四川省內(nèi)江市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時(shí)間：120 分鐘試卷滿分：150 分
一、單選題，本題共 8 小題，每題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 設(shè)角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由任意三角函數(shù)的定義即可求解
【詳解】設(shè)角終邊所在圓的半徑為，由題意得，，
所以，，，所以 D 選項(xiàng)正確，
故選：D
2. sin53°cs23°－cs53°sin23°等于（）
A. B. － C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用兩角差的正弦公式可得答案.
【詳解】sin53°cs23°－cs53°sin23°= .
故選：A.
3. 在中，下列關(guān)系式正確的是（）
A. B.
第 1頁(yè)/共 17頁(yè)
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來(lái)逐一分析選項(xiàng).三角形內(nèi)角和定理為三角形的內(nèi)
角和等于，即，由此可推出， .再結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
進(jìn)行判斷.
【詳解】已知，則，那么 .
根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，
所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由上述可知 .
根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，
所以 B 選項(xiàng)正確.
因?yàn)?.
根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，
所以 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由于 .
根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，
所以 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
4. 正的邊長(zhǎng)為 1，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，展開求值，即可得答案.
第 2頁(yè)/共 17頁(yè)
【詳解】由題意得 .
故選：D
5. 把函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平
移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) 的圖像，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)壓縮拉伸和平移的原則即可得到答案.
【詳解】函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍，縱坐標(biāo)不變，解析式為
，
再將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) .
故選：A.
6. 如圖，已知點(diǎn) 是等腰直角直角邊上的三等分點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，結(jié)合題設(shè)可得，利用差角正切公式
求值即可.
【詳解】設(shè) ，則，，
第 3頁(yè)/共 17頁(yè)
由圖可知，
由題意，，
所以 .
故選：B
7. 已知，，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，再由及兩角差的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，
因?yàn)?，所以，
所以
.
故選：B
8. 時(shí)，函數(shù) 與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】作出函數(shù)圖象即可求解.
第 4頁(yè)/共 17頁(yè)
【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出與的圖象，
根據(jù)圖象可知：與的圖象在有 6 個(gè)交點(diǎn)，
故選：D
二、多選題：本題共 3 小題，每題 6 分，共 18 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符
合題目要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，該三角形重心為點(diǎn) ，點(diǎn) 為所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，下列等
式一定成立的是（）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及模長(zhǎng)的定義分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】
如圖所示，
設(shè) 的三邊中點(diǎn)分別為，，，
則，
所以，A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
成立，B 選項(xiàng)正確；
第 5頁(yè)/共 17頁(yè)
由點(diǎn) 為三角形重心，可知，所以，C 選項(xiàng)正確；
，所以，D 選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
10. 下列說(shuō)法不正確的是（）
A. 若，則與中至少有一個(gè)為
B. 若是等邊三角形，則，的夾角為
C. 中，且，則是等邊三角形
D. 向量在向量上的投影向量可表示為
【答案】ABC
【解析】
【分析】舉反例判斷 A，根據(jù)向量夾角定義判斷 B，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷 C，根據(jù)投影向量的定義判斷
D.
【詳解】對(duì)于 A：當(dāng) 與均不為，且時(shí)，，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：因?yàn)?是等邊三角形，則，的夾角為，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C：因?yàn)?，所以，
又，所以，
又，即，即，
所以為頂角為的等腰三角形，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D：向量在向量上的投影向量可表示為，故 D 正確.
故選：ABC
11. 已知，，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B.
C. D.
第 6頁(yè)/共 17頁(yè)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換及三角函數(shù)單調(diào)性分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】A 選項(xiàng)：由，則，A 選項(xiàng)正確；
B 選項(xiàng)：，又，所以，B 選項(xiàng)正確；
C 選項(xiàng)：由，所以，，
則，
根據(jù)三角函數(shù)線可知，
則，
所以，C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D 選項(xiàng)：，且，
又，所以，
所以，則，D 選項(xiàng)正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共 3 小題，每題 5 分，共 15 分.
12. 已知向量的夾角為，，，則在方向上的投影向量的模為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，再根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量，即可求出其模.
【詳解】因?yàn)橄蛄?的夾角為，，，
第 7頁(yè)/共 17頁(yè)
所以，
所以在方向上的投影向量為，
所以在方向上的投影向量的模為 .
故答案為：
13. 已知，則不等式的解集為_______________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】由，即，所以，
又，所以，
即不等式的解集為 .
故答案為：
14. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，其中，
，若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則 ______．
第 8頁(yè)/共 17頁(yè)
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的最小正周期，再結(jié)合對(duì)稱軸及點(diǎn)坐標(biāo)可得參數(shù)值.
【詳解】由圖象及，，
可知，及，
又，則，
由函數(shù) 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，
可知函數(shù) 的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，
根據(jù)圖像可知當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最小值，
即，，
則，，
則，
又函數(shù) 過(guò)點(diǎn) ，
則，
解得，
故答案為： .
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
第 9頁(yè)/共 17頁(yè)
15. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn) 為中點(diǎn)，點(diǎn) 在上， .
（1）設(shè) ，，用，表示向量，；
（2）設(shè) ，，用，表示向量；
（3）求證：，，三點(diǎn)共線.
【答案】（1），
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得解；
（3）根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示，根據(jù)向量共線定理可證向量共線，進(jìn)而可證三點(diǎn)共線.
【小問(wèn) 1 詳解】
由已知四邊形是平行四邊形，且，，
則，；
【小問(wèn) 2 詳解】
由點(diǎn) 在上，，
得；
【小問(wèn) 3 詳解】
由已知點(diǎn) 為中點(diǎn)，則，
所以，又與有公共點(diǎn) ，
所以，，三點(diǎn)共線.
16. 已知函數(shù) .
（1）求的最小正周期及對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；
第 10頁(yè)/共 17頁(yè)
（2）求單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若當(dāng) 時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1），對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）由的范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)的值域，從而得解.
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?br>，
即，所以的最小正周期，
令，解得，故對(duì)稱軸；
令，解得，故對(duì)稱中心為 .
第 11頁(yè)/共 17頁(yè)
【小問(wèn) 2 詳解】
令，
解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問(wèn) 3 詳解】
當(dāng) 時(shí)，，所以，
則在上的值域?yàn)?，
因?yàn)椴坏仁?恒成立，所以，即實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，是兩個(gè)夾角為的單位向量，，
．
（1）求，；
（2）設(shè) ，是否存在實(shí)數(shù) ，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出的值；若
不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由題意可得，結(jié)合數(shù)量積求模長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合數(shù)量積列式求解即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?，是兩個(gè)夾角為單位向量，
所以，，
又，，
所以
第 12頁(yè)/共 17頁(yè)
，
又，
所以．
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)?，．
若是以為斜邊的直角三角形，則，
即，
可得，
即，化簡(jiǎn)得，解得，
所以存在滿足條件．
18. 已知，，其中．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若，比較和的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式即可得到答案；
（2）求出，再利用兩角差的正切公式即可得到答案；
（3）利用輔助角公式和二倍角的正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可得到答案.
【小問(wèn) 1 詳解】
第 13頁(yè)/共 17頁(yè)
，
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)?，，則，
則，則，
則，
又因?yàn)?，則，
因，，則，
則，則 .
【小問(wèn) 3 詳解】
。
則 .
19. 現(xiàn)有足夠長(zhǎng)的“ ”型的河道，如圖所示，寬度分別為 5m 和 m，，若經(jīng)過(guò)點(diǎn) 拉一張網(wǎng) ，開辟如
圖的直角用于養(yǎng)魚，設(shè) .
第 14頁(yè)/共 17頁(yè)
（1）求漁網(wǎng)長(zhǎng)度，用含有的式子表示，并寫出定義域；
（2）求養(yǎng)殖面積的最小值，及此時(shí)的值；
（3）若分別以為直徑制作兩個(gè)圓形的遮陽(yáng)蓬，求兩遮陽(yáng)蓬面積和的最小值.
【答案】（1）， .
（2）養(yǎng)殖面積的最小值為，及此時(shí)的 .
（3）
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn) 作垂直于，垂直點(diǎn)為，求得，，即可
求出，此時(shí) .
（2）表示出，，所以
，再由基本不等式即可求出養(yǎng)殖面積的最小值.
（3）表示出兩遮陽(yáng)蓬面積和，由不等式“1”的代換即可得出答案.
【小問(wèn) 1 詳解】
過(guò)點(diǎn) 作垂直于，垂足為，
則，，
所以，，
第 15頁(yè)/共 17頁(yè)
所以， .
【小問(wèn) 2 詳解】
，，
所以，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即時(shí)取等，
所以養(yǎng)殖面積的最小值為，及此時(shí)的 .
【小問(wèn) 3 詳解】
因?yàn)?，，
設(shè)兩遮陽(yáng)蓬面積和為，
則
第 16頁(yè)/共 17頁(yè)
，
當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等.
故兩遮陽(yáng)蓬面積和的最小值為 .
第 17頁(yè)/共 17頁(yè)

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