理由；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于年份代號(hào)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：，，.
【答案】(1)更適合作為年環(huán)保投資額關(guān)于年份代號(hào)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，理由見解析
(2)
【詳解】（1）由，可知的擬合效果更好，所以更適合作為年環(huán)保投資額關(guān)于年份代號(hào)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
（2）由表格數(shù)據(jù)，得，
，
，，
由公式，得，
，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
角度3：相關(guān)系數(shù)
典型例題
例題1．（2022·福建省福州格致中學(xué)高三期中）近年來(lái)，隨著社會(huì)對(duì)教育的重視，家庭的平均教育支出增長(zhǎng)較快，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某市2015-2021年的家庭教育支出（單位：萬(wàn)元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)2015-2021年）.經(jīng)計(jì)算得，.
(1)用一元線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并說(shuō)明與相關(guān)性的強(qiáng)弱；
(2)建立關(guān)于的回歸直線方程；
(3)若2023年該市某家庭總支出為10萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2023年該家庭的教育支出.
附：①相關(guān)系數(shù)；
②在回歸直線方程中，.
【答案】(1)，相關(guān)性很強(qiáng)；
(2)；
(3)萬(wàn)元.
【詳解】（1）由題意得，，
則，故，
故，
∵，
∴y與t高度相關(guān)，即y與t的相關(guān)性很強(qiáng)．
（2）根據(jù)題意，得，
，
∴y關(guān)于t的回歸直線方程為．
（3）2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時(shí)，，
故預(yù)測(cè)2023年該家庭的教育支出為（萬(wàn)元）．
例題2．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高三階段練習(xí)（理））應(yīng)對(duì)嚴(yán)重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，其關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，而后實(shí)現(xiàn)“碳中和”，2020年第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上，習(xí)近平總書記向世界鄭重承諾：力爭(zhēng)在2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，努力爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”.近年來(lái)，國(guó)家積極發(fā)展新能源汽車，某品牌的新能源汽車寶雞地區(qū)銷售在2022年5月至2022年9月這5個(gè)月的銷售量（單位：輛）的數(shù)據(jù)如下表：
(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷月份代碼與該品牌的新能源汽車寶雞地區(qū)銷售量（單位：輛）是否具有較高的線性相關(guān)程度?（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算時(shí)精確度為0.01.）
(2)求銷售量與月份代碼之間的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年11月份寶雞地區(qū)的銷售量（單位：輛）.（結(jié)果保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：，，，
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.
【答案】(1)具有較高的線性相關(guān)程度
(2)，87輛
【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得 ，
所以 ,又，，
所以.
所以月份代碼與銷售量（單位: 輛）具有較高的線性相關(guān)程度，可用線性回歸模型擬合銷售量與月份代碼之間的關(guān)系；
（2）由表中數(shù)據(jù)可得，
則，所以，
令，可得(輛)，
故可預(yù)測(cè)2022年10月該品牌的新能源汽車該區(qū)域的銷售量為輛.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)小組從氣象局和醫(yī)院分別獲得了年月至年月每月日的晝夜溫差（單位：℃，）和患感冒人數(shù)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的折線圖．
(1)求與之間的相關(guān)系數(shù)，并判斷與的相關(guān)性的強(qiáng)弱（時(shí)，認(rèn)為與高度相關(guān)，即認(rèn)為與的相關(guān)性很強(qiáng)）；
(2)建立關(guān)于的回歸直線方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到），并預(yù)測(cè)晝夜溫差為時(shí)患感冒的人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)．
在回歸直線方程，，．
【答案】(1)；與的相關(guān)性很強(qiáng)
(2)；晝夜溫差為時(shí)患感冒的人數(shù)約為
（1）由已知得，
，
∴．
∵，
∴與高度相關(guān)，即與的相關(guān)性很強(qiáng)．
（2）
由已知得，
，
，
∴關(guān)于的回歸直線方程為．
當(dāng)時(shí)，．
∴晝夜溫差為時(shí)患感冒的人數(shù)約為．
2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三開學(xué)考試（文））2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計(jì)3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：
(1)通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)（系數(shù)精確到0.01）加以說(shuō)明；
(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.1），并預(yù)測(cè)下一周的第一天（即第8天）的交易額.
參考數(shù)據(jù)：，，.參考公式：相關(guān)系數(shù).在回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)答案見解析
(2)，1.1億元
（1）
因?yàn)?，，，?br>所以.
因?yàn)榻灰最~y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說(shuō)明交易額y與t具有很強(qiáng)的正線性相關(guān)，
從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系.
（2）
因?yàn)?，，所以?br>，所以y關(guān)于t的回歸方程為，
將代入回歸方程得（千萬(wàn)元）億元，
所以預(yù)測(cè)下一周的第一天的交易額為1.1億元.
角度4：殘差分析
典型例題
例題1．（2022·山東淄博·高二期末）隨機(jī)選取變量和變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取的第對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)記為，其數(shù)值對(duì)應(yīng)如下表所示：
計(jì)算得：，，，，．
(1)求變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留位），判斷這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度；
(2)假設(shè)變量關(guān)于的一元線性回歸模型為.
（ⅰ）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值；
（ⅱ）設(shè)為時(shí)該回歸模型的殘差，求、、、、的方差．
參考公式：，，．
【答案】(1)答案見解析
(2)①答案見解析；②
(1)
解：，
所以，這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，且具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.
(2)
解：①，則，
所以，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，則，
所以，當(dāng)時(shí)，的預(yù)測(cè)值為；
②由，計(jì)算得該回歸模型的殘差如下表所示：
所以，殘差的方差為.
例題2．（2022·福建·莆田一中高二期末） 甲、乙兩名同學(xué)在對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù).
甲發(fā)現(xiàn)表中散點(diǎn)集中在曲線附近（其中，是參數(shù)，且）.他先設(shè)，將表中數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到新的成對(duì)數(shù)據(jù)，再用一元線性回歸模型擬合；乙根據(jù)數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為.
(1)列出新的數(shù)據(jù)表，并求；
(2)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們通常計(jì)算不同回歸模型的殘差平方和（殘差平方和用表示）來(lái)判斷擬合效果，越小，擬合效果越好.乙同學(xué)計(jì)算出其模型的殘差平方和為143.6，請(qǐng)你計(jì)算甲同學(xué)模型的殘差平方和，并比較擬合效果.
（參考公式：，.）
【答案】(1)數(shù)據(jù)表見解析，；
(2)20.24，擬合效果好.
(1)
新數(shù)據(jù)對(duì)如下表：
因此，
則，
，
所以.
(2)
由（1）得：，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)應(yīng)值表為：
因此，顯然
所以模型擬合效果好．
例題3．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（文））某高科技公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖．
表1
(1)求年銷售量關(guān)于年投資額的線性回歸方程；
(2)該公司科研團(tuán)隊(duì)通過(guò)進(jìn)一步分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)算得年銷售關(guān)于年投資額的非線性回歸方程，根據(jù)，及表2數(shù)據(jù)，請(qǐng)用殘差平方和比較（1）和（2）中回歸方程的擬合效果哪個(gè)更好？
表2
參考公式：，．
【答案】(1)
(2)第二種非線性回歸方程擬合效果更好
(1)
由題意，
，
，
所以線性回歸方程為．
(2)
按（1）可得
，
按（2）可得
，
顯然，第二種非線性回歸方程擬合效果更好．
同類題型歸類練
1．（2022·四川·蓬溪綠然學(xué)校二模（文））為弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，樹立學(xué)生“勞動(dòng)最美，勞動(dòng)最光榮”的觀念，某校持續(xù)開展“家庭勞動(dòng)大比拼”活動(dòng)某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)月份的人均月勞動(dòng)時(shí)間單位：小時(shí)，并建立了人均月勞動(dòng)時(shí)間關(guān)于月份的線性回歸方程，與的原始數(shù)據(jù)如表所示：
由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知．
(1)求，的值；
(2)求該班月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值之差．
參考公式：在線性回歸方程中，．
【答案】(1)，；
(2).
（1）
由表知，，，
所以，
所以，即，
因?yàn)榛貧w直線方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以，即，由，得，，
因?yàn)?，所以?br>由，得，．
（2）
由（1）知，線性回歸方程為，
所以當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值，
此時(shí)殘差為．
2．（2022·福建·福州三中高二期末）現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位:萬(wàn)元)如表所示:
根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為.
(1)求m的值，并利用已知的線性回歸方程求出八月份的殘差值
(2)通過(guò)殘差分析，懷疑殘差絕對(duì)值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤(rùn)應(yīng)該為116萬(wàn)元.請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程.
附1
附2
附3
【答案】(1)；；
(2)線性回歸方程模型為.
【解析】（1）
由已知數(shù)據(jù)可得：，
因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上，所以，
所以，
所以，
所以八月份的殘差值；
（2）
由已知可得，，，，，，，
又由(1)知
所以8月份的殘差絕對(duì)值最大，所以8月份的真正利潤(rùn)應(yīng)該為116萬(wàn)元，
此時(shí)，
又，
所以，
，
所以數(shù)據(jù)核實(shí)后的新的線性回歸方程為.
題型三：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
典型例題
例題1．（多選）（2022·浙江衢州·高三階段練習(xí)）當(dāng)下新能源汽車備受關(guān)注，某?！熬G源”社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和喜歡新能源汽車是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡新能源汽車和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（ ）
附：
A．68B．C．70D．71
【答案】CD
【詳解】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，則男生喜歡新能源汽車的人數(shù)，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的.則列出聯(lián)表如下：
所以，即，所以，
故選：CD
例題2．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））年四川持續(xù)出現(xiàn)高溫天氣，導(dǎo)致電力供應(yīng)緊張．某市電力局在保證居民生活用電的前提下，盡量合理利用資源，保障企業(yè)生產(chǎn)．為了解電力資源分配情況，在8月初，分別對(duì)該市區(qū)和區(qū)各10個(gè)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果用莖葉圖表示如圖．
(1)求區(qū)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值的中位數(shù)；
(2)當(dāng)供電量與需求量的比值小于時(shí)，生產(chǎn)要受到影響，統(tǒng)計(jì)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，填寫2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)受到影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān)？
附：
【答案】(1)0.86；
(2)2×2列聯(lián)表見解析，沒(méi)有95%的把握.
【詳解】（1）A區(qū)供電量與需求量的比值由小到大排列，第5個(gè)數(shù)，第6個(gè)數(shù)分別為，
所以所求中位數(shù)為；
（2）2×2列聯(lián)表：
沒(méi)有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)有影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān).
例題3．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））為了了解某植物植株得枯萎病是否與感染紅葉螨有關(guān)，隨機(jī)抽取了該植物植株100株，得到下面列聯(lián)表：
(1)隨機(jī)抽取該植物中的一株，根據(jù)上表，分別估計(jì)該株植物感染紅葉螨和得枯萎病的概率；
(2)能否有95%的把握認(rèn)為該植物植株得枯萎病與感染紅葉螨有關(guān)？
附：
【答案】(1)；；
(2)有95%的把握認(rèn)為該植物植株得枯萎病與感染紅葉螨有關(guān)
【詳解】（1）共100株，感染紅葉螨的有株，得枯萎病的有株，
所以隨機(jī)抽取該植物的一株，感染紅葉螨的概率估值為，得枯萎病的概率估值為；
（2），
因?yàn)椋?br>所以有95%的把握認(rèn)為該植物植株得枯萎病與感染紅葉螨有關(guān)
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，及觀測(cè)值則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)___________前提下，認(rèn)為選擇舞蹈與性別有關(guān)．
其中的參考數(shù)據(jù)：
【答案】0.025
【詳解】解：由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，
，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下，認(rèn)為選擇舞蹈與性別有關(guān)．
故答案為：0.025．
2．（2022·青?！ず|市教育研究室高二期末（文））“雙十一”發(fā)展至今,已經(jīng)從一個(gè)單純的網(wǎng)絡(luò)促銷活動(dòng)變成社會(huì)經(jīng)濟(jì)重大現(xiàn)象級(jí)事件.為了了解市民“雙十一”期間網(wǎng)購(gòu)情況,某統(tǒng)計(jì)小組從網(wǎng)購(gòu)的消費(fèi)者中,隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名消費(fèi)者,其中男女各半.若消費(fèi)者當(dāng)天消費(fèi)金額不低于1000元,則稱其為網(wǎng)購(gòu)達(dá)人.已知抽取的100名消費(fèi)者中,網(wǎng)購(gòu)達(dá)人中女性消費(fèi)者人數(shù)是男性消費(fèi)者人數(shù)的2倍,且女性消費(fèi)者中,網(wǎng)購(gòu)達(dá)人占.
(1)請(qǐng)完成答題卡上的列聯(lián)表；
(2)能否有99%的把握認(rèn)為是否為網(wǎng)購(gòu)達(dá)人與性別有關(guān)？
參考公式：,其中
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)表格見解析
(2)有99%的把握認(rèn)為是否為網(wǎng)購(gòu)達(dá)人與性別有關(guān)聯(lián).
【詳解】（1）解:由題意可得女性消費(fèi)者中,網(wǎng)購(gòu)達(dá)人有人,
非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人有人,
則男性消費(fèi)者中,網(wǎng)購(gòu)達(dá)人有人,
非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人有人,
故得列聯(lián)表如下：
（2）由(1)可得,
則有99%的把握認(rèn)為是否為網(wǎng)購(gòu)達(dá)人與性別有關(guān)聯(lián).
3．（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）為考察某種藥物對(duì)預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：
(1)若從總體中任取一個(gè)樣本，試估計(jì)該動(dòng)物未服用藥物且未患疾病的概率；
(2)能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)疾病有效?
附：
【答案】(1)
(2)沒(méi)有
【詳解】（1）由樣本估計(jì)總體，估計(jì)該動(dòng)物末服用藥物且末患疾病的概率為：；
（2）假設(shè)藥物A服用與患疾病無(wú)關(guān)，由
，
因?yàn)?，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為藥物A對(duì)疾病B有效；
綜上，該動(dòng)物末服用藥物且末患疾病的概率為： ，沒(méi)有的把握認(rèn)為藥物A對(duì)疾病B有效.
4．（2022·廣東佛山·高三期中）體育運(yùn)動(dòng)是強(qiáng)身健體的重要途徑，《中國(guó)兒童青少年體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案（2020-2030）》（下面簡(jiǎn)稱“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”）中明確提出青少年學(xué)生每天在校內(nèi)參與不少于60分鐘的中高強(qiáng)度身體活動(dòng)的要求.隨著“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”的發(fā)布，體育運(yùn)動(dòng)受到各地中小學(xué)的高度重視，眾多青少年的體質(zhì)健康得到很大的改善.某中學(xué)教師為了了解體育運(yùn)動(dòng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的影響情況，現(xiàn)從該中學(xué)高三年級(jí)的一次月考中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天的體育運(yùn)動(dòng)情況以及本次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，得到下表數(shù)據(jù)：
約定：平均每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于60分鐘的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，數(shù)學(xué)成績(jī)排在年級(jí)前以內(nèi)（含）的為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”.
(1)求該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)；
(2)請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(3)請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”是否與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”相關(guān)；
附：
【答案】(1)100；
(2)91.50；
(3)列聯(lián)表見解析；在犯錯(cuò)的概率不大于的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”相關(guān).
【詳解】（1）每組的頻率依次為，
∵，且，
高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)位于，且為的中點(diǎn)100，
該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)100；
（2）該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分，
估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分91.50.
（3）
零假設(shè)為：“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”無(wú)關(guān)，
∴零假設(shè)不成立，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可得：在犯錯(cuò)的概率不大于的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”相關(guān).
合計(jì)
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
氣溫
18
13
10
用電量(度)
24
34
38
64
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份編號(hào)
1
2
3
4
5
單價(jià)
19
21
26
29
35
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼
1
2
3
4
5
國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值/萬(wàn)億美元
11.2
12.3
13.9
14.3
14.7
1
2
3
4
5
2
2.5
3.7
4.3
6.5
購(gòu)車價(jià)格x（萬(wàn)元）
5
10
15
20
25
30
35
商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)y（元）
1737
2077
2417
2757
3097
3622
3962
氣溫x（℃）
18
13
10
－1
用電量y（度）
24
34
38
64
3
4
5
6
7
5.2
5.9
6.8
7.1
8
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))
1
2
3
4
5
加工的時(shí)間y(小時(shí))
1.5
2.4
3.2
3.9
4.5
x
3
4
5
6
7
y
2.7
3.5
4.1
4.7
5
6
0.45
1.5
210
76
17
第天
1
4
9
16
25
36
49
高度（cm）
0
4
7
9
11
12
13
1
4
9
16
25
36
49
1
2
3
4
5
6
7
0
4
7
9
11
12
13
1
2
3
4
旅游類別
城市展館科技游
鄉(xiāng)村特色游
紅色景點(diǎn)游
登山套票
游園套票
觀海套票
套票價(jià)格（元）
39
49
58
67
77
86
購(gòu)買數(shù)量（萬(wàn)人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
0.33
10
3
0.164
100
68
350
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份序號(hào)x
1
2
3
4
5
營(yíng)業(yè)收入y（億元）
0.52
0.36
33.6
132
352
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份序號(hào)x
6
7
8
9
10
營(yíng)業(yè)收入y（億元）
571
912
1207
1682
2135
t
1
4
9
16
25
y
0.52
9.36
33.6
132
352
t
36
49
64
81
100
y
571
912
1207
1682
2135
年份
2017
20l8
20l9
2020
2021
年份代號(hào)
1
2
3
4
5
年環(huán)保投資額（萬(wàn)元）
12
20
35
48
55
月份
2022年5月
2022年6月
2022年7月
2022年8月
2022年9月
月份代碼：
1
2
3
4
5
銷售量：
45
56
64
68
72
第t天
1
2
3
4
5
6
7
交易額y/千萬(wàn)元
編號(hào)
4
6
8
10
12
4
12
24
50
72
4
6
8
10
12
1
2
3
5
6
4
12
24
50
72
3.2
12.6
27.2
47
72
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
2
3
4
5
的近似值
3.2
5.8
10.5
18.9
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
1.1
2.3
3.5
4.7
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
0.54
0.96
1.74
3.15
5.67
月份
人均月勞動(dòng)時(shí)間
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本x
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
利潤(rùn)y
114
116
106
122
132
114
m
132
殘差
0.2
0.6
1.8
-3
-1
-4.6
-1
類別
喜歡新能源汽車
不喜歡新能源汽車
小計(jì)
男生
女生
小計(jì)
.
.
.
不受影響
受影響
合計(jì)
A區(qū)
B區(qū)
合計(jì)
不受影響
受影響
合計(jì)
區(qū)
7
3
10
區(qū)
4
6
10
合計(jì)
11
9
20
得枯萎病
無(wú)枯萎病
感染紅葉螨
32
16
未感染紅葉螨
24
28
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
籃球
舞蹈
合計(jì)
男
13
7
20
女
2
8
10
合計(jì)
15
15
30
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性別
網(wǎng)購(gòu)達(dá)人
非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人
合計(jì)
男性
15
35
50
女性
30
20
50
合計(jì)
45
55
100
藥物
疾病
合計(jì)
未患病
患病
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合計(jì)
75
25
100
數(shù)學(xué)成績(jī)（分）
人數(shù)（人）
25
125
350
300
150
50
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的人數(shù)（人）
10
45
145
200
107
43
數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)
數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)
合計(jì)
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)
運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)
合計(jì)
數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)
數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)
合計(jì)
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)
350
200
550
運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)
150
300
450
合計(jì)
500
500
1000

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