1．（3分）在以下“綠色食品、響應(yīng)環(huán)保、可回收物、節(jié)水”四個標(biāo)志圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣2023，2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．（3分）不等式x+2＞﹣1的解集為（ ）
A．x＞﹣3B．x＞1C．x＜﹣3D．x＜1
4．（3分）對于命題“|a|＝a（a為實數(shù)）”，能說明它是假命題的反例是（ ）
A．a(chǎn)＝﹣2B．a(chǎn)＝0C．a(chǎn)＝D．a(chǎn)＝2
5．（3分）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（3分）已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（ ）
A．17或22B．22C．17D．13
7．（3分）設(shè)a＜b，則下面不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)2＜b2B．2﹣a＜2﹣bC．+1＜+1D．3a﹣3＞3b﹣3
8．（3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點M，頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，3），（1，1）、（3，1），規(guī)定把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位稱為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，點M的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）
A．（2024，2）B．（2024，﹣2）C．（2025，2）D．（2025，﹣2）
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB為邊向上作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，點E落在GF上，連結(jié)CD，DF．若要求出五邊形ACDFE的面積，則只要知道（ ）
A．AB的長B．AC的長
C．△ABC的面積D．△DEF的面積
10．（3分）如圖，AD為△ABC的高，點H為AC的垂直平分線與BC的交點，點F為BC上一點，若∠B＝2∠C，且AC＝AB+BF．則的值為（ ）
A．1B．2C．1.5D．3
二.填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）點P（3，﹣4）關(guān)于y軸對稱所得點P′的坐標(biāo)為 ．
12．（4分）x與3的差的一半是正數(shù)，用不等式表示為 ．
13．（4分）寫出“全等三角形的面積相等”的逆命題是 ；這個逆命題是 命題（填“真”或“假”）．
14．（4分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點E是AB的中點，若AC＝8，則DE的長為 ．
15．（4分）關(guān)于x的不等式組的解集中任意一個x的值均不在﹣2≤x≤4的范圍內(nèi)，則a的取值范圍是 ．
16．（4分）如圖三條直線l1，l2，l3互相平行，且l1與l2的距離為2，l2與l3的距離為4，等邊△ABC的三個頂點分別在三條平行線上，則等邊△ABC的面積為 ．
三.解答題（本大題共8小題，17題8分，18、19題各6分，20、21、22題各8分，23題10分，24題12分，共66分）
17．（8分）（1）解不等式：2x﹣3≤1，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）解不等式組．
18．（6分）如圖，點C是線段BD上一點，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．求證：∠A＝∠D．
19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，沿AD折疊，使點C落在AB邊上的點E處．
（1）BC＝ ；
（2）求線段CD的長．
20．（8分）△ABC在方格紙中的位置如圖所示，方格紙中的每個小正方形的邊長為1個單位，
（1）將△ABC向下平移8個單位后得到△A1B1C1，請你在圖中畫出△A1B1C1；分別寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）y軸上存在點M，使得MB+MC的值最小，請標(biāo)出M點的位置，則MB+MC的最小值為 ．
21．（8分）國家一直倡導(dǎo)節(jié)能減排，改善環(huán)境，大力扶持新能源汽車的銷售，某汽車專賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車．上周售出1輛A型車和3輛B型車，銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元．
（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少萬元？
（2）甲公司擬向該店購買A，B兩種型號的新能源汽車共6輛，且A型號車不少于2輛，購車費(fèi)不少于120萬元，則有哪幾種購車方案？
22．（8分）如圖，已知點P是等邊△ABC內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，D為△ABC外一點，且∠DAP＝60°，連接DP，DC，AD＝DP．
（1）求證：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度數(shù)．
23．（10分）定義：若連結(jié)三角形一個頂點和對邊上一點的線段能把該三角形分成一個等腰三角形和一個直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的仁智線，這個三角形叫做仁智三角形．
（1）如圖1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD為該三角形的仁智線，CD＝1，，則∠B的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點，連接AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形AFE（點A，F(xiàn)，E按順時針排列），∠EAF＝90°，AE交BC于點D，連接EC，EB．當(dāng)∠BDE＝2∠BCE時，求證：ED是△EBC的仁智線；
（3）如圖3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC為仁智線，請同學(xué)們把圖形補(bǔ)充完整，并求△BCD的面積．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，△ABC的邊BC在x軸上，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），一動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線BO勻速運(yùn)動，設(shè)點P運(yùn)動時間為t秒．
（1）△ABC的面積＝ ；
（2）若點P恰好線段AB的垂直平分線上，求此時t的值；
（3）當(dāng)點P在線段BO上運(yùn)動時，在y軸的正半軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并求出此時點Q的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（4）連結(jié)PA，若△PAB為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)仁愛中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）在以下“綠色食品、響應(yīng)環(huán)保、可回收物、節(jié)水”四個標(biāo)志圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握好軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣2023，2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點解答即可．
【解答】解：∵﹣2023＜0，2024＞0，
∴點（﹣2023，2024）在第二象限．
故選：B．
【點評】本題考查的是點的坐標(biāo)，熟知各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）不等式x+2＞﹣1的解集為（ ）
A．x＞﹣3B．x＞1C．x＜﹣3D．x＜1
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接求解即可．
【解答】解：x+2＞﹣1，
解得：x＞﹣3，
故選：A．
【點評】本題考查了求一元一次不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）對于命題“|a|＝a（a為實數(shù)）”，能說明它是假命題的反例是（ ）
A．a(chǎn)＝﹣2B．a(chǎn)＝0C．a(chǎn)＝D．a(chǎn)＝2
【分析】反例就是滿足條件，但是不滿足結(jié)論．根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，a取任何一個負(fù)數(shù)都可以．
【解答】解：∵負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，
∴任何一個負(fù)數(shù)都可以，a＝﹣2符合題意，
故選：A．
【點評】本題考查了反例，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即：正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值是0．
5．（3分）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過直線外一點P作已知直線的垂線的作法進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】解：①作一個角等于已知角的方法正確；
②作一個角的平分線的作法正確；
③作一條線段的垂直平分線缺少另一個交點，作法錯誤；
④過直線外一點P作已知直線的垂線的作法正確．
故選：C．
【點評】此題主要考查了基本作圖，正確把握作圖方法是解題關(guān)鍵．
6．（3分）已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（ ）
A．17或22B．22C．17D．13
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)腰為4時，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)腰為9時，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4＝22．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）設(shè)a＜b，則下面不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)2＜b2B．2﹣a＜2﹣bC．+1＜+1D．3a﹣3＞3b﹣3
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．
【解答】解：A．當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2時，符合a＜b，但是此時a2＞b2，故本選項不符合題意；
B．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，故本選項不符合題意；
C．∵a＜b，
∴＜，
∴+1+1，故本選項符合題意；
D．∵a＜b，
∴3a＜3b，
∴3a﹣3＜3b﹣3，本選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，①不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變，②不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，③不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
8．（3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點M，頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，3），（1，1）、（3，1），規(guī)定把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位稱為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，點M的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）
A．（2024，2）B．（2024，﹣2）C．（2025，2）D．（2025，﹣2）
【分析】先根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出M的初始坐標(biāo)為（2，2），再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)結(jié)合點坐標(biāo)平移的特點找到M經(jīng)過變換后點的坐標(biāo)規(guī)律即可得到答案，
【解答】解：∵正方形的頂點A，B，C分別是（1，3），（1，1）、（3，1），
∴正方形的對角線的交點M（2，2），
∵把正方形先沿x軸翻折，再向右平移1個單位為一次變換，
∴第一次變換后M的坐標(biāo)為（2+1，﹣2），即（3，﹣2），
則第二次變換后M的坐標(biāo)為（2+2，2），即（4，2），
第三次變換后M的坐標(biāo)為（2+3，﹣2），即（5，﹣2），
…，
第n三次變換后M的坐標(biāo)為：當(dāng)n為奇數(shù)時（2+n，﹣2），當(dāng)n為偶數(shù)時（2+n，2），
∴連續(xù)經(jīng)過第2023次時，點M的坐標(biāo)為（2+2023，﹣2），即（2025，﹣2），
故選：D．
【點評】本題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探索，坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱和平移，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB為邊向上作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，點E落在GF上，連結(jié)CD，DF．若要求出五邊形ACDFE的面積，則只要知道（ ）
A．AB的長B．AC的長
C．△ABC的面積D．△DEF的面積
【分析】證明△ABC≌△AEG（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出S△ABC＝S△AEG，過點D作DH⊥BF于點H，則∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，證明△ABC≌△BDH（AAS），得出BC＝DH，由三角形面積公式可證出S△DCF＝CF?DH＝BC?AB＝S△ABC，則可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵四邊形ACFG是正方形，
∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠CAG＝90°，
∴∠CAB＝∠EAG，
在△ABC和△AEG中，
，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴S△ABC＝S△AEG，
過點D作DH⊥BF于點H，則∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴BC＝DH，
∴S△DCF＝CF?DH＝BC?AB＝S△ABC，
∴五邊形ACDFE的面積＝S△DCF+S正方形ACFG﹣S△AEG＝S正方形ACFG，
故只要知道AC的長即可求出五邊形ACDFE的面積．
故選：B．
【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，證明△ABC≌△AEG是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，AD為△ABC的高，點H為AC的垂直平分線與BC的交點，點F為BC上一點，若∠B＝2∠C，且AC＝AB+BF．則的值為（ ）
A．1B．2C．1.5D．3
【分析】先利用垂直平分線得出AH＝CH，進(jìn)而得出，∠AHB＝2∠C即可得出結(jié)論；設(shè)出∠ACB＝α，得出∠B＝2α，∠DAF＝α，再判斷出△ABF≌△CHG（SAS）得出∠BAF＝∠HCG，∠AFB＝∠G，進(jìn)而得出∠ACG＝∠G，得出BD＝DH，等量代換即可得出AC﹣FC＝2DF即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接AH并延長至G使HG＝BF，
∵點H為AC的垂直平分線與BC的交點，
∴AH＝CH，
∴∠CAH＝∠C，
∴∠AHB＝2∠C，
∵HC＝AB，
∴AB＝AH，
∴∠B＝∠AHB＝2∠C設(shè)∠ACB＝α，
∵∠B＝2∠C＝∠AHB＝2α，
∵∠AHB＝∠CHG，
∴∠B＝∠CHG＝2α，
∵2∠DAF＝∠B﹣∠ACB＝2α﹣α＝α，
∴∠DAF＝α，
在△ABF和△CHG中，，
∴△ABF≌△CHG（SAS），
∴∠BAF＝∠HCG，∠AFB＝∠G，
在Rt△ABD中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣2α，
∴∠HCG＝∠BAF＝∠BAD+∠DAF＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACG＝∠ACB+∠HCG＝α+90°﹣α＝90°﹣α，
在△ABF中，∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ACG＝∠G，
∴AC＝AG＝AH+HG＝AB+BF；
CH＝AH＝AB，
∵AH＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DH，
由（2）①知，AC＝AB+BF＝CH+BD+DF
∵FC＝CD﹣DF＝CH+DH﹣DF＝CH+BD﹣DF
∴AC﹣FC＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DF）＝2DF，
∴＝＝2．
故選：B．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，找出角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
二.填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）點P（3，﹣4）關(guān)于y軸對稱所得點P′的坐標(biāo)為 （﹣3，﹣4） ．
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)”進(jìn)行解答即可．
【解答】解：點P（3，﹣4）關(guān)于y軸對稱的點P′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4），
故答案為：（﹣3，﹣4）．
【點評】本題考查軸對稱與點的坐標(biāo)變化，正確記憶對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（4分）x與3的差的一半是正數(shù)，用不等式表示為 ．
【分析】先將x與3的差的一半表示為，根據(jù)正數(shù)即是大于0的數(shù)，再用不等號連接起來即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，
故答案為：．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列出不等式．
13．（4分）寫出“全等三角形的面積相等”的逆命題是 面積相等的兩個三角形為全等三角形 ；這個逆命題是 假 命題（填“真”或“假”）．
【分析】根據(jù)全等三角形的概念判斷即可．
【解答】解：原命題的逆命題為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，則這個命題為假命題．
故答案為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，假．
【點評】本題考查了命題的真假性，根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，
14．（4分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點E是AB的中點，若AC＝8，則DE的長為 4 ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得D是BC的中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中點，且AD⊥BC，
∵E是AB的中點，
∴DE是Rt△ABD斜邊上的中線，
∵AC＝8，
∴．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)．熟練掌握中線性質(zhì)是關(guān)鍵．
15．（4分）關(guān)于x的不等式組的解集中任意一個x的值均不在﹣2≤x≤4的范圍內(nèi)，則a的取值范圍是 a≤﹣5或a≥5 ．
【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)已知得出關(guān)于a的不等式組，求出不等式組的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞a+1，
解不等式②得：x＜a+3，
∴不等式組的解集為a﹣1＜x＜a+3，
∵關(guān)于x的不等式組的解集中每一個值均不在﹣2≤x＜4的范圍內(nèi)，
∴a+3≤﹣2或a﹣1≥4，
解得：a≤﹣5或a≥5，
故答案為：a≤﹣5或a≥5．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式組的解集和已知得出關(guān)于a的不等式組是解此題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖三條直線l1，l2，l3互相平行，且l1與l2的距離為2，l2與l3的距離為4，等邊△ABC的三個頂點分別在三條平行線上，則等邊△ABC的面積為 ．
【分析】．過A，C作AE，CF垂直于l2，點E，F(xiàn)是垂足，將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長DA交l2于點G，直角三角形的性質(zhì)先后求得AG＝4，DG＝8，，再求得等邊△ABC的邊長，進(jìn)一步計算可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過A，C作AE，CF垂直于l2，點E，F(xiàn)是垂足，
將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長DA交l2于點G．
由作圖可知：∠DBG＝60°，AD＝CF＝4，
在Rt△BDG中，∠BGD＝30°，
在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，AE＝2，
∴AG＝4，DG＝8，
在Rt△BDG中，∠BGD＝30°，DG＝8，
∴BG＝2BD，82+DB2＝（2DB）2，
解得，
在Rt△ABD中，，
AB邊上的高為，
∴等邊△ABC的面積為，
故答案為：．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（本大題共8小題，17題8分，18、19題各6分，20、21、22題各8分，23題10分，24題12分，共66分）
17．（8分）（1）解不等式：2x﹣3≤1，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）解不等式組．
【分析】（1）去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)華晨1即可求解；
（2）首先解每個不等式，兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：（1）2x﹣3≤1，
移項，得2x≤1+3，
合并同類項，得2x≤4，
系數(shù)化成1得x≤2．
在數(shù)軸上表示如下：
；
（2），
解（1）得：x＞，
解②得：x≤4，
∴不等式組的解集是：＜x≤4．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18．（6分）如圖，點C是線段BD上一點，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．求證：∠A＝∠D．
【分析】根據(jù)AB∥CE得到∠B＝∠ECD，再用SAS證明△ABC≌△DCE，最后根據(jù)性質(zhì)即可求證．
【解答】證明：∵AB∥CE，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用．
19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，沿AD折疊，使點C落在AB邊上的點E處．
（1）BC＝ 16 ；
（2）求線段CD的長．
【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可得CD＝DE，利用面積法求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，
∴，
故答案為：16；
（2）∵將△ABC沿AD折疊，
∴CD＝DE，
設(shè)CD＝DE＝x，
則，
即12×16＝12x+20x，
解得x＝6，即CD＝6．
【點評】本題主要考查了折疊問題，解決問題的關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)可得CD＝DE，利用面積法求解．
20．（8分）△ABC在方格紙中的位置如圖所示，方格紙中的每個小正方形的邊長為1個單位，
（1）將△ABC向下平移8個單位后得到△A1B1C1，請你在圖中畫出△A1B1C1；分別寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）y軸上存在點M，使得MB+MC的值最小，請標(biāo)出M點的位置，則MB+MC的最小值為 ．
【分析】（1）A、B、C向下平移8個單位后得到A1、B1、C1，連接各點即可，
（2）找C（﹣3，1）關(guān)于y軸的對稱點D（3，1），連接BD，交y軸于點M，利用兩點之間線段最短即可．
【解答】解：（1）A（0，6）、B（﹣6，3）、C（﹣3，1）向下平移8個單位后得到A1（0，﹣2），B1（﹣6，﹣5），C1（﹣3，﹣7）連接各點即可，如圖1，
∴△A1B1C1即為所求，A1（0，﹣2），B1（﹣6，﹣5），C1（﹣3，﹣7）；
（2）找C（﹣3，1）關(guān)于y軸的對稱點D（3，1），連接BD，交y軸于點M，如圖2，
∵在網(wǎng)格可知：MC＝MD，
∴MB+MC＝BD，
∴點M即為所求的點，使得MB+MC最小，
此時，
故答案為：．
【點評】本題考查作圖﹣平移變換，勾股定理，軸對稱﹣最短路線問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，正確作出圖形．
21．（8分）國家一直倡導(dǎo)節(jié)能減排，改善環(huán)境，大力扶持新能源汽車的銷售，某汽車專賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車．上周售出1輛A型車和3輛B型車，銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元．
（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少萬元？
（2）甲公司擬向該店購買A，B兩種型號的新能源汽車共6輛，且A型號車不少于2輛，購車費(fèi)不少于120萬元，則有哪幾種購車方案？
【分析】（1）設(shè)每輛A型車的售價為x萬元，B型車的售價為y萬元，根據(jù)“上周售出1輛A型車和3輛B型車，銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)m輛A型車，則購進(jìn)（6﹣m）輛B型車，根據(jù)“A型車不少于2輛，購車費(fèi)不少于120萬元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可求出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各購車方案．
【解答】解：（1）設(shè)每輛A型車的售價為x萬元，B型車的售價為y萬元，
依題意得：，
解得：．
答：每輛A型車的售價為18萬元，B型車的售價為26萬元．
（2）設(shè)購進(jìn)m輛A型車，則購進(jìn)（6﹣m）輛B型車，
依題意得：，
解得：2≤m≤，
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為2，3，4，
∴共有3種購車方案，
方案1：購進(jìn)2輛A型車，4輛B型車；
方案2：購進(jìn)3輛A型車，3輛B型車；
方案3：購進(jìn)4輛A型車，2輛B型車．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
22．（8分）如圖，已知點P是等邊△ABC內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，D為△ABC外一點，且∠DAP＝60°，連接DP，DC，AD＝DP．
（1）求證：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，推出△ADP是等邊三角形，得到∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠PDC＝90°，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵∠DAP＝60°，AD＝DP，
∴△ADP是等邊三角形，
∴∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，
在△ADC與△APB中，
，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠PAD＝60°，AD＝AP，
∴△ADP是等邊三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，
∵PC＝17，
∴CD2+PD2＝PC2，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
23．（10分）定義：若連結(jié)三角形一個頂點和對邊上一點的線段能把該三角形分成一個等腰三角形和一個直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的仁智線，這個三角形叫做仁智三角形．
（1）如圖1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD為該三角形的仁智線，CD＝1，，則∠B的度數(shù)為 45° ；
（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點，連接AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形AFE（點A，F(xiàn)，E按順時針排列），∠EAF＝90°，AE交BC于點D，連接EC，EB．當(dāng)∠BDE＝2∠BCE時，求證：ED是△EBC的仁智線；
（3）如圖3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC為仁智線，請同學(xué)們把圖形補(bǔ)充完整，并求△BCD的面積．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）證明DE＝DC，結(jié)合定義可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過點A作AH⊥BC于點H．有兩種情形：當(dāng)CD⊥BD時，或當(dāng)CD′⊥AC時，△BCD，△BCD′是仁智三角形．
【解答】（1）解：∵△ABC是仁智三角形，AD⊥BC，AD≠DC，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
故答案為：45°；
（2）證明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
∵△EDB是直角三角形，
∴△BEC是仁智三角形；
∴ED是△EBC的仁智線；
（3）解：如圖3中，過點A作AH⊥BC于點H．
有兩種情形：當(dāng)CD⊥BD時，△BCD是仁智三角形．
∵AB＝AC＝10，BC2＝320，AH⊥BC，
∴，
∴，
∵S△ABC＝BC?AH＝AB?CD，
∴CD＝8，
∴，
∴S△BCD＝BD?CD＝×（10+6）×8＝64；
當(dāng)CD′⊥AC時，△BCD′是仁智三角形．
設(shè)CD′＝x，DD′＝y(tǒng)，
∴x2＝y(tǒng)2+82，102+x2＝（6+y）2，即102+y2+82＝（6+y）2，
解得：，
S△CBD′＝××8＝．
綜上所述，滿條件的△BCD的面積為64或．
【點評】本題考查了仁智三角形的定義，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，△ABC的邊BC在x軸上，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），一動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線BO勻速運(yùn)動，設(shè)點P運(yùn)動時間為t秒．
（1）△ABC的面積＝ 55 ；
（2）若點P恰好線段AB的垂直平分線上，求此時t的值；
（3）當(dāng)點P在線段BO上運(yùn)動時，在y軸的正半軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并求出此時點Q的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（4）連結(jié)PA，若△PAB為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出BC的長，再利用面積公式求面積即可；
（2）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和勾股定理求出BP的長，從而求得P點運(yùn)動時間t；
（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等關(guān)系分為情況，求出點的坐標(biāo)即可；
（4）由勾股定理得AB＝13根據(jù)PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB三種情況分別求解即可．
【解答】解：（1）∵A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），
∴OA＝5，BC＝22，
∴△ABC的面積為，
故答案為：55；
（2）如圖1，
∵點P恰好線段AB的垂直平分線上，
∴BP＝AP，
設(shè)BP＝AP＝x，則OP＝12﹣x，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：OP2+OA2＝AP2，
即（12﹣x）2+52＝x2，解得：，
∴此時；
（3）①當(dāng)△QOP≌△AOC時，OP＝OC＝10，
∴BP＝OB﹣OP＝12﹣10＝2，OQ＝OA＝5，
∴此時t＝1，點Q坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣5）；
②當(dāng)△POQ≌△AOC時，OP＝OA＝5，
∴BP＝OB﹣OP＝12﹣5＝5，OQ＝OA＝5，
∴此時，點Q坐標(biāo)為（0，10）或（0，﹣10）；
綜上可知：t＝1，點Q坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣5）或，點Q坐標(biāo)為（0，10）或（0，﹣10）；
（4）如圖2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
當(dāng)AP1＝AB時，此時P1（12，0）；
當(dāng)AP2＝BP2時，由（2）得：，
當(dāng)BP3＝AB時，此時P3（1，0）；
綜上可知：P（12，0）或或（1，0）．
【點評】本題考查了等腰三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點的應(yīng)用，正確求出符合條件的所有情況．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:40；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學(xué)號：30479237

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