1．（3分）2cs60°的值等于（ ）
A．B．C．2D．1
2．（3分）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．從全是白球的袋子中摸出1個黑球
B．明天的太陽從東方升起
C．車輛到達(dá)一個路口，遇到綠燈
D．拋出一塊石頭，落回地面
3．（3分）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
4．（3分）已知，則下列式子中正確的是（ ）
A．a(chǎn)：b＝9：16B．a(chǎn)：b＝6：8
C．a(chǎn)：b＝（a+3）：（b+3）D．a(chǎn)：b＝4：3
5．（3分）下列命題是真命題的是（ ）
A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似
C．四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形相似
D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在AB邊的C′上，C′B的長度是（ ）
A．1B．C．2D．
7．（3分）如圖，以下條件不能推得DE∥BC的是（ ）
A．AD：AB＝AE：ACB．AD：DB＝AE：EC
C．AD：AE＝DB：ECD．AD：AB＝DE：BC
8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，F(xiàn)是上任意一點，連接AD、DF、AF，，半徑為4，則CD的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的長為（ ）
A．m?tanα?csαB．
C．D．
10．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，連結(jié)AC、BD交于點E，若AB＝AE，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）任意拋擲一枚均勻的骰子，朝上面的數(shù)字為偶數(shù)的概率為 ．
12．（4分）若一個扇形的面積是12π，它的弧長是4π，則它的半徑是 ．
13．（4分）某滑雪運動員沿著坡比為1：的斜坡滑行了300米，則他身體下降的高度為 米．
14．（4分）如果一個三角形的三邊長分別為5，12，13，與其相似的三角形的最長邊為39，則較大的三角形的面積為 ．
15．（4分）?ABCD中，AC為對角線，點E為AC上一點，過點E作直線GF交邊CD于點F，交AB于點G，連結(jié)DE，若DE⊥GF，DF＝2EF，∠ACB＝60°，，則的值為 ．
16．（4分）如圖，BC為⊙O中的弦，過⊙O上一點A作AD⊥BC交BC于點D，且AD經(jīng)過圓心，過點C作AC的垂線交BO的延長線于點E．若，則的值為 ．
三、解答題（本大題有8題，共66分）
17．（6分）計算：cs30°﹣sin45°+tan45°cs60°
18．（8分）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，其中杭州主賽區(qū)設(shè)有四個競賽場館，分別為：A．杭州“大蓮花”體育場、B．杭州奧體中心體育館、C．杭州奧體中心游泳館、D．杭州奧體中心同球中心．小明和小穎都是志愿者，他們被隨機(jī)分配到這四個競賽場館中的任意一個場館的可能性相同．
（1）小明被分配到D．杭州奧體中心網(wǎng)球中心做志愿者的概率為 ；
（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率．
19．（8分）如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點均在格點上．請按照下列要求，只用沒有刻度的直尺畫出相應(yīng)的圖形．
（1）請在圖①中畫出△ABC的中線AD；
（2）請在圖②中畫出△AEF，使其面積為△ABC面積的，點E、F分別在AB、AC上且EF∥BC．
20．（8分）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，AG平分∠BAC，交DE、BC于點F、G，且AD?AC＝AE?AB．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若△ADE與△ABC的周長之比是1：2，AG＝10，求AF的值．
21．（8分）已知圖1是超市購物車，圖2是超市購物車側(cè)面示意圖，測得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均與地面平行，支架AC與BC之間的夾角∠ACB＝90°．
（1）求兩輪輪軸A，B之間的距離；
（2）若OF的長度為60cm，∠FOD＝120°，求點F到AB所在直線的距離．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
22．（8分）如圖，在⊙O內(nèi)，弦AB，CD相交于點P，且AD＝BC．
（1）若AB＝2，求CD的值．
（2）若⊙O半徑為4，，，求圖中陰影部分面積．
23．（10分）如圖，點D為△ABC邊AB上一點，過D作DE∥BC交AC于點F，且使∠DEC＝∠A．
（1）求證：△EFC∽△ACB．
（2）若，AC＝10，
①求EF?BC的值；
②若DF＝k，求的值（用含有k的式子表示）．
24．（10分）如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點E，延長AD、BC交于點F，∠BAC＝2∠CAD．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若，AB＝8，求CF的長；
（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH＝4，DH＝3，求三角形CDF的面積．
2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1．（3分）2cs60°的值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【分析】由特殊角的三角函數(shù)值，可得cs60°＝，繼而求得答案．
【解答】解：2cs60°＝2×＝1．
故選：D．
【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值．此題比較簡單，熟記特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．
2．（3分）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．從全是白球的袋子中摸出1個黑球
B．明天的太陽從東方升起
C．車輛到達(dá)一個路口，遇到綠燈
D．拋出一塊石頭，落回地面
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、從全是白球的袋子中摸出1個黑球，是不可能事件，不符合題意；
B、明天的太陽從東方升起，是必然事件，不符合題意；
C、車輛到達(dá)一個路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，符合題意；
D、拋出一塊石頭，落回地面，是必然事件，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（3分）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，若點到圓心的距離為d，圓的半徑r，則d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
【解答】解：∵點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故選：A．
【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．解決此類題目的關(guān)鍵是首先確定點與圓心的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論．
4．（3分）已知，則下列式子中正確的是（ ）
A．a(chǎn)：b＝9：16B．a(chǎn)：b＝6：8
C．a(chǎn)：b＝（a+3）：（b+3）D．a(chǎn)：b＝4：3
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)分別判斷即可．
【解答】解：A、∵，
∴a：b＝9：12，故本選項不符合題意．
B、∵，
∴a：b＝6：8，故本選項符合題意．
C、∵，
∴a：b≠（a+3）：（b+3），故本選項不符合題意．
D、∵，
∴a：b＝3：4，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
5．（3分）下列命題是真命題的是（ ）
A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似
C．四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形相似
D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似
【分析】根據(jù)相等的角可能為頂角或底角可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)相似三角形的判定方法對B、D進(jìn)行判斷；利用矩形和正方形不相似可對C進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、有一個頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似，所以A選項錯誤；
B、兩邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等的兩個三角形相似，所以B選項錯誤；
C、四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形不一定相似，所以C選項錯誤；
D、斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，所以D選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式． 有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在AB邊的C′上，C′B的長度是（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由勾股定理可求AB＝5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC'＝4，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵把Rt△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，
∴AC＝AC'＝4，
∴BC'＝1，
故選：A．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，以下條件不能推得DE∥BC的是（ ）
A．AD：AB＝AE：ACB．AD：DB＝AE：EC
C．AD：AE＝DB：ECD．AD：AB＝DE：BC
【分析】利用AD：AB＝AE：AC和∠DAE＝∠BAC可證明△ADE∽△ABC，所以∠ADE＝∠B，利用平行線的判定方法DE∥BC，則可對A選項進(jìn)行判斷；利用比例的性質(zhì)和A選項的判定方法可對B、C選項進(jìn)行判斷；由于AD：AB＝DE：BC不能判斷△ADE∽△ABC，則不能確定∠ADE＝∠B，從而不能判斷DE∥BC，則可對D選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵AD：AB＝AE：AC，
而∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，所以A選項不題意；
AD：DB＝AE：EC，
即AD：AE＝DB：EC，
∴DE∥BC，所以B選項不符合題意；
∵AD：AE＝DB：EC，
∴AD：DB＝AE：EC，
∴DE∥BC，所以C選項不符合題意；
由AD：AB＝DE：BC不能判斷△ADE∽△ABC，則不能確定
∴不能確定∠ADE＝∠B，
∴不能判斷DE∥BC，所以D選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，避免錯選其他答案．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．
8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，F(xiàn)是上任意一點，連接AD、DF、AF，，半徑為4，則CD的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接AC，BC，根據(jù)圓周角定理及銳角三角函數(shù)定義求出∠ACB＝90°，tan∠ACD＝＝，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠AEC＝∠BEC＝90°，∠CAE＝∠BCE，即可判定△ACE∽△CBE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出AE＝CE，BE＝CE，根據(jù)線段的和差求解即可．
【解答】解：如圖，連接AC，BC，
∵∠F＝∠ACD，tanF＝，
∴tan∠ACD＝，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴∠ACB＝90°，∠AEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，tan∠ACD＝＝，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝＝，
∴AE＝CE，BE＝CE，
∵⊙O的半徑為4，
∴AB＝8，
∴AE+BE＝8，
∴CE+CE＝8，
∴CE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
故選：D．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的長為（ ）
A．m?tanα?csαB．
C．D．
【分析】先用含m和α的三角函數(shù)值表示出CD，通過角相等，它們的三角函數(shù)值也相等，可以解答本題．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，AD＝m，∠A＝α，
∴tanα＝＝，
∴CD＝m?tanα，
∵∠ACB＝∠A+∠B＝90°，∠BDC＝∠B+∠BCD＝90°，∠A＝α，
∴∠BCD＝α，
∴cs∠BCD＝＝，
即cs＝，
∴BC＝．
故選：C．
【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確各個三角函數(shù)值的意義，利用轉(zhuǎn)化的思想找到所求問題需要的條件．
10．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，連結(jié)AC、BD交于點E，若AB＝AE，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)BE＝x，DE＝3x，得到BD＝4x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠AEB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝∠ACD，求得∠DEC＝∠DCE，得到DE＝CD＝3x，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝x，過A作AG⊥BD于G，過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵，
∴設(shè)BE＝x，DE＝3x，
∴BD＝4x，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴點A，B，C，D四點共圓，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝3x，
∴BC＝＝x，
過A作AG⊥BD于G，過C作CH⊥BD于H，
∵S△BCD＝，
∴CH＝＝＝x，
∵AB＝AE，
∴BG＝EG＝＝x，
∵∠AGB＝∠AGD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠BAG＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△ABG∽△DAG，
∴，
∴，
∴AG＝x，
∵∠AGE＝∠CHE＝90°，∠AEG＝∠CEH，
∴△AGE∽△CHE，
∴＝＝，
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）任意拋擲一枚均勻的骰子，朝上面的數(shù)字為偶數(shù)的概率為 ．
【分析】根據(jù)概率公式知，6個數(shù)中有3個偶數(shù)，故擲一次骰子，向上一面的點數(shù)為偶數(shù)的概率是．
【解答】解：根據(jù)題意可得：擲一次骰子，向上一面的點數(shù)有6種情況，其中有3種為向上一面的點數(shù)為偶數(shù)，
故朝上面的數(shù)字為偶數(shù)的概率為＝．
故選：．
【點評】本題主要考查了概率的求法的運用，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．（4分）若一個扇形的面積是12π，它的弧長是4π，則它的半徑是 6 ．
【分析】根據(jù)扇形面積s＝計算．
【解答】解：根據(jù)扇形面積s＝lr，得
×4π×r＝12π
解得r＝6．
故答案為：6．
【點評】此題主要考查了扇形面積＝及其應(yīng)用，比較簡單．
13．（4分）某滑雪運動員沿著坡比為1：的斜坡滑行了300米，則他身體下降的高度為 150 米．
【分析】設(shè)他身體下降的高度為x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出他滑行的水平距離，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設(shè)他身體下降的高度為x米，
∵斜坡的坡度為1：，
∴他滑行的水平距離為x米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝3002，
解得：x＝150（負(fù)值舍去），
∴他身體下降的高度為150米，
故答案為：150．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比．
14．（4分）如果一個三角形的三邊長分別為5，12，13，與其相似的三角形的最長邊為39，則較大的三角形的面積為 270 ．
【分析】先根據(jù)一個三角形的三邊長分別為5、12、13，可判定此三角形為直角三角形，進(jìn)而求出其面積，與其相似的三角形的最長的邊為39求出其相似比，再由相似三角形面積的比等于相似比的平分即可得較大的三角形的面積．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三邊長為5、12、13的三角形是直角三角形，面積＝×5×12＝30，
兩個三角形的相似比為＝3，
則兩個三角形的面積比為32＝9，
∴較大的三角形的面積為30×9＝270，
故答案為：270．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）?ABCD中，AC為對角線，點E為AC上一點，過點E作直線GF交邊CD于點F，交AB于點G，連結(jié)DE，若DE⊥GF，DF＝2EF，∠ACB＝60°，，則的值為 ．
【分析】過點F作FN⊥GC于點N，過點D作DM⊥GC于點M，設(shè)AC＝5m，則BC＝4m，利用平行四邊形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得AM，DM，設(shè)EF＝n，則DF＝2n，利用勾股定理求得DE，EM；利用相似三角形的判定與性質(zhì)，求得m，n的關(guān)系式，進(jìn)而求得線段CN＝m，再利用相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【解答】解法一：過點F作FN⊥GC于點N，過點D作DM⊥GC于點M，如圖，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴AM＝AD．
∵，
∴設(shè)AC＝5m，則BC＝4m．
∴AD＝BC＝4m，
∴AM＝2m，DM＝AM＝2m．
設(shè)EF＝n，則DF＝2n，
∴DE＝n．
∴EM＝＝．
∵DE⊥GF，
∴∠DEM+∠FEN＝90°．
∵FN⊥EC，
∴∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠EFN＝∠DEM．
∵∠FNE＝∠EMD＝90°，
∴△EFN∽△DEM，
∴，，
∴，，
∴EN＝2m，F(xiàn)N＝，
∴CN＝CA﹣EN﹣ME﹣AM＝5m﹣2m﹣﹣2m＝m﹣，
CM＝CA﹣AM＝3m．
∵FN⊥GC，DM⊥GC，
∴FN∥DM，
∴△CFN∽△CDM，
∴，
∴＝，
∴27n2＝112m2，
∴FN＝m，
∴CN＝m﹣＝m，
∵△CFN∽△CDM，
∴，
∴＝．
解法二：設(shè)AC為5a，
∵，
∴BC＝4a．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC＝4a，
在AC上取AD＝AH，如圖，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴三角形ADH為正三角形，
∴AD＝BC＝AH＝DH＝4a，則CH＝AC﹣AH＝a，
∴∠AHD＝60°，
∴∠DHC＝120°，
∵DE⊥GF，DF＝2EF，
∴∠FDE＝30°，
∴∠DFE＝60°，
∴∠EFC＝120°，
∴∠DHC＝∠EFC．
∵∠ECF＝∠DCH，
∴△CEF∽△CHD，
∴CF：FE＝CH：HD＝1：4，
∵DF＝2EF，
∴CF：DF＝1：8．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，過點F作FN⊥GC于點N，過點D作DM⊥GC于點M，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，BC為⊙O中的弦，過⊙O上一點A作AD⊥BC交BC于點D，且AD經(jīng)過圓心，過點C作AC的垂線交BO的延長線于點E．若，則的值為 ．
【分析】設(shè)BE交⊙O于F，延長AD交⊙O于G，連接CF，CG，由AD經(jīng)過圓心，得∠ACG＝90°，可知E，C，G共線，而AD⊥BC，，可設(shè)OD＝m，則OB＝5m＝OG，有BD＝＝2m，證明CF∥OG，知△ECF∽△EGO，OD是△BCF的中位線，故CF＝2OD＝2m，CD＝BD＝2m，可得CG＝＝＝2m，即得＝，CE＝m，求出AC＝＝＝2m，從而＝＝．
【解答】解：設(shè)BE交⊙O于F，延長AD交⊙O于G，連接CF，CG，如圖：
∵AD經(jīng)過圓心，
∴AG是⊙O的直徑，
∴∠ACG＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACG+∠ACE＝180°，
∴E，C，G共線，
∵AD⊥BC，，
∴＝，
設(shè)OD＝m，則OB＝5m＝OG，
∴BD＝＝2m，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BCF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴CF∥OG，
∴△ECF∽△EGO，
∵OB＝OF，
∴OD是△BCF的中位線，
∴CF＝2OD＝2m，CD＝BD＝2m，
∴CG＝＝＝2m，
∵△ECF∽△EGO，
∴＝，
即＝，
∴CE＝m，
∵AC＝＝＝2m，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，涉及銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是用反m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度．
三、解答題（本大題有8題，共66分）
17．（6分）計算：cs30°﹣sin45°+tan45°cs60°
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．
【解答】解：原式＝×﹣×+1×
＝﹣1+
＝1．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
18．（8分）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，其中杭州主賽區(qū)設(shè)有四個競賽場館，分別為：A．杭州“大蓮花”體育場、B．杭州奧體中心體育館、C．杭州奧體中心游泳館、D．杭州奧體中心同球中心．小明和小穎都是志愿者，他們被隨機(jī)分配到這四個競賽場館中的任意一個場館的可能性相同．
（1）小明被分配到D．杭州奧體中心網(wǎng)球中心做志愿者的概率為 ；
（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明被分配到D．國家冬季兩項中心場館做志愿者的概率是；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的結(jié)果有4種，
∴小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率為．
【點評】此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（8分）如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點均在格點上．請按照下列要求，只用沒有刻度的直尺畫出相應(yīng)的圖形．
（1）請在圖①中畫出△ABC的中線AD；
（2）請在圖②中畫出△AEF，使其面積為△ABC面積的，點E、F分別在AB、AC上且EF∥BC．
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)找到BC的中點D，再連接AD即可；
（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找到AC的三等分點F，再找出AB的三等分點E，連接EF即可．
【解答】解：（1）如圖①：AD即為所求；
（2）如圖②：△AEF即為所求．
【點評】本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計，掌握進(jìn)行的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，AG平分∠BAC，交DE、BC于點F、G，且AD?AC＝AE?AB．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若△ADE與△ABC的周長之比是1：2，AG＝10，求AF的值．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】（1）證明：∵AD?AC＝AE?AB，
∴，
又∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，△ADE與△ABC的周長之比是1：2，
∴，
∵AG平分∠DAE，AG平分∠BAC，
∴，
∵AG＝10，
∴AF＝5．
【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）已知圖1是超市購物車，圖2是超市購物車側(cè)面示意圖，測得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均與地面平行，支架AC與BC之間的夾角∠ACB＝90°．
（1）求兩輪輪軸A，B之間的距離；
（2）若OF的長度為60cm，∠FOD＝120°，求點F到AB所在直線的距離．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB的長度即可；
（2）作輔助線，分別求出C點到AB的距離，F(xiàn)點到直線DO的距離，求和即可．
【解答】解：（1）∵支架AC與BC之間的夾角（∠ACB）為90°，
∴AB＝＝＝100（cm），
即兩輪輪軸A，B之間的距離為100cm；
（2）過C點作CH⊥AB于H，過F點作FG⊥DO延長線與G，則扶手F到AB所在直線的距離為FG+CH，
∵OF的長度為60cm，∠FOD＝120°，
∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠F＝30°，
∴OG＝OF＝30，
∴FG＝30，
由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，
∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，
即×100×CH＝×60×80，
解得CH＝48，
∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，
即扶手F到AB所在直線的距離為100.0cm．
【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）如圖，在⊙O內(nèi)，弦AB，CD相交于點P，且AD＝BC．
（1）若AB＝2，求CD的值．
（2）若⊙O半徑為4，，，求圖中陰影部分面積．
【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理即可證得結(jié)論；
（2）利用勾股定理求得AF，進(jìn)一步求得OE，解直角三角形求得∠DOE＝60°，從而求得∠DOC＝120°，然后根據(jù)S陰影＝S扇形﹣S△COD求得即可．
【解答】解：（1）∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴CD＝AB＝2．
（2）連接OA、OC、OD，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∵OF2＝OP2﹣PF2＝OA2﹣AF2，
∴7﹣（AF﹣）2＝16﹣AF2，
∴AF＝2，
∴AB＝4，
由（1）可知CD＝AB，
∴CD＝4，
∴DE＝2，
∴OE＝＝＝2，sin∠DOE＝＝＝，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∴S陰影＝S扇形﹣S△COD＝﹣＝﹣4．
【點評】本題考查了扇形的面積，垂徑定理，相交弦定理，勾股定理，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，點D為△ABC邊AB上一點，過D作DE∥BC交AC于點F，且使∠DEC＝∠A．
（1）求證：△EFC∽△ACB．
（2）若，AC＝10，
①求EF?BC的值；
②若DF＝k，求的值（用含有k的式子表示）．
【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)得到∠EFC＝∠ACB，再利用對頂角相等得到∠DEC＝∠A，于是根據(jù)相似三角形的判定方法得到結(jié)論；
（2）①先利用平行線分線段成比例定理得到＝＝，則AF＝2，F(xiàn)C＝8，再利用△EFC∽△ACB得到＝，然后根據(jù)比例的性質(zhì)得到EF?BC＝80；
②先證明△CEF∽△DAF，利用相似三角形的性質(zhì)得S△DAF＝S△CEF，再根據(jù)三角形面積公式得到S△ADC＝5S△ADF，S△BCD＝4S△ADC，所以S△BCD＝S△CEF，從而得到的值．
【解答】（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB，
∵∠DEC＝∠A，
∴△EFC∽△ACB．
（2）①∵DF∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝10，
∴AF＝2，F(xiàn)C＝8，
由（1）得△EFC∽△ACB，
∴＝，
∴EF?BC＝CF?AC＝8×10＝80；
②∵∠E＝∠A，∠EFC＝∠AFD，
∴△CEF∽△DAF，
∴＝（）2＝（）2＝，
即S△DAF＝S△CEF，
∵S△ADF：S△ADC＝AF：AC＝2：10＝1：5，
∴S△ADC＝5S△ADF，
∵AD：BD＝1：4，
∴S△BCD＝4S△ADC，
∴S△BCD＝4×5S△ADF＝20×S△CEF＝S△CEF，
∴＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長和面積的比是解決問題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點E，延長AD、BC交于點F，∠BAC＝2∠CAD．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若，AB＝8，求CF的長；
（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH＝4，DH＝3，求三角形CDF的面積．
【分析】（1）作AG⊥BC于點G，則∠AGB＝∠AGC＝90°，而∠BEC＝90°，所以∠CAG＝∠CBD＝90°﹣∠ACB，由∠BAC＝2∠CAD，得∠BAC＝2∠CAG，則∠BAG＝∠CAG，再根據(jù)“等角的余角相等”證明∠ABG＝∠ACG，則AB＝AC；
（2）連結(jié)OA、OB、OC，作CL⊥AF于點L，可證明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，證明圓心O在△ABC的高AG上，再證明∠OCG＝∠F，于是得＝sinF＝，＝＝sinF＝，設(shè)OG＝3m，則OA＝OC＝4m，所以AG＝7m，CG＝＝m，的以AC＝＝2m＝8，求得m＝，則CF＝CG＝；
（3）延長AO交BD于點I，交BC于點Q，作IK⊥AB于點K，則∠AQF＝90°，BC＝2QC，由OC∥AD，BH＝4，DH＝3，得＝＝，BD＝7，即可證明＝＝，再證明∠ABE＝∠F，則＝＝sinF＝＝，再證明IE＝DE，設(shè)IE＝DE＝2n，則IB＝3n，BE＝5n，所以2n+2n+3n＝7，求得n＝1，則BE＝5，可求得＝sinF＝，設(shè)OQ＝2a，則OA＝OC＝3a，AQ＝5a，所以CQ＝＝a，則＝tan∠CBE＝tan∠CAQ＝，所以CE＝BE＝，求得S△CDB＝，則S△CDF＝S△CDB＝．
【解答】（1）證明：如圖①，作AG⊥BC于點G，則∠AGB＝∠AGC＝90°，
∵AC⊥BD交于點E，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CAG＝∠CBD＝90°﹣∠ACB，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAG＝∠CAD，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAG，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠ABG＝∠ACG，
∴AB＝AC．
（2）解：如圖①，連結(jié)OA、OB、OC，作CL⊥AF于點L，則∠CLF＝90°，
∵OB＝OA，OC＝OA，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∴AO與AG重合，即圓心O在△ABC的高AG上，
∵∠OCA＝∠CAG＝∠CAD，CG⊥AG，CL⊥AD，
∴OC∥AD，CG＝CL，
∴∠OCG＝∠F，
∴＝sin∠OCG＝sinF＝，＝＝sinF＝，
設(shè)OG＝3m，則OA＝OC＝4m，
∴AG＝OA+OG＝4m+3m＝7m，CG＝＝＝m，
∴AC＝＝＝2m，
∵AB＝AC＝8，
∴2m＝8，
解得m＝，
∴CF＝CG＝××＝，
∴CF的長為．
（3）解：如圖②，延長AO交BD于點I，交BC于點Q，作IK⊥AB于點K，則∠BKI＝90°，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，IK⊥AB，IE⊥AC，
∴AQ⊥BC，BQ＝CQ，IK＝IE，
∴∠AQF＝90°，BC＝2QC，
∵OC∥AD，BH＝4，DH＝3，
∴＝＝，BD＝BH+DH＝4+3＝7，
∴＝，
∵∠CAQ＝∠CAD，CQ⊥AQ，CP⊥AD，
∴QC＝PC，
∴＝＝，
設(shè)∠BAQ＝∠CAQ＝∠CAD＝α，
∵∠AEB＝∠AQF＝90°，
∴∠ABE＝∠F＝90°﹣2α，
∴＝＝sin∠ABE＝sinF＝＝，
∵∠AEI＝∠AED＝90°，AE＝AE，∠EAI＝∠EAD，
∴△EAI≌△EAD（ASA），
∴IE＝DE，
設(shè)IE＝DE＝2n，則IB＝3n，BE＝5n，
∴2n+2n+3n＝7，
解得n＝1，
∴BE＝5，
∵OC∥AD，
∴∠OCQ＝∠F，
∴＝sin∠OCQ＝sinF＝，
設(shè)OQ＝2a，則OA＝OC＝3a，AQ＝5a，
∴CQ＝＝＝a，
∵∠BEC＝∠AQC＝90°，∠CBE＝∠CAQ，
∴＝tan∠CBE＝tan∠CAQ＝＝＝，
∴CE＝BE＝×5＝，
∴S△CDB＝BD?CE＝×7×＝，
∵＝＝，
∴S△CDF＝S△CDB＝×＝，
∴三角形CDF的面積是＝．
【點評】此題重點考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:28；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學(xué)號：30479237

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