命題人：王寒 審題人：廖洋
一、單選題
1．某中學(xué)為了了解500名學(xué)生的身高，從中抽取了30名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，500名學(xué)生身高的全體是（ ）
A．總體B．個體C．從總體中抽取的一個樣本D．樣本的容量
2．如圖是一個古典概型的樣本空間和隨機事件，，其中，，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，，向量，，，且，，則等于（ ）
A．B．C．3D．4
4．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組樣本得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中，則（ ）
A．，，…，的中位數(shù)為，則，，…，的中位數(shù)為
B．，，…，的平均數(shù)為，則，，…，的平均數(shù)為
C．，，…，的方差為，則，，…，的方差為
D．，，…，的極差為，則，，…，的極差為
5下列說法正確的是（ ）
A．若，則事件與事件是對立事件
B．事件與事件中至少有一個發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率大
C．從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為
D．若，，則事件，相互獨立與，互斥不能同時成立
6．若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo)．設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
7．在如圖所示的電路中，5個盒子表示保險匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時保險絲熔斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，兩個盒子并聯(lián)后段暢通的概率為
B．，兩個盒子串聯(lián)后段暢通的概率為
C．，，三個盒子混聯(lián)后段暢通的概率為
D．當(dāng)開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率大于整個電路不通的概率
8．如圖，在四面體中，，，，若，且平面，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短期；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關(guān)約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計圖表．則下列說法正確的是（ ）
A．丁險種參保人數(shù)超過五成B．41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五成
C．18—29周歲人群參保的總費用最少D．人均參保費用不超過5000元
10．下列說法正確的是（ ）
A．用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則每個個體被抽到的概率是0.1
B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，，8，9的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5
C．已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學(xué)測驗中成績排名為班級第9名，則小明成績是全班數(shù)學(xué)成績的第20百分位數(shù)
D．甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為82分，方差為4，那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績的方差是3
11．如圖，在長方體中，點是底面內(nèi)（含邊界）的動點，，，，分別為，，，中點，若，，則下列說法正確的是（ ）
A最大值為1
B．四棱錐的體積和表面積均不變
C．若面，則點軌跡的長為
D．在棱上存在一點，使得面面
三、填空題
12．在空間直角坐標(biāo)系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為______．
13．某商場在國慶節(jié)搞大促銷活動，活動規(guī)則是：滿101元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎品，問顧客中獎率為______．
14．如圖，幾何體是以正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：
①不存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面；
③不存在點，使得點到平面的距離大于；
④存在點，使得直線與平而所成角的正弦值為．
其中所有正確結(jié)論的序號是______．
四、解答題
15．（13分）如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點是與的交點．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
16．（15分）某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
（1）求，的值；
（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和60%分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；
（3）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．
18．（17分）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為（），收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為（），收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1，若依次收到1，1，1，則譯碼為1）．
（1）已知，．
①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送0，0，1，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
19．（17分）個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組（，，…，）稱為一個維向量，其中（）稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若（），稱為維信號向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
（2）證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．
成都市鹽道街中學(xué)高2023級2024—2025學(xué)年度上期
第一學(xué)月月考數(shù)學(xué)答案
一、二選擇題
三、填空題
12． 13． 14．②③④
四、解答題
15．解：（1）由題意可知：點是的中點，則，
所以
．
（2）設(shè)，，，
則，，，，，
．
所以．
又因為，所以，．
所以．
所以異面直線與所成的角的余弦值為．
16．解：（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，
所以，解得，
所以前兩組的頻率之和為，即，
所以．
（2）平均數(shù)為，
前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，
所以60%分位數(shù)在第三組，且為．
（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，
則第四組抽4人，記為，，，，第五組抽1人，記為，
則從這5人中選出2人，有，，，，，，，，，共10種結(jié)果，
兩人來自不同組有，，，共4種結(jié)果，
所以兩人來自不同組的概率為．
17．解：（1）連接，交于點，連接，
點是的中點，點是的中點，
所以，平面，平面，
所以平面；
（2）如圖，以向量，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
即，，，則，，
設(shè)平面的法向量，則，
令得，，所以平面的法向量，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為；
（3）由（2）知，，，，
，，（），
由（2）知平面的法向量，
設(shè)直線與平面的夾角為，
則，
整理得，解得或，
故當(dāng)時，；當(dāng)時，
則的長為或．
18．解：（1）①記事件為“至少收到一次0”，則．
②證明：記事件為“第三次收到的信號為1”，則．
記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，
則．
因為，
所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則．
記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則．
根據(jù)題意可得，即，
因為，所以，
解得，故的取值范圍為．
19．解：（1）兩兩垂直的4維信號向量可以為：，，，．
（2）假設(shè)存在10個兩兩垂直的10維信號向量，，…，
因為將這10個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，，
因為，所以有5個分量為，
設(shè)的前5個分量中有個，則后5個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10個兩兩垂直的10維信號向量．
（3）任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，
則，
設(shè)，，…，的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為，
所以，
令，所以，所以．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
B
D
A
D
D
ACD
AB
ACD

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