1．（3分）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎，交融于各族人民的社會生活，是各種民俗活動的重要組成部分．（摘自百度百科）下列剪紙圖片中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知等腰三角形的兩邊長分別為3cm、6cm，則該等腰三角形的周長是（ ）
A．12cmB．13cm
C．12cm或15cmD．15cm
3．（3分）已知a＞b，在下列四個不等式中，不正確的是（ ）
A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．﹣a+2＞﹣b+2C．2a＞2bD．1+4a＞1+4b
4．（3分）能說明“三角形的高線一定在三角形的內(nèi)部（含邊界）”是假命題的反例是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件：其中不能使△ABC≌△AED的條件（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
6．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
7．（3分）如圖，∠AOB＝30°，以點O為圓心，任意長為半徑作弧分別交OB，OA于點C，D，分別以點C，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，過E點作EF∥OB，EG⊥OB于點G，若OF＝2，則EG的長為（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分線，點P，點N分別是BD，AC邊上的動點，點M在BC上，且BM＝1，則PM+PN的最小值為（ ）
A．3B．C．3.5D．
9．（3分）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA＝1，，OC＝2，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．點O與O'的距離為B．∠AOC＝150°
C．D．
10．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖①，以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，再把較小的兩個等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)．若知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中（ ）
A．最大等邊三角形與直角三角形面積的和
B．最大等邊三角形的面積
C．較小兩個等邊三角形重疊部分的面積
D．直角三角形的面積
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
11．（3分）命題“對頂角相等”的逆命題是 ．
12．（3分）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，則a的取值范圍是 ．
13．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、P是網(wǎng)格線的交點，則∠PAB+∠PBA＝ °．
14．（3分）如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點P，則△PBC的面積為 cm2．
15．（3分）已知△ABC中有一個內(nèi)角是30°，AB＝AC，AB邊上的中垂線交直線BC于點D，連結(jié)AD，則∠DAC＝ ．
16．（3分）如圖，圖1是一個兒童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如圖2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中點，小周測得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通過計算，他知道了滑道NC長為 米．
三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）
17．（6分）（1）解不等式5x+2≤4+3x；
（2）解不等式組：．
四、解答題（本大題共6小題，共46.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
18．（6分）在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，請在甲，乙，丙三個方格圖中，分別按照要求畫一個格點三角形（三個頂點都在格點上的三角形叫格點三角形）．
（1）請在圖甲中作△DEF與△ABC全等．
（2）請在圖乙中作格點三角形與△ABC全等，且所作的三角形有一條邊經(jīng)過MN的中點．
（3）請在圖丙中作格點△PQR與△ABC不全等但面積相等．
19．（6分）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，點C在線段DE上，且AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE；
（2）在（1）的條件下，若∠E＝70°，求∠BAD的度數(shù)．
20．（8分）如圖，將長方形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，EC交AD于點F．
（1）求證：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DF的長．
21．（8分）隨著人們生活質(zhì)量的提高，凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭，某電器公司銷售每臺進價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器，下表是近兩周的銷售情況：
（1）求A，B兩種型號的凈水器的銷售單價；
（2）若電器公司準備用不多于54000元的金額在采購這兩種型號的凈水器共30臺，求A種型號的凈水器最多能采購多少臺？
（3）在（2）的條件下，公司銷售完這30臺凈水器能否實現(xiàn)利潤為12800元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．
22．（8分）概念學習
規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．
從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．
理解概念
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”．
概念應用
（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．
求證：CD為△ABC的等角分割線．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．
23．（10分）【閱讀材料】證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的性質(zhì)．如果兩條線段不在同一個三角形中，且所在三角形明顯不全等，此時就需要添加輔助線來構(gòu)造全等三角形．
（1）【理解應用】如圖1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且CD＞BD，連接AD，小明對△ABC進行了如下操作：在CD上取一點E，使得AE＝AD，連接AE，則可證明△ABD≌△ACE，請你補充小明操作過程的證明；
（2）【類比探究】如圖2，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC＝180°，求證：CD＝CB；
（3）【拓展應用】如圖3，已知△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點E在CA的延長線上，且AE＝1.5cm，連接EB，在線段BC上取點F，連接EF，使得EB＝EF，求BF的長．
2023-2024學年浙江省寧波市鄞州區(qū)十二校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1．（3分）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎，交融于各族人民的社會生活，是各種民俗活動的重要組成部分．（摘自百度百科）下列剪紙圖片中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：B，C，D選項中的剪紙圖都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的剪紙圖能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）已知等腰三角形的兩邊長分別為3cm、6cm，則該等腰三角形的周長是（ ）
A．12cmB．13cm
C．12cm或15cmD．15cm
【分析】分類討論：底邊為3cm，底邊為6cm，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案．
【解答】解：底邊為3cm，腰長為6cm，這個三角形的周長是3+6+6＝15cm，
底邊為6cm，腰長為3cm，3+3＝6，不能以6cm為底構(gòu)成三角形，
故該等腰三角形的周長是15cm．
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，分類討論是解題關(guān)鍵．
3．（3分）已知a＞b，在下列四個不等式中，不正確的是（ ）
A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．﹣a+2＞﹣b+2C．2a＞2bD．1+4a＞1+4b
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：A、不等式的兩邊都減去3，不等號的方向不變，原變形正確，故此選項不符合題意；
B、不等式的兩邊都乘以﹣1，不等號的方向改變，再在不等式的兩邊都加上2，不等號的方向不變，原變形不正確，故此選項符合題意；
C、不等式的兩邊都乘以2，不等號的方向不變，原變形正確，故此選項不符合題意；
D、不等式的兩邊都乘以4，不等號的方向不改變，再在不等式的兩邊都加上1，不等號的方向不變，原變形正確，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
4．（3分）能說明“三角形的高線一定在三角形的內(nèi)部（含邊界）”是假命題的反例是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到三角形的高線在三角形的外部的選項即可．
【解答】解：能說明“三角形的高線一定在三角形的內(nèi)部（含邊界）”是假命題的反例是：
故選：C．
【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解能判斷一個命題是假命題的方法是舉出反例，難度不大．
5．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件：其中不能使△ABC≌△AED的條件（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠CAB＝∠DAE，然后再結(jié)合判定兩個三角形全等的一般方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分別進行分析．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
A、添加AB＝AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；
B、添加CB＝DE不能判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；
C、添加∠C＝∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；
D、添加∠B＝∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
6．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故選：C．
【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，∠AOB＝30°，以點O為圓心，任意長為半徑作弧分別交OB，OA于點C，D，分別以點C，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，過E點作EF∥OB，EG⊥OB于點G，若OF＝2，則EG的長為（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【分析】過點E作EH⊥OA于點H，結(jié)合角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)可得∠EOF＝∠OEF＝15°，進而可得∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，則EH＝EF＝1，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EG＝EH，即可得出答案．
【解答】解：過點E作EH⊥OA于點H，
由題意可知，OE為∠AOB的角平分線，
∴∠BOE＝∠AOE＝∠AOB＝15°，EG＝EH，
∵EF∥OB，
∴∠BOE＝∠FEO，
∴∠EOF＝∠OEF＝15°，
∴∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，
在Rt△EFH中，∠EFH＝30°，
則EH＝EF＝1，
∴EG＝1．
故選：D．
【點評】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分線，點P，點N分別是BD，AC邊上的動點，點M在BC上，且BM＝1，則PM+PN的最小值為（ ）
A．3B．C．3.5D．
【分析】作點M關(guān)于BD的對稱點M'，連接PM'，則PM'＝PM，BM＝BM'＝1，當N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時，PN+PM'的最小值等于垂線段M'N的長，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到PM+PN的最小值．
【解答】解：如圖所示，作點M關(guān)于BD的對稱點M'，連接PM'，則PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
當N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時，PN+PM'的最小值等于垂線段M'N的長，
此時，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值為 3，
故選：A．
【點評】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
9．（3分）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA＝1，，OC＝2，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．點O與O'的距離為B．∠AOC＝150°
C．D．
【分析】由旋轉(zhuǎn)得∠OBO′＝60°，O′B＝OB＝，O′A＝OC＝2，則△OBO′是正三角形，所以OO′＝OB＝，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，可判斷A正確；由OA2+OO′2＝O′A2＝4，證明∠AOO′＝90°，因為OA＝O′A，所以∠OO′A＝30°，則∠BO′A＝90°，∠AOB＝150°，所以∠AOC＝120°，可判斷B錯誤；作BE⊥AO交AO的延長線于點E，因為∠BOE＝180°﹣∠AOB＝30°，所以BE＝OB＝，可求得S△AOB＝，可判斷C正確；因為S△AO′B＝O′A?O′B＝，所以S四邊形AOBO′＝S△AO′B+S△AOB＝，可判斷D正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴AB＝CB，
由旋轉(zhuǎn)得△BO′A≌△BOC，∠OBO′＝60°，
∴O′B＝OB＝，O′A＝OC＝2，
∴△OBO′是正三角形，
∴OO′＝OB＝，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
故A正確；
∵OA2+OO′2＝12+（）2＝4，O′A2＝22＝4，
∴OA2+OO′2＝O′A2，
∴△AOO′是直角三角形，且∠AOO′＝90°，
∵OA＝O′A，
∴∠OO′A＝30°，
∴∠BO′A＝∠BOC＝60°+30°＝90°，∠AOB＝60°+90°＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣150°＝120°，
故B錯誤；
作BE⊥AO交AO的延長線于點E，則∠E＝90°，
∵∠BOE＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴BE＝OB＝，
∴S△AOB＝OA?BE＝×1×＝，
故C正確；
∵S△AO′B＝O′A?O′B＝×2×＝，
∴S四邊形AOBO′＝S△AO′B+S△AOB＝+＝，
故D正確，
故選：B．
【點評】此題重點考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、直角三角形中30°角的對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖①，以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，再把較小的兩個等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)．若知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中（ ）
A．最大等邊三角形與直角三角形面積的和
B．最大等邊三角形的面積
C．較小兩個等邊三角形重疊部分的面積
D．直角三角形的面積
【分析】設三個等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3，則有S1+S2＝S3，利用三角形面積的和與差可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，
以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，設它們的面積分別為S1、S2、S3，則有S1+S2＝S3，
∴S1+S2+S陰影＝S3+S△EFG，
∴S陰影＝S△EFG，
即知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中較小兩個等邊三角形重疊部分的面積，
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的證明和三角形的面積，直觀識圖是關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
11．（3分）命題“對頂角相等”的逆命題是 相等的角為對頂角 ．
【分析】交換原命題的題設與結(jié)論即可得到其逆命題．
【解答】解：命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的角為對頂角”．
故答案為：相等的角為對頂角．
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結(jié)論兩部分組成，題設是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．也考查了逆命題．
12．（3分）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，則a的取值范圍是 a＜1 ．
【分析】先根據(jù)不等式的解集是x＞1得出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，
∴a﹣1＜0，解得a＜1．
故答案為：a＜1．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、P是網(wǎng)格線的交點，則∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC＝45°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：延長AP至C，連接BC，
CP＝CB＝＝，
BP＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，即CP2+CB2＝BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠BPC＝45°．
故答案為：45．
【點評】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到△PCB是等腰直角三角形．
14．（3分）如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點P，則△PBC的面積為 4 cm2．
【分析】延長AP交BC于E，根據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積＝S△ABC．
【解答】解：延長AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分線BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故答案為：4．
【點評】本題主要考查面積及等積變換的知識點．證明出三角形PBC的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解題的難點．
15．（3分）已知△ABC中有一個內(nèi)角是30°，AB＝AC，AB邊上的中垂線交直線BC于點D，連結(jié)AD，則∠DAC＝ 90°或45° ．
【分析】分30°是底角和30°的角是頂角兩種情況討論，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∠B＝30°是底角，如圖1：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵AB邊上的中垂線交直線BC于點D，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝30°+30°＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
∠BAC＝30°的角是頂角，如圖2：
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵AB邊上的中垂線交直線BC于點D，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ADC＝15°+15°＝30°，
∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．
故∠DAC＝90°或45°．
故答案為：90°或45°．
【點評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，注意分類思想的應用，難度不大．
16．（3分）如圖，圖1是一個兒童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如圖2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中點，小周測得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通過計算，他知道了滑道NC長為 米．
【分析】連接FN，過N作NG⊥CF于G，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得FN＝DC＝CN，再由等腰三角形的性質(zhì)得FG＝CG＝CF＝4米，然后由勾股定理得NG＝米，即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接FN，過N作NG⊥CF于G，
∵FM＝2米，MC＝6米，
∴CF＝FM+MC＝8（米），
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵N是滑道DC的中點，
∴FN＝DC＝CN，
∵NG⊥CF，
∴FG＝CG＝CF＝4（米），
∴MG＝FG﹣FM＝4﹣2＝2（米），
在Rt△MNG中，由勾股定理得：NG＝＝＝（米），
在Rt△CNG中，由勾股定理得：NC＝＝＝（米），
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理的應用、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學知識，屬于中考常考題型．
三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）
17．（6分）（1）解不等式5x+2≤4+3x；
（2）解不等式組：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟進行計算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．
【解答】解：（1）5x+2≤4+3x，
5x﹣3x≤4﹣2，
2x≤2，
x≤1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2．
【點評】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共6小題，共46.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
18．（6分）在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，請在甲，乙，丙三個方格圖中，分別按照要求畫一個格點三角形（三個頂點都在格點上的三角形叫格點三角形）．
（1）請在圖甲中作△DEF與△ABC全等．
（2）請在圖乙中作格點三角形與△ABC全等，且所作的三角形有一條邊經(jīng)過MN的中點．
（3）請在圖丙中作格點△PQR與△ABC不全等但面積相等．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定作出圖形即可；
（2）根據(jù)要求作出圖形即可；
（3）利用等高模型作出圖形即可．
【解答】解：（1）如圖甲中，△DEF即為所求；
（2）如圖乙中，△DEF即為所求；
（3）如圖丙中，△PQR即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于直徑?？碱}型．
19．（6分）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，點C在線段DE上，且AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE；
（2）在（1）的條件下，若∠E＝70°，求∠BAD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)ASA可證明△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案．
【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝70°，
∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明△ABC≌△ADE是解本題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，將長方形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，EC交AD于點F．
（1）求證：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DF的長．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠E＝∠B，AB＝AE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝CF，EF＝DF，根據(jù)勾股定理得到DF＝3．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，
∴∠E＝∠B，AB＝AE，
∴AE＝CD，∠E＝∠D，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵AB＝4，BC＝8，
∴CE＝BC＝8，AE＝CD＝AB＝4，
∵△AEF≌△CDF，
∴AF＝CF，EF＝DF，
在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2，即DF2+42＝（8﹣DF）2，
解得DF＝3，
【點評】本題主要考查圖形的折疊，第一問解題關(guān)鍵是利用在折疊過程中對應邊和對應角相等，第二問的解題關(guān)鍵是借助直角三角形中勾股定理求解．
21．（8分）隨著人們生活質(zhì)量的提高，凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭，某電器公司銷售每臺進價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器，下表是近兩周的銷售情況：
（1）求A，B兩種型號的凈水器的銷售單價；
（2）若電器公司準備用不多于54000元的金額在采購這兩種型號的凈水器共30臺，求A種型號的凈水器最多能采購多少臺？
（3）在（2）的條件下，公司銷售完這30臺凈水器能否實現(xiàn)利潤為12800元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．
【分析】（1）設A、B兩種型號凈水器的銷售單價分別為x元、y元，根據(jù)3臺A型號5臺B型號的凈水器收入18000元，4臺A型號10臺B型號的凈水器收入31000元，列方程組求解；
（2）設采購A種型號凈水器a臺，則采購B種型號凈水器（30﹣a）臺，根據(jù)金額不多余54000元，列不等式求解；
（3）設利潤為12800元，列方程求出a的值，符合（2）的條件，可知能實現(xiàn)目標．
【解答】解：（1）設A、B兩種凈水器的銷售單價分別為x元、y元，
依題意得：，
解得：．
答：A、B兩種凈水器的銷售單價分別為2500元、2100元．
（2）設采購A種型號凈水器a臺，則采購B種凈水器（30﹣a）臺．
依題意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，
解得：a≤10．
故超市最多采購A種型號凈水器10臺時，采購金額不多于54000元．
（3）依題意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）＝12800，
解得：a＝8，
答：采購A種型號凈水器8臺，采購B種型號凈水器22臺，公司能實現(xiàn)利潤12800元的目標．
【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．
22．（8分）概念學習
規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．
從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．
理解概念
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”．
概念應用
（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．
求證：CD為△ABC的等角分割線．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“等角三角形”的定義解答；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根據(jù)“等角三角形”的定義證明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算．
【解答】解：（1）△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD為角平分線，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD為△ABC的等角分割線；
（3）當△ACD是等腰三角形，如圖2，DA＝DC時，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
當△ACD是等腰三角形，如圖，3，DA＝AC時，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
當△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情況不存在，
當△BCD是等腰三角形，如圖4，DC＝BD時，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，
當△BCD是等腰三角形，如圖5，DB＝BC時，∠BDC＝∠BCD，
設∠BDC＝∠BCD＝x，
則∠B＝180°﹣2x，
則∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由題意得，180°﹣2x+42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
當△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情況不存在，
∴∠ACB的度數(shù)為111°或84°或106°或92°．
【點評】本題“等角三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）【閱讀材料】證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的性質(zhì)．如果兩條線段不在同一個三角形中，且所在三角形明顯不全等，此時就需要添加輔助線來構(gòu)造全等三角形．
（1）【理解應用】如圖1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且CD＞BD，連接AD，小明對△ABC進行了如下操作：在CD上取一點E，使得AE＝AD，連接AE，則可證明△ABD≌△ACE，請你補充小明操作過程的證明；
（2）【類比探究】如圖2，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC＝180°，求證：CD＝CB；
（3）【拓展應用】如圖3，已知△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點E在CA的延長線上，且AE＝1.5cm，連接EB，在線段BC上取點F，連接EF，使得EB＝EF，求BF的長．
【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；
（2）由“SAS”可證△ADC≌△AEC，可得CD＝CE，∠ADC＝∠AEC，可證∠ABC＝∠CEB，可得CB＝CE，即可求解；
（3）由“AAS”可證△ABE≌△MEF，可得AE＝MF，即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDA＝∠DEA，
∴∠BDA＝∠CEA．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）證明：如圖2，在AB上截使AD＝AE，連接CE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝∠DAC．
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴EC＝DC，∠ADC＝∠AEC．
∵∠ABC+∠ADC＝180°＝∠CEB+∠AEC，
∴∠ABC＝∠CEB，
∴CB＝CE，
∴CD＝CB；
（3）解：∵EF＝EB，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠EBF＝∠EBA+60°，∠EFB＝∠FEC+60°，
∴∠EBA＝∠FEC，
如圖3，在AC上取一點M，連接FM，使FM＝CF．
∵∠ACB＝60°，
∴△CFM是等邊三角形，
∴∠CMF＝60°，
∴∠BAE＝∠EMF＝120°．
在△ABE和△MEF中，
∴△ABE≌△MEF（AAS），
∴AE＝MF，
∵FM＝CF，
∴CF＝AE＝1.5cm，
∵BC＝5cm，
∴BF＝BC﹣CF＝3.5cm．
∴BF的長為3.5cm．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:50；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學號：30479237銷售時段
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A種型號
B種型號
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3臺
5臺
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