1. 若2x＝5y，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵2x＝5y，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，合比性質(zhì)，分比性質(zhì)，合分比性質(zhì)，等比性質(zhì)）．
2. 如圖，一塊矩形ABCD綢布的長(zhǎng)AB=a，寬AD=1，按照?qǐng)D中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式，求解后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，
，
解得或舍去，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
3. 如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B、C兩點(diǎn)恰好落在扇形AEF的弧EF上時(shí)，弧BC的長(zhǎng)度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接AC，根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式求解．
【詳解】連接AC，
∵菱形ABCD中，AB=BC，
又AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．
∴∠BAC=60°，
∴的長(zhǎng)是：，
故選C
【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形、等邊三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式的理解及運(yùn)用．
4. 為測(cè)量操場(chǎng)上籃筐的高AB，小明站在點(diǎn)Q處的眼睛P與地面的距離PQ為1.7米，與AB的距離PC為2.5米，若仰角∠APC為θ，則籃筐的高AB可表示為（ ）
A. （1.7+2.5tanθ）米B. （1.7+）米
C. （1.7+2.5sinθ）米D. （1.7+）米
【答案】A
【解析】
【分析】由題意得到PQ＝BC＝1.7米，PC＝2.5米，根據(jù)三角函數(shù)的定義解直角三角形即可得答案．
【詳解】由題意得，PQ＝BC＝1.7米，PC＝2.5米，
在Rt△APC中，∵∠APC＝θ，
∴tan∠APC＝tanθ＝，
∴AC＝2.5tanθ，
∴AB＝AC+BC＝（1.7+2.5tanθ）（米），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
5. 如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點(diǎn)．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【詳解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角的定義．
6. ⊙O的半徑為5，M是圓外一點(diǎn)，MO＝6，∠OMA＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. 6C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】過(guò)作于，連接，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理得出，最后求出答案即可．
【詳解】解：過(guò)作于，連接，則，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
過(guò)，
，
即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能熟記垂直于弦的直徑平分弦．
7. 如圖，正六邊形ABCDEF外作正方形DEGH，連接AH交DE于點(diǎn)O，則等于（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接BD，作交BH與點(diǎn)M，如圖所示：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則AB＝BC＝CD＝DE＝a，由正六邊形和正方形的性質(zhì)得：B、D、H三點(diǎn)共線(xiàn)，解直角三角形求出BD，再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解決問(wèn)題即可．
【詳解】解：如圖，連接BD，作交BH與點(diǎn)M，
設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠EDB=90°，，
∴，
同理可得∠ABD=90°，
∵四邊形EDHG是正方形，
∴∠EDH=90°，
∴B、H、D三點(diǎn)共線(xiàn)，OD∥AB，
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖（1），一只圓形平盤(pán)被同心圓劃成M，N，S三個(gè)區(qū)域，隨機(jī)向平盤(pán)中撒一把豆子，計(jì)算落在M，N，S三個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)的比．多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)落入三個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)的比顯示出一定的穩(wěn)定性，總在三個(gè)區(qū)域的面積之比附近擺動(dòng)．如圖（2）將一根筷子放在該盤(pán)中位置，發(fā)現(xiàn)三個(gè)圓弧剛好將五等分．我們把豆子落入三個(gè)區(qū)域的概率分別記作，，，已知，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查幾何概率，掌握幾何概率就是求幾何圖形的面積比是解題的關(guān)鍵，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，然后解出M部分面積與整個(gè)圓面積的比即為概率．
【詳解】解：如圖，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為，設(shè)，
，
∴，
解得：，，
∴M部分面積與整個(gè)圓面積的比：，
∴等于，
故選A．
9. 如果一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有一邊的長(zhǎng)度等于半徑，那么稱(chēng)其為該圓的“半徑三角形”．給出下面四個(gè)結(jié)論：
①一個(gè)圓的“半徑三角形”有無(wú)數(shù)個(gè)；
②一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；
③當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，或；
④若一個(gè)圓的半徑為，則它的“半徑三角形”面積最大值為．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓的“半徑三角形”的概念判斷①②；根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的概念判斷③；根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出的最大面積，判斷④．
【詳解】如圖，，即的長(zhǎng)度等于半徑，
，即的長(zhǎng)度等于半徑，
以為邊的圓的內(nèi)接三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，故①結(jié)論正確；
為等邊三角形，
，
當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，可能是，
一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形，直角三角形或鈍角三角形，故②正確；
由以上可知，可以是或，
當(dāng)，時(shí)，
，
當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，或，
故③正確；
過(guò)作于，
，
，
當(dāng)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
，
故④錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解本題的關(guān)鍵．
10. 當(dāng)時(shí)，將兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為一對(duì)“關(guān)聯(lián)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．若拋物線(xiàn)（c是常數(shù)）總存在一對(duì)“關(guān)聯(lián)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，將代入函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)a，b之間的關(guān)系，再表示出c即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由題知，將代入函數(shù)解析式得，
，
兩式相減得，，
又因?yàn)椋?br>所以，
則，
所以
所以，
又因?yàn)闀r(shí)，，與條件矛盾，
所以，
所以．
故選：D．
二、填空題（每題5分，共30分）
11. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________
【答案】
【解析】
【分析】將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】解：，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，為的兩條弦，若，則的半徑為 _____________．
【答案】5
【解析】
【分析】連接，作分別垂直于和，連接，設(shè)的半徑為r．可得四邊形P為矩形，從而得到，，在和中，根據(jù)勾股定理可得，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得，由此可得結(jié)論．
【詳解】解：連接，作分別垂直于和，連接，
設(shè)的半徑為r．
∵分別垂直于和，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
在和中，根據(jù)勾股定理得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
即的半徑為5．
故答案為：5
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，矩形性質(zhì)和判定等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
13. 如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，，若，則___________．
【答案】1：4
【解析】
【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)判斷，由相似三角形面積比等于相似比的平方得到，再由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例性質(zhì)得到，繼而解得，最后結(jié)合三角形面積公式解題即可．
【詳解】解：
與是等高三角形，設(shè)高為，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
14. 如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】連接、，設(shè)的圓心為O，連接并延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，求出，，，在上取點(diǎn)E，使，連接，證明，得出，，證明，得出，求出，代入數(shù)據(jù)得出，最后求出結(jié)果即可．
【詳解】：連接、，設(shè)圓心為O，連接并延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，如圖所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵的半徑為，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在上取點(diǎn)E，使，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
15. 貼春聯(lián)是中國(guó)傳統(tǒng)習(xí)俗，曉紅老家有個(gè)圓形拱門(mén)，每年都會(huì)貼上長(zhǎng)長(zhǎng)的春聯(lián)，看上去非常喜慶．曉紅用圓弧近似模擬拱門(mén)，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)、的拱高和其所對(duì)的弦都是2m，所對(duì)的圓心角是，弦與春聯(lián)的底端平齊，E點(diǎn)正好是春聯(lián)外側(cè)最高點(diǎn)，則春聯(lián)的外側(cè)長(zhǎng)度大約是______m．（參考數(shù)據(jù)；結(jié)果按四舍五入法精確到0.1）
【答案】1.9
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)E作于G，延長(zhǎng)交于F，過(guò)點(diǎn)F作于H，如圖，先利用垂徑定理與勾股定理，求得圓的半徑為，，在中，設(shè)，則，則，，再證明，得，解得：，求得，則，然后證明，得，即，求得的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于G，延長(zhǎng)交于F，過(guò)點(diǎn)F作于H，如圖，
∵的拱高和其所對(duì)的弦都是2m，
∴，，
設(shè)圓的半徑為，則，
由勾股定理，得，
解得：，
∴圓的半徑為，，
∵所對(duì)的圓心角是，即，
∴，
∴在中，設(shè)，則，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴春聯(lián)的外側(cè)長(zhǎng)度大約是．
故答案為：1.9．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，相似三角形判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．此題屬圓的綜合題目，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．
16. 已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），且．
（1）的值是_______．
（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，．若隨的增大而增大，則的取值范圍是_______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先求出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求出值；
（2）設(shè)，，表示出的長(zhǎng)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
解得，
，
即；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)為，點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)．
設(shè)，，
則，
∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴，
解得．
三、解答題（共3大題，共30分）
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值進(jìn)行求值即可．
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式．
【點(diǎn)睛】本題考查特殊角銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟知特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖1，已知二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)為，其頂點(diǎn)為．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將二次函數(shù)圖象平移，使其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，然后將其圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到拋物線(xiàn)，如圖2所示，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，為上位于直線(xiàn)左側(cè)一點(diǎn)，求面積最大值，及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）面積最大值為，
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求出拋物線(xiàn)，，，設(shè)：，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，得出，表示出，根據(jù)得出，求出最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：頂點(diǎn)，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
把0,3代入得：，
，
，
即；
【小問(wèn)2詳解】
解：二次函數(shù)平移后頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)頂點(diǎn)為，
則函數(shù)的解析式為：，
設(shè) 為 上一點(diǎn)，
繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
則由旋轉(zhuǎn)得，
則，，
，
若在軸左側(cè)同理可證成立，即滿(mǎn)足橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)的平方，
所以?huà)佄锞€(xiàn)，
把 代入，
，
解得：，；
則，，
設(shè)：，
過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
，
，
，
當(dāng) 時(shí)，有最大值，，
此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的基本性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、面積的計(jì)算、圖象的旋轉(zhuǎn)等，有一定的綜合性，難度較大．
19. 已知銳角內(nèi)接于，于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．連結(jié)，．
（1）直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖，連結(jié)，在上取點(diǎn)，使得，，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直的性質(zhì)可證，可得，，如圖所示，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，運(yùn)用圓的基礎(chǔ)知識(shí)可證， ，可得，由此即可求解；
（2）由（1）可得，，可證，可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，可求出，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可求出，再根據(jù)三角形的面積即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
如圖所示，連接，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，且，
中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
解得，或（不符合題意，舍去）或或（不符合題意，舍去），
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∵，
∴，，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

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這是一份2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書(shū)院九年級(jí)（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷-普通用卷，共19頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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