【方法綜述】
概率與統(tǒng)計的問題在高考中的地位相對穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計具有較強的現(xiàn)實應(yīng)用背景，在近幾年的高考中，概率與統(tǒng)計問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢。概率與統(tǒng)計的熱點問題主要表現(xiàn)在一是：以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景設(shè)置概率統(tǒng)計問題 ，二是概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進行分析、歸類，以幫助考生提升應(yīng)試能力。
【解答策略】
類型一 以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景的概率問題
【例1】5．如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為
A．B．C．D．
【來源】湖南省衡陽市第一中學2019-2020學年高三上學期7月第一次月考理科數(shù)學試題
【例2】（2020全國模擬）冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.
某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.
方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.
若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.
假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，
滿足且（）都有成立.
（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值
【舉一反三】
1．（2020·寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·河北高三期末（理））我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.
3．（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，
共五級．現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多
分m個（m為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是
類型二 概率與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題
【例3】（2020?浙江模擬）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒
有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是p，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0＜p＜，則
（ ）
A．E（X）＝B．E（X）＞C．D（X）＞D．D（X）＜
【例4】（2020 ?開福區(qū)模擬）設(shè)一個正三棱柱ABC﹣DEF，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為P10，則P10為（ ）
A．B．
C．D．
【舉一反三】
1．（2020 ?越城區(qū)模擬）隨機變量ξ有四個不同的取值，且其分布列如下：
則E（ξ）的最大值為（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
2．（2020 ?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝，若，則方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同根的概率為（ ）
A．B．C．D．
【強化訓練】
1．（2020·安徽高考模擬（理））2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”. 現(xiàn)有4 名高三學生準備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游， 假設(shè)每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游， 則恰有一個地方未被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
2.設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
3．（2020·湖北高考模擬（理））生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2020?富陽區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an
的值為隨機變量ξn，則（ ）
A．P（ξ3＝2）＝B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2）D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
5．（2019·四川成都七中高考模擬（理））如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（ ）
A．B．C．D．
6．某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收反射光，當被測物體橫向速度為零時，反射光與探測光頻率相同，當橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長為（），某次檢驗中可測頻移范圍為（）至（），該高鐵以運行速度（至）經(jīng)過時，可測量的概率為（ ）
A．B．C．D．
【來源】江蘇省南京市2020-2021學年高三上學期1月供題數(shù)學試題
7．新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省2020屆高三下學期6月新高考進階數(shù)學試題
8．吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個小盒子，里面隨機擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙時，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為（ ）
A．B．
C．D．
9．某停車場只有并排的8個停車位，恰好全部空閑，現(xiàn)有3輛汽車依次駛?cè)?，并且隨機停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是
A．B．C．D．
10．驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.
11．我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.
【來源】2020屆河北省張家口市高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（理）試題
12．歐陽修《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌滴瀝之，自錢孔入，而錢不濕．已知銅錢是直徑為4 cm的圓面，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴整體落在銅錢內(nèi))，則油滴整體(油滴是直徑為0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似計算)
【來源】云南省峨山彝族自治縣第一中學2021屆高三三模數(shù)學（文）試題
13．甲乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實數(shù)，對實數(shù)仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為，則的取值范圍是____．
14．某動漫公司推出漫畫角色盲盒周邊售賣，每個盲盒中等可能的放入該公司的款經(jīng)典動漫角色玩偶中的一個.小明購買了個盲盒，則他能集齊個不同動漫角色的概率是______________.
【來源】安徽省馬鞍山市2021屆高三下學期第三次教學質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學試題
15．某公司根據(jù)上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進入最后一個環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個人，并且每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為___________.
【來源】江蘇省南通市如皋市2021屆高三下學期4月第二次適應(yīng)性考試數(shù)學試題
16．2020年新冠肺炎肆虐，全國各地千千萬萬的醫(yī)護者成為“最美逆行者”，醫(yī)藥科研工作者積極研制有效抗疫藥物，中醫(yī)藥通過臨床篩選出的有效方劑“三藥三方”(“三藥”是指金花清感顆粒?連花清瘟顆粒(膠囊)和血必凈注射液；“三方”是指清肺排毒湯?化濕敗毒方和宜肺敗毒方)發(fā)揮了重要的作用.甲因個人原因不能選用血必凈注射液，甲?乙兩名患者各自獨立自主的選擇一藥一方進行治療，則兩人選取藥方完全不同的概率是___________.
【來源】黑龍江省大慶鐵人中學2021屆高三下學期第一次模擬考試 數(shù)學（理）試試題
17．某校甲、乙、丙三名教師每天使用1號錄播教室上課的概率分別是0.6，0.6，0.8，這三名教師是否使用1號錄播教室相互獨立，則某天這三名教師中至少有一人使用1號錄播教室上課的概率是______．
【來源】2021年全國高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測卷 理科數(shù)學 （第二模擬）
18．（2020雁塔區(qū)校級模擬）為了解某次測驗成績，在全年級隨機地抽查了100名學生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為 ．
19．（2020?寧波校級模擬）某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，假若在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p，為使公司受益的期望值不低于a的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為 元．
20．（2020·江蘇高三（理））乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.ξ
2sinαsinβ
3csαsinβ
3sinαcsβ
csαcsβ
P
t
第22講 概率中的應(yīng)用問題
【方法綜述】
概率與統(tǒng)計的問題在高考中的地位相對穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計具有較強的現(xiàn)實應(yīng)用背景，在近幾年的高考中，概率與統(tǒng)計問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢。概率與統(tǒng)計的熱點問題主要表現(xiàn)在一是：以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景設(shè)置概率統(tǒng)計問題 ，二是概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進行分析、歸類，以幫助考生提升應(yīng)試能力。
【解答策略】
類型一 以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景的概率問題
【例1】5．如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為
A．B．C．D．
【來源】湖南省衡陽市第一中學2019-2020學年高三上學期7月第一次月考理科數(shù)學試題
【答案】D
【解析】
提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，
根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個區(qū)域依次為,分4步進行解析：
，對于區(qū)域，有5種顏色可選；
，對于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；
，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；
，對于區(qū)域，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，
若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，
則區(qū)域有種選擇，
則不同的涂色方案有種，
其中，區(qū)域涂色不相同的情況有：
，對于區(qū)域，有5種顏色可選；
，對于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；
，對于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；
，對于區(qū)域，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選，
若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選，
則區(qū)域有種選擇，
不同的涂色方案有種，
區(qū)域涂色不相同的概率為 ,故選D．
【點睛】
本題考查古典概型概率公式的應(yīng)用，考查分步計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．在求解有關(guān)古典概型概率的問題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.
【例2】（2020全國模擬）冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.
某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.
方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.
若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.
假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，
滿足且（）都有成立.
（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）.（2）（i）見解析（ii）最大值為4.
【解析】（1）解：由已知，，，得，
的所有可能取值為1，，
∴，.
∴.
若，則，，∴，∴.
∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.
（2）（i）∵證明：當時，，∴，令，則，
∵，∴下面證明對任意的正整數(shù)n，.
①當，2時，顯然成立；
②假設(shè)對任意的時，，下面證明時，；
由題意，得，∴，
∴，，
∴，.
∴或（負值舍去）.∴成立.
∴由①②可知，為等比數(shù)列，.
（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.
設(shè)（），，∴當時，，即在上單調(diào)減.
又，，∴；，.∴.
∴k的最大值為4.
【舉一反三】
1．（2020·寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家
基本事件總數(shù)：
甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：
甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：，本題正確選項：
2.（2020·河北高三期末（理））我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.
【答案】
【解析】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)”這一事件可以分為兩類：
第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：，
第二類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：,
總的事件數(shù)為：，故所求概率為：.故答案為：.
3．（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，
共五級．現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多
分m個（m為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得出首項與公差m的關(guān)系，列舉得出所有的分配方案，從而得出結(jié)論．
解：由題意可知等級從低到高的5個諸侯所分的橘子個數(shù)組成等差為m的等差數(shù)列，
設(shè)“男”分的橘子個數(shù)為a1，其前n項和為Sn，則S5＝5a1+＝80，
即a1+2m＝16，且a1，m均為正整數(shù)，
若a1＝2，則m＝7，此時a5＝30，
若a1＝4，m＝6，此時a5＝28，
若a1＝6，m＝5，此時a5＝26，
若a1＝8，m＝4，此時a5＝24，
若a1＝10，m＝3，此時a5＝22，
若a1＝12，m＝2，此時a5＝20，
若a1＝14，m＝1，此時a5＝18，
∴“公”恰好分得30個橘子的概率為．
類型二 概率與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題
【例3】（2020?浙江模擬）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒
有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是p，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0＜p＜，則
（ ）
A．E（X）＝B．E（X）＞C．D（X）＞D．D（X）＜
【答案】
【解析】X的可能取值為2，3，
P（X＝2）＝p2+（1﹣p）2＝2p2﹣2p+1，
P（X＝3）＝＝2p﹣2p2，
E（X）＝2×（2p2﹣2p+1）+3（2p﹣2p2）＝﹣2p2+2p+2，
E（X2）＝4×（2P2﹣2p+1）+9×（2p﹣2p2）＝﹣10p2+10p+4，
D（X）＝E（X2）﹣E2（X）＝﹣10p2+10p+4﹣（﹣2p2+2p+2）2＝﹣4p4+8p3﹣6p2+2p，
因為E（X）以p＝為對稱軸，開口向下，
所以E（X）在p∈（0，）時，E（X）單調(diào)遞增，
所以E（X）≤＝，排除A，B．
D′（X）＝﹣16p3+24p2﹣12p+2，
D″（X）＝﹣12（2p﹣1）2≤0，
所以D′（X）在p∈（0，1）上單調(diào)遞減，
又當p＝時，D′（X）＝＞0，
所以當p∈（0，1）時，D′（X）＞0，
所以p∈（0，1）時D（X）單調(diào)遞增，
所以D（X）＜﹣4×＝．故選：D．
【例4】（2020 ?開福區(qū)模擬）設(shè)一個正三棱柱ABC﹣DEF，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為P10，則P10為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】設(shè)螞蟻爬n次仍在上底面的概率為Pn，那么它前一步只有兩種情況：
A：如果本來就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是Pn﹣1；
B：如果是上一步在下底面，則第n﹣1步不再上底面的概率是1﹣Pn﹣1，如果爬上來，其概率應(yīng)是（1﹣Pn﹣1）．
A，B事件互斥，因此，Pn＝Pn﹣1+（1﹣Pn﹣1）；
整理得，Pn＝Pn﹣1+；即Pn﹣＝（Pn﹣1﹣）；
構(gòu)造等比數(shù)列{Pn﹣}，公比為，首項為P1﹣＝﹣＝，
可得Pn＝（）n+．
因此第10次仍然在上底面的概率P10＝（）10+．故選：D．
【舉一反三】
1．（2020 ?越城區(qū)模擬）隨機變量ξ有四個不同的取值，且其分布列如下：
則E（ξ）的最大值為（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
【答案】C
【解析】【分析】依題意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3csαsinβ+3sinαcsβ）+csαcsβ＝（csαsinβ+sinαcsβ）+（sinαsinβ+csαcsβ）＝sin（α+β）+cs（α﹣β），根據(jù)α，β的情況討論即可得到E（ξ）的最大值．
解：依題意，t＝1﹣×＝，
所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3csαsinβ+3sinαcsβ）+csαcsβ
＝（csαsinβ+sinαcsβ）+（sinαsinβ+csαcsβ）
＝sin（α+β）+cs（α﹣β），
所以當α+β＝，α﹣β＝2kπ，（k∈z）時，即（k∈Z）時，
E（ξ）取得最大值＝1．故選：D．
2．（2020 ?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝，若，則方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同根的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象求得由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同的實數(shù)根時f（x）的取值范圍；再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出關(guān)于a、b的不等式組表示的平面區(qū)域，計算平面區(qū)域面積比即可．
解：畫出函數(shù)f（x）＝的圖象，如圖1所示；
令f（x）＝t，由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同的實數(shù)根，
即方程t2﹣at+b＝0有兩個不同的實數(shù)根t1、t2，
由f（x）的圖象知，t1＜0，且0＜t2＜1；
設(shè)g（t）＝t2﹣at+b，
由二次函數(shù)g（t）的圖象與性質(zhì)可得，
又不等式組表示的平面區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4，
且滿足條件的區(qū)域如陰影部分，其面積2﹣＝，如圖2所示；
則所求的概率值為P＝＝．故選：B．
【強化訓練】
1．（2020·安徽高考模擬（理））2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”. 現(xiàn)有4 名高三學生準備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游， 假設(shè)每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游， 則恰有一個地方未被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】名同學去旅游的所有情況有：種
恰有一個地方未被選中共有：種情況
恰有一個地方未被選中的概率：本題正確選項：
2.設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)事件為“從所給數(shù)中任取一個”，則，所求事件為事件，
要計算所包含的基本事件個數(shù)，則需要確定的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，恒成立，
只需，而，當時，，
所以當時，，
所以，得到關(guān)系后即可選出符合條件的：
共8個，當時， ，
所以符合條件，綜上可得，所以
3．（2020·湖北高考模擬（理））生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有
當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，
由間接法得到滿足條件的情況有
共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，
故滿足條件的事件的概率為： ，故答案為：C.
4．（2020?富陽區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an
的值為隨機變量ξn，則（ ）
A．P（ξ3＝2）＝B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2）D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
【答案】D
【解析】依題意a2＝1或a2＝﹣1，且P（a2＝1）＝P（a2＝﹣1）＝，
ξ3＝a3的可能取值為a2+1＝2，a2﹣1＝0，a2+1＝0，a2﹣1＝﹣2，
P（ξ3＝2）＝×＝，
P（ξ3＝0）＝2×＝，
P（ξ3＝﹣2）＝＝，
E（ξ3）＝2×+0×+（﹣2）×＝0，由此排除A和B；
ξ4＝a4的可能取值為a3+1＝3，a3﹣1＝1，a3+1＝﹣1，a3﹣1＝﹣3，
P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，
P（ξ4＝1）＝＝，
P（ξ4＝﹣1）＝＝，
P（ξ4＝﹣3）＝P（ξ3＝﹣2）＝．．
ξ5＝a5的可能取值為4，2，0，﹣2，﹣4．
P（ξ5＝0）＝＝，
P（ξ5＝2）＝＝，
所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．
因為P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故選：D．
5．（2019·四川成都七中高考模擬（理））如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知，事件共有=120個基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個， 含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.
含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2個，
含4，3，2的同理也有2個.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個，
含5，3，1的也有上述4個，共24個，
=.故選C.
6．某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收反射光，當被測物體橫向速度為零時，反射光與探測光頻率相同，當橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長為（），某次檢驗中可測頻移范圍為（）至（），該高鐵以運行速度（至）經(jīng)過時，可測量的概率為（ ）
A．B．C．D．
【來源】江蘇省南京市2020-2021學年高三上學期1月供題數(shù)學試題
【答案】A
【解析】根據(jù)題意及圖形可得：
當時，，
當時，，
該高鐵以運行速度（至）經(jīng)過時頻移范圍為至，其區(qū)間長度為，
因為某次檢驗中可測頻移范圍為（）至（）其區(qū)間長度為，所以可測量的概率為.
故選：A.
7．新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省2020屆高三下學期6月新高考進階數(shù)學試題
【答案】C
【解析】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法數(shù)：
先分步：第一步快遞送錯有4種方法，第二步考慮所送位置對應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯有2種可能（丁戊乙，戊乙?。?，第二類送到乙丁戊中的一個地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．
故選：C．
8．吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個小盒子，里面隨機擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙時，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題：“口香糖吃完時還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為，口香糖為，進行四次取物，基本事件總數(shù)為：種
事件“口香糖吃完時還剩2支香煙”前四次取物順序分為以下三種情況：
煙、糖、糖、糖：種
糖、煙、糖、糖： 種
糖、糖、煙、糖：種
包含的基本事件個數(shù)為：54，
所以，其概率為
故選：D
9．某停車場只有并排的8個停車位，恰好全部空閑，現(xiàn)有3輛汽車依次駛?cè)耄⑶译S機停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為三輛車皆不相鄰的情況有，所以三輛車皆不相鄰的概率為,
因此至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是選C.
10．驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.
【答案】
【解析】根據(jù)“鐘型驗證碼” 中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.
11．我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.
【來源】2020屆河北省張家口市高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（理）試題
【答案】
【解析】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)”這一事件可以分為兩類：
第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：，
第二類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：,
總的事件數(shù)為：，故所求概率為：.
故答案為：.
12．歐陽修《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌滴瀝之，自錢孔入，而錢不濕．已知銅錢是直徑為4 cm的圓面，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴整體落在銅錢內(nèi))，則油滴整體(油滴是直徑為0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似計算)
【來源】云南省峨山彝族自治縣第一中學2021屆高三三模數(shù)學（文）試題
【答案】
【解析】隨機向銅錢上滴一滴油，且油滴整體落在銅錢內(nèi)，則油滴球心在以圓面圓心為圓心，半徑為2－0.1＝1.9的圓內(nèi)，即
若油滴整體正好落入孔中，則油滴在與正方形孔邊沿距離為0.1的正方形內(nèi)，
即，所以概率是 .
13．甲乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實數(shù)，對實數(shù)仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為，則的取值范圍是____．
【答案】
【解析】由題意可知，進行兩次操作后，可得如下情況：
當，其出現(xiàn)的概率為，
當，其出現(xiàn)的概率為，
當，其出現(xiàn)的概率為，
當其出現(xiàn)的概率為，
∵甲獲勝的概率為，即的概率為，
則滿足整理得.
14．某動漫公司推出漫畫角色盲盒周邊售賣，每個盲盒中等可能的放入該公司的款經(jīng)典動漫角色玩偶中的一個.小明購買了個盲盒，則他能集齊個不同動漫角色的概率是______________.
【來源】安徽省馬鞍山市2021屆高三下學期第三次教學質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學試題
【答案】
【解析】個盲盒中，每個盲盒中放入的動漫角色有種選擇，共有種不同的情況，當集齊個不同動漫角色時，其中有一種動漫角色有個，另外兩種動漫角色各個，共有種，因此，所求概率為.
15．某公司根據(jù)上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進入最后一個環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個人，并且每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為___________.
【來源】江蘇省南通市如皋市2021屆高三下學期4月第二次適應(yīng)性考試數(shù)學試題
【答案】
【解析】由題意可知，每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票有如下兩種情況：①若得3票，其概率為；②若得2票，其概率為，所以最終僅一人獲得最高得票的概率為..
16．2020年新冠肺炎肆虐，全國各地千千萬萬的醫(yī)護者成為“最美逆行者”，醫(yī)藥科研工作者積極研制有效抗疫藥物，中醫(yī)藥通過臨床篩選出的有效方劑“三藥三方”(“三藥”是指金花清感顆粒?連花清瘟顆粒(膠囊)和血必凈注射液；“三方”是指清肺排毒湯?化濕敗毒方和宜肺敗毒方)發(fā)揮了重要的作用.甲因個人原因不能選用血必凈注射液，甲?乙兩名患者各自獨立自主的選擇一藥一方進行治療，則兩人選取藥方完全不同的概率是___________.
【來源】黑龍江省大慶鐵人中學2021屆高三下學期第一次模擬考試 數(shù)學（理）試試題
【答案】
【解析】將三藥分別記為，，，三方分別記為，，，選擇一藥一方的基本事件如表所示，共有9個組合，則兩名患者選擇藥方完全不同的情況有(種)，兩名患者可選擇的藥方共有(種)，所以.
故答案為：.
17．某校甲、乙、丙三名教師每天使用1號錄播教室上課的概率分別是0.6，0.6，0.8，這三名教師是否使用1號錄播教室相互獨立，則某天這三名教師中至少有一人使用1號錄播教室上課的概率是______．
【來源】2021年全國高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測卷 理科數(shù)學 （第二模擬）
【答案】0.968
【解析】設(shè)甲、乙、丙三名教師某天使用1號錄播教室上課分別為事件，，，則，，，則所求事件的概率
．
故答案為：．
18．（2020雁塔區(qū)校級模擬）為了解某次測驗成績，在全年級隨機地抽查了100名學生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為 ．
【答案】0.32
【解析】由抽查了100名學生的成績，90分以下人數(shù)為38，則90分以上人數(shù)為100﹣38＝62人，為后五組的累積頻數(shù)
由于后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第四組的頻數(shù)為a，公比為q（0＜q＜1），則
S5＝＝a（q4+q3+q2+q+1）
由各組人數(shù)均為整數(shù)，故＜62，故q＝，a＝32，則b＝＝0.32，故答案為：0.32
19．（2020?寧波校級模擬）某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，假若在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p，為使公司受益的期望值不低于a的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為 元．
【答案】（p+0.1）a
【解析】用隨機變量ξ表示此項業(yè)務(wù)的收益額，x表求顧客繳納的保險金，則ξ的所有可能取值為x，x﹣a，
且P（ξ＝x）＝1﹣p，P（ξ＝x﹣a）＝p，
∴Eξ＝x（1﹣p）+（x﹣a）p＝x﹣ap，
∵公司受益的期望值不低于a的，
∴x﹣ap≥，
∴x≥（p+0.1）a（元）．故答案為：（p+0.1）a．
20．（2020·江蘇高三（理））乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.
【答案】
【解析】采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝： （甲凈勝二局）， （前二局甲一勝一負，第三局甲勝）．
因為 與 互斥，所以甲勝概率為 則 設(shè)
即答案為.，注意到，則函數(shù)在和 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，最大值為 即答案為.
ξ
2sinαsinβ
3csαsinβ
3sinαcsβ
csαcsβ
P
t

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