2022-2023學年海南省文昌中學高二上學期第一次月考數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.【詳解】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故選：B.2．已知則的值分別為A． B．5，2 C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，所以，即，解得，故選A．3．如圖在四面體中，，分別在棱，上且滿足，，點是線段的中點，用向量，，表示向量應(yīng)為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意有，，又點是線段的中點，結(jié)合向量的線性運算及共線向量的運算即可得解.【詳解】解：∵在四面體中，分別在棱、上，且滿足，，點是線段的中點，∴.故選：A.【點睛】本題考查了向量的線性運算，重點考查了利用空間基底表示向量，屬基礎(chǔ)題.4．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】求出點A關(guān)于直線的對稱點，再求解該對稱點與B點的距離，即為所求.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因為點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為故可得，解得，即故“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：C.【點睛】本題考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標的求解，以及兩點之間的距離公式，屬基礎(chǔ)題.5．經(jīng)過兩直線與的交點，且平行于直線的直線方程是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求兩直線的交點坐標，再設(shè)直線方程為，將交點坐標代入方程，即可求出參數(shù)的值，即可得解；【詳解】解：由，解得，所以直線與的交點為，設(shè)與直線平行的直線為，所以解得，所以直線方程為；故選：D6．1765年，數(shù)學家歐拉在其著作《三角形幾何學》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說的“歐拉線”．已知的頂點，則的歐拉線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得的外心、重心、垂心都位于線段的垂直平分線上，求出線段的垂直平分線，即可求出的歐拉線方程．【詳解】解：因為，所以，，即，所以為等腰三角形，所以的外心、重心、垂心都位于線段的垂直平分線上，因為的中點的坐標為，線段所在直線的斜率，線段垂直平分線的方程為，即，的歐拉線方程為．故選：A．7．設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上，，當為銳角時，的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立空間直角坐標系，為銳角等價于，即，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標系：則，，，，，，，，所以，，由為銳角得，即，所以，即，解得：，當時，點位于點處，此時顯然是銳角，符合題意，所以，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是為銳角等價于，即，還需利用，求出、的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.8．若過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（    ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】先計算出兩條動直線經(jīng)過的定點，即和，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有；再利用基本不等式放縮即可得出的最大值．【詳解】解：由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過點定點，注意到動直線和動直線始終垂直，又是兩條直線的交點，則有，．故（當且僅當時取“” 故選：．【點睛】本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個靈活的好題． 二、多選題9．已知直線，則下列說法正確的是A．若，則m=-1或m=3 B．若，則m=3C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)兩直線平行或垂直求出參數(shù)值然后判斷．【詳解】直線，則，解得或，但時，兩直線方程分別為，即，兩直線重合，只有時兩直線平行，A錯，B正確；，則，，C錯，D正確．故選：BD．【點睛】本題考查兩直線平行與垂直的條件，在由兩直線平行求參數(shù)時要注意檢驗，排除兩直線重合的情形．如果用斜率求解還需討論斜率不存在的情形．10．已知平面上一點，若直線上存在點使，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】所給直線上的點到定點距離能否取，可通過求各直線上的點到點的最小距離，即點到直線的距離來分析，分別求出定點到各選項的直線的距離，判斷是否小于或等于4，即可得出答案.【詳解】所給直線上的點到定點距離能否取，可通過求各直線上的點到點的最小距離，即點到直線的距離來分析．A．因為，故直線上不存在點到距離等于，不是“切割型直線”；B．因為，所以在直線上可以找到兩個不同的點，使之到點距離等于，是“切割型直線”；C．因為，直線上存在一點，使之到點距離等于，是“切割型直線”；D．因為，故直線上不存在點到距離等于，不是“切割型直線”．故選：BC.11．（多選）給出下列命題，其中是真命題的是（    ）A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B．若直線的方向向量，平面的法向量，則C．若平面，的法向量分別為，，則D．若平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的值即可判斷A；根據(jù)空間向量數(shù)量積的值即可判斷B；根據(jù)兩平面法向量之間的關(guān)系可判斷C；，，利用法向量與上面兩向量的數(shù)量積可判斷D.【詳解】對于A，，則，所以直線與垂直，故A是真命題；對于B，，則，所以或，故B是假命題；對于C，，所以不成立，故C是假命題；對于D，易得，，因為向量是平面的法向量，所以，即，得，故D是真命題．故選：AD.12．已知正四面體，棱長為2，是的中心，則下列說法正確的是（    ）A．B．與平面所成角正弦值為C．平面與平面所成角余弦值為D．到平面距離為【答案】ABD【分析】A. 設(shè)E是BD的中點，運用空間向量基本定理用三個不共面的空間向量表示出來；B.找出線面角，借助直角三角形求解；C.找出面面角的平面角，借助三角形用余弦定理求解；D.借助三棱錐A-OBC的體積，用等積法求解.【詳解】圖1A.如圖1，設(shè)E是BD的中點，則C、O、E三點共線，且CO=2OE.，A正確；圖2B.由題意知，平面BCD，所以就是與平面所成角，如圖2，AB=2，，，，所以.圖3C.取BC中點為F，連接AF，DF，則，，是平面平面=BC，所以即為平面與平面所成角的平面角，又，AD=2，在中，.D. ，設(shè)d為到平面距離， 又即，所以，.故選：ABD. 三、填空題13．已知三角形的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________.【答案】x＋13y＋5＝0【解析】由中點坐標公式求得BC的中點坐標，再直線方程的兩點式即可得到答案.【詳解】由B(3，－3)，C(0，2)，則BC的中點坐標為，∴BC邊上中線所在直線方程為，即x＋13y＋5＝0.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求法，考查中點坐標公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．已知平面的一個法向量為，，原點在平面內(nèi)，則點，5，到的距離為__.【答案】【分析】利用點面距公式求得到的距離.【詳解】點到平面的距離為.故答案為：15．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，則M的坐標為_______.【答案】（0，1，1）【解析】以DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)∠ABM＝60°，利用空間向量的數(shù)量積可得，從而求出，再由向量的坐標表示即可求解.【詳解】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，∴DA，DC，DS兩兩垂直，如圖以D為原點，以DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.則D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），＝（0，﹣2，0）.＝（0，﹣2，2）.，設(shè)＝＝（0，﹣2λ，2λ），＝＝（﹣，﹣2λ，2λ）.∠ABM＝60°，可得：cos60°＝＝＝，解得λ＝，＝（0，﹣1，1），＝（0，1，1），M（0，1，1）.故答案為：（0，1，1）.16．如圖，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是側(cè)面 BCC1B1內(nèi)的動點，且AP⊥BD1，記AP 與平面BCC1B1所成的角為θ，則tanθ 的最大值為_______【答案】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)AP⊥BD1，求得a,c的關(guān)系，再利用線面角的向量公式結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)，則，所以，因為AP⊥BD1，所以，解得，此時，平面BCC1B1一個法向量為，記AP 與平面BCC1B1所成的角為θ，則，當時，取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為： 四、解答題17．已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）先求得直線的傾斜角，由此求得直線的傾斜角和斜率，進而求得直線的方程；（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離列方程，由此求解出直線的方程．【詳解】解（1）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角為，斜率為，又直線過點，∴直線的方程為，即；（2）設(shè)直線的方程為，則點到直線的距離，解得或∴直線的方程為或18．如圖，四邊形為正方形，平面，，點，分別為，的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求點到平面的距離．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）取的中點，連接、，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得且，得四邊形為平行四邊形，從而可得，再由線面平行的判定可得平面；（Ⅱ）利用等積法可得：，代入棱錐體積公式可得點到平面的距離．試題解析：（Ⅰ）證明：取點是的中點，連接，，則，且，∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以點到平面的距離與到平面的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離，設(shè)為．利用等體積法：，即，，∵，，∴，∴．點睛：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題；在證明線面平行的過程中，常見的方法有：1、構(gòu)造三角形的中位線；2、構(gòu)造平行四邊形；3、利用面面平行；在該題中利用的是構(gòu)造平行四邊形.求點到面的距離主要是利用等體積法.19．已知直線.(1)當直線l在x軸上的截距是它在y上的截距3倍時，求實數(shù)a的值：(2)當直線l不通過第四象限時，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）先求出且，再求出直線l在x軸上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；（2）考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由條件知，且，在直線l的方程中，令得，令得∴，解得：，或，經(jīng)檢驗，，均符合要求.（2）當時，l的方程為：.即，此時l不通過第四象限；當時，直線/的方程為：.l不通過第四象限，即，解得綜上所述，當直線不通過第四象限時，a的取值范圍為20．如圖，在圓錐中，已知的直徑，點是的中點，點為中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先連接，根據(jù)題意易證，，再利用線面垂直的判定即可證明平面；（2）利用空間向量法求解二面角即可.【詳解】（1）連接，如圖所示：因為為的中點，所以.又底面底面，所以.因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面（2）以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則.設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，令，則，所以設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，令，則，所以所以.所以.故二面角的正弦值為.21．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，. 22．已知三棱柱中，.(1)求證: 平面平面.(2)若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為 若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點. 【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【詳解】（1）在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面， 從而得平面，又平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點P，設(shè)其坐標為，則有，設(shè)平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意， ，化簡整理得： 而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點，使平面和平面所成角的余弦值為. 

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