分層練習
基礎題
題型一 多項式除以單項式
1．（2023秋·20x4+15x3?25x2÷5x2 ．
【答案】4x2+3x?5
【分析】根據(jù)多項式與單項式的除法法則計算即可．
【詳解】20x4+15x3?25x2÷5x2
=20x4÷5x2+15x3÷5x2?25x2÷5x2
=4x2+3x?5．
故答案為：4x2+3x?5．
【點睛】本題考查了多項式與單項式的除法，多項式除以單項式用多形式的每一項分別與單項式相除即可．
2．（上海浦東新·七年級?？计谀┯嬎悖?2ax3?27ax÷?3ax= ．
【答案】?4x2+9/9?4x2
【分析】用多項式的每一項除以單項式即可求解．
【詳解】12ax3?27ax÷?3ax
=12ax3÷?3ax?27ax÷?3ax
=?4x2+9
【點睛】本題考查多項式除以單項式，解題的關鍵是掌握多項式除以單項式的運算法則．
3．（上海青浦·七年級?？计谀┯嬎悖?3a6x3?6ax5)÷(?3ax3)= ；
【答案】-a5+2x2
【分析】用多項式的每一項都除以單項式，并將結果相加，即可得出答案.
【詳解】(3a6x3?6ax5)÷(?3ax3)
=3a6x3÷?3ax3?6ax5÷?3ax3
=-a5+2x2
故答案為：-a5+2x2
【點睛】本題考查整式的除法運算，熟練掌握多項式除以單項式的法則是解題關鍵.
4．（上海·七年級校聯(lián)考期末）計算9x3?3x2÷?3x2= ．
【答案】?3x+1/1?3x
【分析】利用多項式除以單項式的法則，先用多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相減計算即可．
【詳解】解：9x3?3x2÷?3x2
=9x3÷?3x2?3x2÷?3x2
=?3x+1．
故答案為：?3x+1．
【點睛】本題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解決本題的關鍵．
5．（上海寶山·七年級?？计谥校┯嬎悖?18x3y2+12x2y3?6x2y2÷?34x2y2=
【答案】24x?16y+8
【分析】根據(jù)多項式除以單項式的運算法則計算即可．
【詳解】?18x3y2+12x2y3?6x2y2÷?34x2y2
=?18x3y2÷?34x2y2+12x2y3÷?34x2y2+?6x2y2÷?34x2y2
=?18x3y2?34x2y2+12x2y3?34x2y2+?6x2y2?34x2y2
=24x?16y+8，
故答案為：24x?16y+8．
【點睛】本題主要考查了多項式除以單項式的知識，掌握多項式除以單項式的運算法則是解答本題的關鍵．
6．（上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）一個多項式M與xy的積為﹣2x3y4z+xy，則M= ．
【答案】?2x2y3z+1
【分析】利用多項式除以單項式法則進行計算便可．
【詳解】解：由題意得M·xy=?2x3y4z+xy，
∴M=(?2x3y4z+xy）÷xy=?2x2y3z+1，
故答案為：?2x2y3z+1．
【點睛】本題主要考查了整式的除法，關鍵是熟記多項式除以單項式法則．
7.（上海靜安·七年級新中初級中學校考期末）(6a3b2?14a2b2+8a2b)÷(?2a2b)= ．
【答案】?3ab+7b?4
【分析】根據(jù)整式乘除運算中，多項式除以單項式的運算法則：多項式除以單項式等于多項式中的每一項分別除以單項式，即可求出結果．
【詳解】解：原式=6a3b2÷(?2a2b)?14a2b2÷(?2a2b)+8a2b÷(?2a2b)
=?3ab+7b?4
故答案為：?3ab+7b?4．
【點睛】此題主要考查的是整式的除法，正確掌握相關運算是解題的關鍵．
8．（上海青浦·七年級校考期末）計算：4x4?x3+23x2÷?2x2．
【答案】?2x2+12x?13
【分析】根據(jù)多項式除以單項式法則進行運算，即可求解．
【詳解】解：4x4?x3+23x2÷?2x2
=?2x2+12x?13
【點睛】本題考查了多項式除以單項式法則，熟練掌握和運用多項式除以單項式法則是解決本題的關鍵．
9.．（上?！て吣昙壭？计谥校τ谌魏螌崝?shù)，我們規(guī)定符號abcd=ad2?c÷b3，例如：1234=1×42?3÷23=1558．
(1)按照這個規(guī)定請你計算?2431.2的值；
(2)按規(guī)定請寫出a3+6a2a16a8?8a6?2a的結果；
(3)當a取?2的相反數(shù)時，請計算a3+6a2a16a8?8a6?2a的值．
【答案】(1)?214831600
(2)2a5+25a3
(3)264
【分析】（1）根據(jù)新定義的運算法則計算即可；
（2）根據(jù)新定義的運算法則及整式的混合運算法則計算即可；
（3）將a=2代入（2）中結論即可求解．
【詳解】（1）解：?2431.2 =?2×1.22?3÷43=?214831600；
（2）解：a3+6a2a16a8?8a6?2a=a3+6a?2a2?16a8?8a62a3
=4a5+24a3?2a5?a3
=4a5+24a3?2a5+a3
=2a5+25a3；
（3）解：?2的相反數(shù)是2，
當a=2時，
a3+6a2a16a8?8a6?2a =2a5+25a3=2×25+25×23=264．
【點睛】本題考查新定義運算，整式的混合運算，含乘方的有理數(shù)的混合運算，掌握新定義的運算法則并正確計算是解題的關鍵．
10．（上海寶山·七年級校聯(lián)考期末）計算：4x?12y2+yx?14y÷4x
【答案】4x?34y
【分析】先計算完全平方公式、單項式乘以多項式，再計算括號內的整式加減，然后計算多項式除以單項式即可得．
【詳解】解：原式=16x2?4xy+14y2+xy?14y2÷4x
=16x2?3xy÷4x
=4x?34y．
【點睛】本題考查了完全平方公式、單項式乘以多項式、多項式除以單項式等知識點，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵．
11．（上?！て吣昙壭？计谥校┫然?，再求值：ab+1ab?2?2a2b2+2÷?12ab，其中， a=32,b=?43．
【答案】2ab+2，?2
【分析】先根據(jù)整式的乘除運算法則進行化簡，再代入a,b即可求解．
【詳解】解：原式＝a2b2?2ab+ab?2?2a2b2+2÷?12ab
＝?a2b2?ab×?2ab
＝2ab+2，
當a=32，b=?43時，
原式＝2×32×?43+2
=?4+2
=?2．
【點睛】此題主要考是查整式的化簡求值，解題的關鍵熟知整式的乘除運算法則．
題型二 整式四則混合運算
1．（上海奉賢·七年級統(tǒng)考期中）計算：(2a+b)(a?2b)?(2a?b)2.
【答案】?2a2+ab?3b2
【分析】先利用多項式乘多項式原則和完全平方公式計算，去括號后再合并同類項即可得到答案．
【詳解】解：原式=2a2?3ab?2b2?(4a2?4ab+b2)
=2a2?3ab?2b2?4a2+4ab?b2
=?2a2+ab?3b2．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握多項式乘多項式原則和完全平方公式是解題的關鍵．
2．（上海·七年級上海市西延安中學?？计谥校┯嬎悖?br>(1)2a2b?(?3ab2)+(2ab)3；
(2)2a+b?52a?b+5﹒
【答案】(1)2a3b3
(2)4a2?b2+10b?25
【分析】（1）根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的乘法計算，再合并；
（2）根據(jù)平方差公式展開，再化簡．
【詳解】（1）解：2a2b?(?3ab2)+(2ab)3
=?6a3b3+8a3b3
=2a3b3；
（2）2a+b?52a?b+5
=2a+b?52a?b?5
=2a2?b?52
=4a2?b2+25?10b
=4a2?b2+10b?25
【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵，注意平方差公式的應用．
3．（上海靜安·七年級新中初級中學?？计谀┯嬎悖?br>(1)(a2)3?(a2)4÷(a2)5；
(2)(3a+14b2)(14b2?3a)．
【答案】(1)a4
(2)116b4－9a2
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法求解即可；
（2）根據(jù)平方差公式求解即可；
【詳解】（1）解：原式=a6?a8÷a10
=a4
（2）解：原式=(14b2+3a)(14b2?3a)
=14b22?3a2
=116b4?9a2
【點睛】本題主要考查整式的混合運算，掌握運算的相關法則是解題的關鍵．
4．（上海虹口·七年級?？计谥校┯嬎悖?a2b2·?2ab4??ab23
【答案】-5a3b6
【分析】根據(jù)整式的混合運算法則，先計算乘方、乘法，再計算減法．
【詳解】解：3a2b2?（-2ab4）-（-ab2）3
=-6a3b6-（-a3b6）
=-6a3b6+a3b6
=-5a3b6．
【點睛】本題主要考查整式的混合運算、冪的乘方與積的乘方、單項式乘單項式，熟練掌握整式的混合運算法則、冪的乘方與積的乘方、單項式乘單項式是解決本題的關鍵．
5．（上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：2x?3yx+2y+2x+2yx?2y?2x?3y2，其中x=2，y=1．
【答案】3
【分析】根據(jù)完全平方公式、多項式與多項式的乘法法則化簡，然后把x=2，y=1代入計算即可.
【詳解】原式=x+2y2x?3y+2x?4y?4x2?12xy+9y2
=4x2+xy?14y2?4x2?12xy+9y2
=13xy?23y2
當x=2，y=1 時
原式=13×2×1?23=3
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，涉及到的知識有：完全平方公式，合并同類項，多項式的乘法等知識.在求代數(shù)式的值時，一般先化簡，再把各字母的取值代入求值
6．（上海楊浦·七年級統(tǒng)考期中）計算：6ab2a?0.5b?ab?a+b．
【答案】13a2b?4ab2
【分析】先分別把括號外的單項式乘以括號內各項，然后去括號，合并同類項即可．
【詳解】解：原式=12a2b?3ab2??a2b+ab2
=12a2b?3ab2+a2b?ab2
=12a2b+a2b?3ab2?ab2
=13a2b?4ab2
【點睛】本題考查整式的混合運算，關鍵在于去括號法則的理解和掌握，特別是去第二個“負括號”時，沒有把第一項符號改變而出錯．
7．（上海閔行·七年級校聯(lián)考期中）計算：?34a2b?35ab2(?13ab)2+112a4b3．
【答案】?115a3b4
【分析】先算乘方，再根據(jù)多項式乘單項式法則算乘法，最后合并同類項即可．
【詳解】解：原式=(?34a2b?35ab2)(19a2b2)+112a4b3
=?112a4b3?115a3b4+112a4b3
=?115a3b4．
【點睛】本題考查了整式的混合運算的應用，注意：運算順序（有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的）．
8．（上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有7張如圖1的小長方形紙片，它們的長為a，寬為ba>b．將它們按如圖2、3、4的方式不重疊地擺放，構造出一個長方形ABCD，未被小長方形紙片覆蓋的兩塊陰影部分的面積分別記作S1和S2．
(1)如圖2，如果AB=BC，那么S2=_______ （用含a、b的代數(shù)式表示）；
(2)如圖3，S2?S1=_______（用含a、b的代數(shù)式表示）
(3)如圖4，設S=S2?S1，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？
【答案】(1)a2?ab
(2)a2?12b2
(3)a=3b
【分析】（1）由AB=a+3b，AB=BC，得到BC=AB=a+3b，右下角陰影部分的寬為BC?4b=a+3b?4b=a?b，右下角陰影部分的長為a，即可得到答案；
（2）左上角陰影部分的長為4b，寬為3b，則S1=4b×3b=12b2，右下角陰影部分是邊長為a的正方形，則S2=a2，即可得到答案；
（3）左上角陰影部分的長為AE，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為a，由AD=BC，得到AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，則AE+a=4b+PC，即AE?PC=4b?a，表示出S=S2?S1，即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵AB=a+3b，AB=BC，
∴BC=AB=a+3b，
∴右下角陰影部分的寬為BC?4b=a+3b?4b=a?b，
∵右下角陰影部分的長為a，
∴S2=aa?b=a2?ab，
故答案為：a2?ab
（2）解：∵左上角陰影部分的長為4b，寬為3b，則S1=4b×3b=12b2，
右下角陰影部分是邊長為a的正方形，則S2=a2，
∴S2?S1=a2?12b2，
故答案為：a2?12b2
（3）如圖4，
左上角陰影部分的長為AE，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即AE?PC=4b?a，
∴S=S2?S1
=PC·CG?AE·AF
=aPC?3bAE
=aPC?3b(PC+4b?a)
=(a?3b)PC?12b2+3ab，
則當a?3b=0，即a=3b時，S始終保持不變．
【點睛】此題考查了整式的混合運算的應用，弄清題意，數(shù)形結合是解本題的關鍵．
9．（上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）有7張如圖1規(guī)格相同的小長方形紙片，長為a，寬為b（a>b），按如圖2、3的方式不重疊無縫隙地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．
(1)如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，那么矩形ABCD的面積為 ．（用含a、b的代數(shù)式表示）
(2)如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC=x．
①用a、b、x的代數(shù)式直接表示AE
②當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？
【答案】(1)a2+7ab+12b2或a+4ba+3b；
(2)①AE=x?a+4b；②a?3b=0
【分析】（1）根據(jù)AD=a+4b，AB=a+3b，即可求解；
（2）①根據(jù)AE=CP+BP?DE即可求解；②先求出S=ax?3bx?a+4b=a?3bx+3ab?12b2，進而即可得到結論．
【詳解】（1）解：由題意得：AD=a+4b，AB=a+3b,
矩形ABCD的面積=(a+4b)(a+3b)=a2+7ab+12b2，
故答案為：a2+7ab+12b2或a+4ba+3b；
（2）解：①AE=CP+BP?DE=x?a+4b；
②∵右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，
∴S=ax?3bx?a+4b=a?3bx+3ab?12b2,
∵當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，
∴當x的值變化時，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，
∴a?3b=0．
【點睛】本題主要考查整式的混合運算的應用，根據(jù)題意列出整式，熟練掌握整式的混合運算法則是關鍵．

題型三 整式的混合運算
1．（上海嘉定·七年級上海市育才中學?？计谀┯嬎悖?x3?2x÷(?2x)?(1+2x)(1?2x)．
【答案】2x2
【分析】先算除法和乘法，再去括號合并同類項即可．
【詳解】解：4x3?2x÷(?2x)?(1+2x)(1?2x)
=4x3÷(?2x)?2x÷(?2x)?(1?4x2)
=?2x2+1?1+4x2
=2x2
【點睛】本題考查了整式的四則混合運算，熟練掌握運算順序是解答本題的關鍵．四則混合運算的順序是先算乘除，再算加減；同級運算，按從左到右的順序計算．
2．（上海寶山·七年級校考期末）計算：?2+x2+x+2+3x2÷2x
【答案】5x+6
【分析】先用乘法公式對括號內的式子化簡，再利用多項式除以單項式的運算法則計算即可.
【詳解】?2+x2+x+2+3x2÷2x
=(x2?4+4+12x+9x2)÷2x
=(10x2+12x)÷2x
=5x+6
【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握乘法公式及整式的運算法則是解本題的關鍵．
3．（上海嘉定·七年級?？计谥校┯嬎悖篴+2b?ca?2b?c
【答案】a2?2ac+c2?4b2
【分析】對兩個括號內適當變形，然后利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得出答案．
【詳解】原式=a?c+2ba?c?2b
=a?c+2ba?c?2b
=a?c2?4b2
=a2?2ac+c2?4b2．
【點睛】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式并會應用是解決此題的關鍵．在本題中還需注意用整體法將a?c看成一個整體．
4．（上海嘉定·七年級?？计谥校┯嬎悖?.25a3b22?4a2b3?3?a2b5?a2b2
【答案】7a12b7
【分析】先計算乘方，再計算乘法，最后合并同類項即可．
【詳解】解：原式=116a6b4?64a6b3+3a10b5?a2b2
=4a12b7+3a12b7
=7a12b7．
【點睛】本題考查整混合運算，熟練掌握整式運算法則，以及積的乘方和冪的乘方法則是解題的關鍵．
5．（上海靜安·七年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校?？计谥校┮阎獂?3y=5，求x?5yx?y+2y+72y?7的值．
【答案】?24
【分析】因已知條件給出得是不定方程，所以用 “整體代入法”即可，也可以把已知條件中一個未知量用另一個來表示，使用消元法．
【詳解】解：方法一：
化簡x?5yx?y+2y+72y?7
=x2?xy?5xy+5y2+2y2?72
=x2?6xy+5y2+4y2?49
=x2?6xy+9y2?49
=x?3y2?49
將x?3y=5代入上式：
x?3y2?49
=52?49
=?24
方法二：
由x?3y=5變形得：x=5+3y
將x=5+3y代入x?5yx?y+2y+72y?7
=5+3y?5y5+3y?y+2y+72y?7
=5?2y5+2y+2y+72y?7
=52?2y2+2y2?49
=52?49
=?24
故答案為：?24．
【點睛】本題綜合考查了整式乘法運算及代數(shù)式求值，已知條件為二元不定方程給代入求值設置了障礙，所以解題關鍵是要用“整體代入法”或“消元法”．
6．（上海松江·七年級校考期中）化簡并求值：2x+y2?y?x2?x+yy?x，當x=2，y=?3．
【答案】2x2+6xy，?28
【分析】首先根據(jù)整式的混合運算法則化簡，然后代入求解即可．
【詳解】2x+y2?y?x2?x+yy?x
=2x2+4xy+2y2?y2+2xy?x2+x2?y2
=2x2+6xy
∵x=2，y=?3
∴原式=2×22+6×2×?3=8?36=?28．
【點睛】此題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握整式的混合運算法則．
7．（上海青浦·七年級?？计谥校┫然喸偾笾担?2a+3b)2?22a+3ba?b+(a?b)2，其中a=?2,b=?1．
【答案】化簡結果為：a2+8ab+16b2，求值：36
【分析】先按照整式乘法的運算法則展開，然后合并，化到最簡之后代入求值即可．
【詳解】解：(2a+3b)2?22a+3ba?b+(a?b)2
=4a2+12ab+9b2?2(2a2?2ab+3ab?3b2)+(a2?2ab+b2)
=4a2+12ab+9b2?4a2+4ab?6ab+6b2+a2?2ab+b2
=a2+8ab+16b2
將a=?2，b=?1代入，得：
原式=(?2)2+8×(?2)×(?1)+16×(?1)2=36．
【點睛】本題考查整式乘法的運算法則．其中用到了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a?b)2=a2?2ab+b2，化簡過程中，可直接用乘法公式進行化簡．
8．（上海閔行·七年級校聯(lián)考期中）計算：5m+45m?4?(4?3m)2．
【答案】16m2+24m?32
【分析】用平方差公式和完全平方公式展開，再去括號合并同類項．
【詳解】解：原式=5m2?42?42?24m+9m2
=25m2?16?16+24m?9m2
=16m2+24m?32．
【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．
9．（上海黃浦·七年級統(tǒng)考期中）計算：(?3a2b)3?(?2a3b)2?(?3b)
【答案】15a6b3
【分析】先根據(jù)積的乘方運算公式進行化簡，然后再根據(jù)整式混合運算法則進行計算即可．
【詳解】解： 原式=?27a6b3?4a6b2?(?3b)
=?27a6b3+12a6b3
=?15a6b3
【點睛】本題主要考查了整式混合運算，解題的關鍵是熟練掌握積的乘方運算法則和整式混合運算法則．
10．（上海奉賢·七年級統(tǒng)考期中）計算：(12x2?3xy+34y2)(?2x)2．
【答案】2x4?12x3y+3x2y2
【分析】先計算積的乘方，再利用單項式乘多項式原則進行計算即可求出答案．
【詳解】解：原式=(12x2?3xy+34y2)?4x2
=12x2?4x2?3xy?4x2+34y2?4x2
=2x4?12x3y+3x2y2．
【點睛】本題考查單項式乘多項式以及積的乘方運算，掌握單項式乘多項式以及積的乘方運算對應法則是解題的關鍵．
11．（2018秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列式子：
(x+1)(x2?x+1)=x3+1;
(x+2)(x2?2x+4)=x3+8;
(2m+n)(4m2?2mn+n2)=8m3+n3;
……
（1）上面的整式乘法計算結果比較簡潔，類比學習過的平方差公式，完全平方公式的推導過程，請你寫出一個新的乘法公式（用含a、b的字母表示），并加以證明；
（2）直接用你發(fā)現(xiàn)的公式寫出計算結果：（2a+3b）（4a2﹣6ab+9b2）= ；
（3）分解因式：m3 + n 3 + 3mn（m + n）.
【答案】（1）詳見解析；（2）8a3+27b3；（3）（m+n）3
【分析】（1）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可，利用多項式乘以多項式法則計算即可證明；
（2）直接套用公式即可；
（3）利用（1）總結的公式，將m3+n3變式成：(m+n)(m2?mn+n2)，再利用提公因式法和公式法即可解答.
【詳解】（1）(a+b)(a2?ab+b2)=a3+b3
證明：左邊=a3-a2b+ab2+ba2?ab2+b3
=a3+b3=右邊
∴結論成立
（2）8a3+27b3
（3）原式=（m+n）(m2?mn+n2)+3mn(m+n)
=（m+n）(m2?mn+n2+3mn)
=（m+n）(m2+n2+2mn)
=（m+n）(m+n)2
=（m+n）3
【點睛】本題考查了多項式乘多項式以及因式分解，屬于綜合題，難點在于（3），總結規(guī)律，利用規(guī)律進行解答是解題關鍵.
提升題
1．已知正整數(shù)a，b，c，d滿足：a?b?c?d，a?b?c?d?2022，d2?c2+b2?a2=2022，則這樣的4元數(shù)組(a，b，c，d)共有（ ）
A．251組B．252組C．502組D．504組
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出a+3≤b+2≤c+1≤d，繼而得出2022=d2?c2+b2?a2=(d?c)(d+c)+(b?a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022，再由已知條件構造1010=a+c≥a+(a+2)，即可解答．
【詳解】因為a，b，c，d為正整數(shù)，且a

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