四川省成都市鹽道街中學2024-2025學年高二上學期第一學月月考數(shù)學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

命題人：王寒審題人：廖洋
一、單選題
1. 某中學為了了解500名學生的身高，從中抽取了30名學生的身高進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，500名學生身高的全體是（）
A. 總體B. 個體C. 從總體中抽取的一個樣本D. 樣本的容量
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)總體、個體、樣本和樣本容量的知識選出正確選項.
【詳解】500名學生身高的全體是總體；每名學生的身高是個體；所抽取的名學生的身高是從總體中抽取的一個樣本；是樣本容量.
故選：A
【點睛】本小題主要考查對隨機抽樣中總體、個體、樣本和樣本容量的理解，屬于基礎題.
2. 如圖是一個古典概型的樣本空間和隨機事件，其中，則（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)韋恩圖，進行分析，結(jié)合古典概型計算即可.
【詳解】，則,
則.
故選：B
3. 設，向量，，，且，，則等于（）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的位置關系列式求出，根據(jù)模的計算公式計算即可求解.
【詳解】，
，
，，
，
，
，．
，
．
故選：C.
4. 有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組樣本得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，則（）
A. ，，，中位數(shù)為，則，，，的中位數(shù)為
B. ，，，的平均數(shù)為，則，，，的平均數(shù)為
C. ，，，的方差為，則，，，的方差為
D. ，，，的極差為，則，，，的極差為
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位數(shù)的定義可判斷；利用平均數(shù)和方差的計算方法和性質(zhì)可判斷；舉例利用極差的定義可判斷.
【詳解】對于，數(shù)據(jù)從小到大排列對應中位數(shù)的順序不變，
所以若，，，的中位數(shù)為，
則，，，的中位數(shù)為，故不正確；
對于，由平均數(shù)的計算方法與性質(zhì)可知，
若，，，的平均數(shù)為，
則，，，的平均數(shù)為，故正確；
對于，由方差的性質(zhì)可知，
若，，，的方差為，
所以，，，的方差為，故不正確；
對于，若原數(shù)據(jù)為，，，，極差為，
當，則新數(shù)據(jù)為，，，，所以極差為，
所以極差為，故不正確.
故選：.
5. 下列說法正確的是（）
A. 若，則事件與事件是對立事件
B. 事件與事件中至少有一個發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率大
C. 從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為
D. 若，，則事件，相互獨立與，互斥不能同時成立
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意舉反例判斷A、B即可，根據(jù)古典概型求概率的方法可判斷C，根據(jù)事件相互獨立的概念以及事件互斥的概念即可判斷D.
【詳解】對于A，舉例事件：擲一枚骰子，擲得點數(shù)為奇數(shù)為事件，則；
所擲點數(shù)大于為事件，則，，
但事件與事件不是對立事件，故A錯誤；
對于B，舉例事件：拋一枚硬幣，正面向上為事件，反面向上為事件，
事件與事件中至少有一個發(fā)生的概率為，與中恰有一個發(fā)生的概率也為，故B錯誤；
對于C，從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，
共有，，，，，，
，，種情況，
其中能構成三角形的有，，三種情況，
所以從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，
則這三條線段能構成一個三角形的概率為，故C錯誤；
對于D，若事件，相互獨立，則有，
又，，所以有；
若，互斥，則，
所以若，，則事件，相互獨立與，互斥不能同時成立，故D正確.
故選：D
6. 若向量是空間中一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助待定系數(shù)法設，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標計算即可得.
【詳解】由題意可得，
設，
即有
即可得，解得，即
即向量在基底下的斜坐標為.
故選：D.
7. 在如圖所示的電路中，5個盒子表示保險匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時保險絲熔斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（）

A. A，B兩個盒子并聯(lián)后FG 段暢通的概率為
B. D，E兩個盒子串聯(lián)后GH 段暢通的概率為
C. C，D，E三個盒子混聯(lián)后GK 段暢通的概率為
D. 當開關合上時，整個電路暢通的概率大于整個電路不通的概率
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的概率、相互獨立事件的概率，逐項分析計算即可判斷得解.
【詳解】對于A，A，B兩個盒子并聯(lián)后FG 段暢通的概率為，A錯誤；
對于B，D，E兩個盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為，B錯誤；
對于C，由選項B知，GH 熔斷的概率為，
因此C，D，E三個盒子混聯(lián)后GK 段暢通的概率為，C錯誤；
對于D，由選項AC知，整個電路暢通的概率為不通的概率為，D正確.
故選：D
8. 如圖，在四面體OABC中，，，，若，且∥平面ABC，則實數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可知，延長與交于，連接，則由題意可得∥，令，，則利用不同的方法將用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.
【詳解】由條件可知，延長與交于，連接，
因為平面，
平面，平面平面，
所以∥，
令，，
則有，
，
根據(jù)向量基底表示法的唯一性，
得解得
∥，
，，
．
故選：D．
二、多選題
9. 某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短期；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種參?？蛻暨M行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計圖表．則（）

A. 丁險種參保人數(shù)超過五成B. 41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五成
C. 18－29周歲人群參保的總費用最少D. 人均參保費用不超過5000元
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖表逐個選項進行驗證即可.
【詳解】由參保險種比例圖可知，丁險種參保人數(shù)比例，故A正確
由參保人數(shù)比例圖可知，41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的不到五成，B錯誤
由不同年齡段人均參保費用圖可知，周歲人群人均參保費用最少，但是這類人所占比例為，
周歲以上參保人數(shù)最少比例為，周歲以上人群人均參保費用,所以18－29周歲人群參保的總費用最少，故C正確．
由不同年齡段人均參保費用圖可知，人均參保費用不超過5000元,故D正確
故選：ACD．
10. 下列說法正確的是（）
A. 用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則每個個體被抽到的概率是0.1
B. 已知一組數(shù)據(jù)1，2，，，8，9的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5
C. 已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學測驗中成績排名為班級第9名，則小明成績是全班數(shù)學成績的第20百分位數(shù)
D. 甲班和乙班各有學生20人、40人，甲班的數(shù)學成績的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學成績的平均數(shù)為82分，方差為4，那么甲班和乙班這60人的數(shù)學成績的方差是3
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、分層抽樣的方差的計算方法逐一分析選項即可.
【詳解】對A，由古典概型計算公式可得每個個體被抽到的概率是，故正確；
對B，已知一組數(shù)據(jù)1，2，，，8，9的平均數(shù)為5，
則，即，解得，
則數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故正確；
對C，已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學測驗中成績排名為班級第9名，
將數(shù)學成績從小到大排列，小明成績?yōu)榈?6名，
又由，則小明成績的百分位數(shù)是80，故錯誤；
對D，由題意得甲班和乙班這60人的數(shù)學成績的平均數(shù)為，
甲班和乙班這60人的數(shù)學成績的方差為，
故錯誤.
故選：.
11. 如圖，在長方體中，點P是底面內(nèi)的動點，分別為中點，若，則下列說法正確的是（）

A. 最大值為1
B. 四棱錐的體積和表面積均不變
C. 若面，則點P軌跡的長為
D. 在棱上存在一點M，使得面面
【答案】ACD
【解析】
【分析】，當點與點重合時，，可得最大值為1可判斷A；利用棱錐的體積公式計算可得四棱錐的體積；
當點與點重合、為上底面的中心時，計算出表面積可判斷B；取的中點，的中點，利用面面平行的判定定理可得平面平面，可得點P軌跡為線段，求出可判斷C；以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，設，求出平面、平面的一個法向量，利用面面垂直的向量求法求出可判斷D.
【詳解】對于A，，當點與點重合時，，即，所以，
所以
，
所以最大值為1，故A正確；

對于B，因為點到底面的距離為，底面面積為，
所以四棱錐的體積為，是定值；
當點與點重合時，四個側(cè)面都為直角三角形，所以表面積為
，

當點為上底面的中心時，連接，則，且，
，此時表面積為
，
所以，故C錯誤；

對于C，取的中點，的中點，分別連接，可得，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，且，
平面，所以平面平面，當時，平面，可得面，則點P軌跡為線段，此時，故C正確；

對于D，以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，
所以，設，則，
，，
設平面的一個法向量為，
所以，，令可得，
設平面的一個法向量為，
所以，，令可得，
由，解得，滿足題意，故D正確.

故選：ACD.
【點睛】空間中面面角的解題步驟：
第一步首先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的空間直角坐標；
第二步然后求出兩個平面的法向量；
第三步再利用向量的夾角公式即可得出結(jié)論.
三、填空題
12. 在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計算，即可求解.
【詳解】由條件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐標為
.
故答案為：
13. 某商場在618大促銷活動中，活動規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為______．
【答案】##0.7
【解析】
【詳解】利用概率性質(zhì)求解
【分析】設擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)點數(shù)為1或2為事件，則，
骰子出現(xiàn)點數(shù)為3，4，5，6為事件，則，
甲箱摸出紅球為，乙箱摸出紅球為，設顧客中獎為事件，
所以，，
所以．
故答案為：．
14. 如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點G是圓弧的中點，點H是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：
①不存在點H，使得平面平面CEG；
②存在點H，使得平面CEG；
③不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于；
④存在點H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．
其中所有正確結(jié)論的序號是____________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】將圖形補全為一個正方體，以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.
【詳解】由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：
以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
則、、、A2,0,0、、，，
設點，其中，
對于①，，，設平面，
則，即，
取x=1，則，可得，
設平面，，，
則，即，
取，則，可得，
若平面平面CEG，則，解得：，
所以存在使得平面平面CEG，故①錯誤；
對于②，，若平面CEG，
則，即，
即，故，故存在點H，使得平面CEG，故②正確；
對于③，，
所以點H到平面CEG的距離為，
，
因為，所以，所以，
，所以，
所以不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于，故③正確；
對于④，，，則直線與平面CEG的所成角為，
所以，
，整理可得，
因為函數(shù)在時圖象是連續(xù)的，
且，，
所以，存在，使得，
所以，存在點，使得直線與平面CEG的所成角的余弦值為，④正確.
故答案為：②③④.
【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（l為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
四、解答題
15. 如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點是與的交點．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意根據(jù)空間向量的線性運算求解即可；
（2）先利用空間向量的線性運算表示向量，，然后根據(jù)空間向量求異面直線所成角的公式求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知：點是的中點，則，
所以，
；
小問2詳解】
設，，，
則，，，
，，
，
所以，
又因為，所以，
因為，
所以，
所以，
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
16. 第24屆冬奧會于2022年2月在北京舉行，志愿者的服務工作是冬奧會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了北京志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；
（3）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．
【答案】（1）；
（2）估計平均數(shù)為69.5，第分位數(shù)為71.7；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，及第三、四、五組的頻率之和為0.7列出方程組，求出a，b的值；（2）中間值作代表估計出平均數(shù)，利用百分位數(shù)求解方法進行求解；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型求概率公式.
【小問1詳解】
，解得：，所以；
【小問2詳解】
，故估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)為69.5；
前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為，所以第分位數(shù)落在第三組志愿者中，設第分位數(shù)為，則，解得：，故第分位數(shù)為71.7
【小問3詳解】
第四、第五兩組志愿者的頻率比為，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設為，第五組志愿者人數(shù)為1，設為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在；的長為或
【解析】
【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角；
（3）假設棱存在一點使得，且，即可求出，利用向量的夾角公式列出關于的方程求解即可.
【小問1詳解】
連接，交于點，連接，
點是的中點，點是的中點，
所以,平面,平面，
所以平面；
【小問2詳解】
如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，
即，，，則，
設平面的法向量，則，
令得，所以平面的法向量，
平面的一個法向量為，
設平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為；
【小問3詳解】
由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
設直線與平面的夾角為，
則
整理得，解得或
故當時，；當時，
則的長為或．
18. 在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．
（1）已知．
①若采用單次傳輸方案，重復發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
【答案】（1）① ；②證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；②記事件為“第三次收到的信號為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，證明即可；
（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，根據(jù)題意可得，解不等式可解.
【小問1詳解】
①記事件為“至少收到一次0”，則．
②證明：記事件為“第三次收到的信號為1”，則．
記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，
則．
因為，
所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
【小問2詳解】
記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則．
記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則．
根據(jù)題意可得，即，
因為，所以，
解得，故的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算各事件的概率.
19. n個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若，稱為n維信號向量.設，，則和的內(nèi)積定義為，且.
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
（2）證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
（3）已知k個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：.
【答案】（1），，，；
（2）證明見解析；（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，不妨設，得到有5個分量為，設的前5個分量中有r個，得到5個分量中有個，進而求得r的值，即可求解；
（3）任取，得到，設的第個分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.
【小問1詳解】
兩兩垂直的4維信號向量可以為：，，，.
【小問2詳解】
假設存在10個兩兩垂直的10維信號向量，，…，，
因為將這10個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設，，
因為，所以有5個分量為，
設的前5個分量中有r個，則后5個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10個兩兩垂直的10維信號向量.
【小問3詳解】
任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到S，
則，
設，，…，的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為S的貢獻為，
所以，
令，所以，所以.
【點睛】關鍵點睛：本題以新定義為背景考查向量的運算，解題的關鍵是根據(jù)所給線性相關的定義進行運算判斷.

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