一、單選題
1．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.
【詳解】，直線的傾斜角為.
故選：C.
2．已知，，且，則x的值為（ ）
A．B．C．6D．－6
【答案】D
【分析】空間中兩向量平行，其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，故可求之.
【詳解】因?yàn)?，所以，解?
故選：D.
3．如圖，在平行六面體中，若，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得到，然后求即可.
【詳解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故選：A.
4．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.
【詳解】設(shè)圓心，則，
化簡(jiǎn)得，
所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.
5．2023年7月20日中國(guó)太空探索又邁出重要一步，神州十六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮成功完成出艙任務(wù)，為國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的全面建成貢獻(xiàn)了力量．假設(shè)神州十六號(hào)的飛行軌道可以看作以地球球心為左焦點(diǎn)的橢圓（如圖中虛線所示），我們把飛行軌道的長(zhǎng)軸端點(diǎn)中與地面上的點(diǎn)的最近距離叫近地距離，最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離．設(shè)地球半徑為，若神州十六號(hào)飛行軌道的近地距離為，遠(yuǎn)地距離為，則神州十六號(hào)的飛行軌道的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，，解得，，得到離心率.
【詳解】根據(jù)題意：，，解得，，
故離心率.
故選：D
6．如圖在長(zhǎng)方體中，，E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，P是底面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線平面平行，則線段的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，建立方程，表達(dá)出，求出最小值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，
設(shè)，平面的法向量為，
則，
令得，故，
由，則，
考慮平面內(nèi)，由兩點(diǎn)間距離公式得
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：C
7．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法求得m的值，進(jìn)而可求得橢圓的焦距.
【詳解】如圖所示，
依題意，直線的斜率為，設(shè)，
則，且 ，
由 兩式相減得：，
于是，解得，
此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的焦距為.
故選：B.
8．點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點(diǎn)到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】如圖，曲線為圓的上半圓，圓心，半徑為2，，
表示點(diǎn)到直線距離的5倍，
點(diǎn)到直線的距離，即直線與圓相離，
點(diǎn)到直線的距離，
最小值為，最大值為，
則的取值范圍為.
故選：B
二、多選題
9．已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則直線的傾斜角為
B．直線的橫截距為
C．若，則與直線的交點(diǎn)為
D．若，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
【答案】BD
【分析】對(duì)A，由斜率和傾斜角關(guān)系可判斷；對(duì)B，由截距的概念可判斷；對(duì)C，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)D，由對(duì)稱性列式運(yùn)算可得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，即，又，所以直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，令，得，所以直線的橫截距是1，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
且線段的中點(diǎn)在直線上，
有，解得，
所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故D正確.
故選：BD.
10．關(guān)于橢圓 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B．短軸長(zhǎng)為1
C．焦距為 D．離心率為
【答案】ACD
【分析】結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)依次判斷即可.
【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，，.
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 ，故 A正確；
短軸長(zhǎng)為，故B 錯(cuò)誤；
焦距為，故C正確；
，故 D正確.
故選：ACD.
11．已知實(shí)數(shù)x和y滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最大值為
【答案】AD
【分析】理解選項(xiàng)中關(guān)系式的幾何意義，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可以對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.
【詳解】設(shè)，變形為，此式表示圓上一點(diǎn) 與點(diǎn) 連線的斜率，
由 ，可得，此直線與圓有公共點(diǎn)，則 ，
解得，故 的最大值為，最小值為.故A正確，B錯(cuò)誤，
令并將其變形為，
問題可轉(zhuǎn)化為斜率為的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時(shí)在軸上的截距的最值.
當(dāng)直線和圓相切時(shí)在軸上的截距取得最大值和最小值，
所以，解得 ，
所以的最大值為，最小值為. 故C錯(cuò)誤；
表示圓 上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
原點(diǎn)到圓心的距離，
故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為 ，故D正確，
故選：AD.
12．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形是圓柱的軸截面，點(diǎn)P為圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A， D不重合） ，則（ ）
A．存在值，使得
B．三棱錐體積的最大值為
C．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為
D．直線與平面所成最大角的正弦值為
【答案】BCD
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)棱錐的體積計(jì)算公式判斷選項(xiàng)B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式判斷選項(xiàng)C；利用立體幾何、平面幾何知識(shí)將線面角的正弦表達(dá)式求出來并通過進(jìn)一步計(jì)算即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，
若，，平面，
則平面，
又平面，
所以，不成立，故A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，在三棱錐中，半圓面，
所以，
三棱錐即三棱錐是為高，為底面的三棱錐，
當(dāng)點(diǎn)是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的底面積S△PAD取得最大值，
三棱錐的體積取得最大值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則為的中點(diǎn)，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，
以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，可得，
則，
故異面直線與所成角的余弦值為，所以C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，
取的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)，連接，
由題意知，平面，平面，，
又因?yàn)?，，平面?br>可得平面，
所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，
設(shè)，則，
在Rt中，，
又平面，平面，
所以，
又面，
所以面，
又面，
所以，
所以，
故，
令，則，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，則，
所以直線與平面所成最大角的正弦值為.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的綜合性比較強(qiáng)，關(guān)鍵在于充分利用立體幾何常規(guī)方法、向量方法以及一些平面幾何知識(shí)相結(jié)合，且有一定的計(jì)算要求.
三、填空題
13．已知圓和圓，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用兩圓的方程相減，即可求得兩圓公共弦所在的直線方程.
【詳解】由圓和圓，
兩圓的方程相減，可得，
即圓與圓的公共弦所在的直線方程為.
故答案為：.
14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是 ．
【答案】，
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算求解作答.
【詳解】空間向量，，則向量在向量上的投影向量是，
所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.
故答案為：
15．已知直線，圓，圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則b的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得圓心到直線的距離小于1，再利用點(diǎn)到直線距離即可求出b的取值范圍．
【詳解】圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離小于1，
則，即，
所以b的取值范圍為．
故答案為：．
16．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
故答案為：13.

四、解答題
17．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M、N分別為、AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明直線與平面平行；
（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）
證明：如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則,,,，,,．
所以,
因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面.
(2)，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
令， 則， 所以,
平面與平面夾角為，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可；
（2）由的面積為可得，再根據(jù)余弦定理即可得，進(jìn)而求得周長(zhǎng).
【詳解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.
（2）由題意，解得.
由余弦定理，可得.
故的周長(zhǎng)為
19．某校對(duì)2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：

請(qǐng)完成以下問題：
(1)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均數(shù)；
(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)诤偷膬山M中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.
【答案】(1)93分
(2)
【分析】(1）先利用頻率之和為1，計(jì)算出，進(jìn)而求出平均值即可；(2）利用分層抽樣取樣方法，算出需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為，需在內(nèi)抽3人，分別記為.，寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù)，即可求出相應(yīng)概率．
【詳解】（1）由，
得.
數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?
頻率，
頻率，
頻率，
頻率，
頻率，
頻率，
樣本平均值為：
可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)均值為93分，
據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)估計(jì)93分．
（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人），
分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人）.
用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，
則需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為，
需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人，分別記為.
設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)”為事件 A，
則樣本空間共包含10個(gè)樣本點(diǎn)而 A 的對(duì)立事件包含3個(gè)樣本點(diǎn)，
所以．
即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在內(nèi)的概率為
20．已知直線l：和以點(diǎn)C為圓心的圓.
(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)；
(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求的值以及最短弦長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析
(2)，最短弦長(zhǎng)為
【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯(lián)立即可求得直線恒過的定點(diǎn)；
（2）要使直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則，化圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，得到，再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系列式求解值及弦長(zhǎng).
【詳解】（1）由直線l：，得，
聯(lián)立，解得，所以直線l恒過一定點(diǎn)；
（2）要使直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則，
圓C：，可得，半徑為，則，
所以，解得，又，
此時(shí)最短弦長(zhǎng)為.
21．如圖，四面體中，，，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：⊥平面；
(2)設(shè)，，，點(diǎn)F在上，若與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)F到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)F的位置設(shè)出的坐標(biāo)，然后根據(jù)線面夾角的向量公式條件求出F的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)到面的距離的向量公式求出答案.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以，
在和中，，所以，
所以，又E為AC的中點(diǎn)，所以，
又平面BDE，，
所以⊥平面.
（2）由（1）可知⊥平面，且，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ，
所以，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則
，
取，則所以，
又，，
設(shè)，，所以，
設(shè)與平面所成的角為θ，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
由點(diǎn)到平面的距離公式得
22．已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于，兩點(diǎn)，若直線、的斜率分別為、，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1) ;(2)為定值.
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)離心率、直線與圓相切建立關(guān)于的方程組，過得，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，得到關(guān)于的方程，再利用韋達(dá)定理得到之間的關(guān)系，從而得到的關(guān)系．
試題解析：（1）由題意得解得故橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，直線的方程為，由
得．
∴，，
由，，三點(diǎn)共線可知，，所以；
同理可得
所以．
因?yàn)椋?br>所以．
【解析】1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2、橢圓的幾何性質(zhì)；3、直線的斜率．
【方法點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，再應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦長(zhǎng)問題利用弦長(zhǎng)公式＝或＝解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．

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