直線過(guò)定點(diǎn)的解題策略一般有以下幾種：（1）如果題設(shè)條件沒(méi)有給出這個(gè)定點(diǎn)，那么，我們可以這樣思考：由于這個(gè)定點(diǎn)對(duì)符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，找出參數(shù)之間的關(guān)系，并在計(jì)算過(guò)程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點(diǎn)斜式方程，從而得到定點(diǎn).（3）若直線方程含多個(gè)參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)，并帶入直線方程進(jìn)行檢驗(yàn).注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【典例指引】
類型一 橢圓中直線過(guò)未知頂點(diǎn)問(wèn)題
例1 【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).
【解析】
類型二 橢圓中直線過(guò)已知定點(diǎn)問(wèn)題
例2. 【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。
求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且，證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。
【解析】
類型三 點(diǎn)在定直線上問(wèn)題
例3【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C： 的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
（ = 1 \* ROMAN I）求橢圓C的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
（ = 1 \* rman i）求證：點(diǎn)M在定直線上;
（ = 2 \* rman ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解析】
類型四 拋物線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
例4.【2013年高考理科陜西卷】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.
(Ⅰ) 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn)B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線l過(guò)定點(diǎn).
【解析】
【擴(kuò)展鏈接】
對(duì)任意圓錐曲線，過(guò)其上任意一點(diǎn)作兩條直線，若直線斜率之積為定值，兩直線交圓錐曲線于
兩點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).
2.已知為過(guò)拋物線=的焦點(diǎn)的弦，，則.
3.已知為過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦，，則.
4.已知直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn).
【新題展示】
1．【2019福建備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列適應(yīng)性練習(xí)】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)， 且被軸截得的弦長(zhǎng)是8．
（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，直線的傾斜角之和為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題設(shè)條件，利用圓中的特殊三角形，推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程為，與聯(lián)立，消元得到，利用韋達(dá)定理，最后得到直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．
2．【2019河南鄭州1月質(zhì)量預(yù)測(cè)】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的投影為，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設(shè)的左頂點(diǎn)為，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，（，不是左右頂點(diǎn)），且滿足，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；
（2）由向量條件結(jié)合矩形對(duì)角線相等可得DA，DB垂直，斜率之積為﹣1，再聯(lián)立直線與橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系，逐步求解得證．
3．【2019新疆烏魯木齊一?！繖E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過(guò)的長(zhǎng)軸，短軸端點(diǎn)的一條直線方程是．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，再寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線，（），設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，代入橢圓方程，即根據(jù)韋達(dá)定理，直線方程，求出直線過(guò)定點(diǎn)，
4．【2019福建漳州下學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，該橢圓的左頂點(diǎn)A到直線的距離為．
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若線段MN平行于y軸，滿足，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，滿足，證明：過(guò)點(diǎn)N且垂直于OP的直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出a的值，可得橢圓方程，
（2）由題意M（m，n），N（m，），P（2，t），根據(jù)（2）?0，可得y1＝2n，由2，可得2m+2nt＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得?0，即可證明．
5．【2019河北衡水十三中學(xué)質(zhì)檢】已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若不過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由得，即可得到結(jié)論．[來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)]
6．【2019黑龍江大慶二?！恳阎獧E圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)（異于），當(dāng)直線，的斜率之和為4時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（1）首先根據(jù)題中所給的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，求解即可；
（2）分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，寫出直線的方程，，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)題中的條件，求得，從而求得直線所過(guò)的定點(diǎn)為，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證也過(guò)該點(diǎn)，得證．
7．【2019福建漳州班第一次質(zhì)檢】已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且直線過(guò)的外心，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線定義，可知曲線方程為拋物線，進(jìn)而利用定義求得拋物線的方程。
（2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，設(shè)出AB方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理表示出與，利用垂直關(guān)系求得m的值，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo)。
8．【2019湖北十堰元月調(diào)研】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）點(diǎn)A在圓x2+y2＝16上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點(diǎn)A和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系式，由點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)Q坐標(biāo)滿足的方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過(guò)的定點(diǎn)．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率e=，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，定點(diǎn)，P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（2）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得=，=，由+=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
【詳細(xì)解析】
2.（2017?菏澤一模）已知焦距為2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，直線y=與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的左邊），Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．
（i）若直線l過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，E是直線3x+3y﹣2=0上一點(diǎn)，且△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是橢圓的左頂點(diǎn)，D是直線MN上一點(diǎn)，且DA⊥AM，點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得c=，直線y=代入橢圓方程，求得P，Q的橫坐標(biāo)，可得|AB|，由四邊形ABPQ是平行四邊形，
可得|AB|=|PQ|，解方程可得b，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）（i）由直線y=kx代入橢圓方程，求得M的坐標(biāo)，由△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可設(shè)E（m，﹣m），求出E到直線kx﹣y=0的距離d，由題意可得OE⊥MN，|OM|=d，解方程可得k的值；
（ii）由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得N的坐標(biāo)，設(shè)G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，可得AN⊥DG，運(yùn)用兩直線垂直的條件，可得斜率之積為﹣1，解方程可得t=0，即可得到定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】
3.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），且離心率e=
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，若直線l：y=kx+m與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn)（異于A點(diǎn)），且滿足MA⊥NA，試證明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意的離心率公式e=，求得a=2c，b2=3c2，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知?=0，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可求得m和k的關(guān)系，代入即可求得直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】
4.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓F1、F2，M是C上一點(diǎn)，|MF1|=2，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，線段AB上取點(diǎn)Q，且Q滿足，證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．
【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得a=2c，且，由余弦定理求出c=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，由此利用韋達(dá)定理、向量，結(jié)合已知條件能證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．
【詳細(xì)解析】
5.已知橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），離心率e=，點(diǎn)P（，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)C的右焦點(diǎn)F作兩條弦AB，CD，滿足?=0，且=2，=2，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由a=c，則b2=a2﹣c2=2c2，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．
（2）然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在兩種情況求解．當(dāng)斜率均存在時(shí)，寫出直線AB的方程，代入橢圓方程后化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系求得M坐標(biāo)，同理求得N的坐標(biāo)．進(jìn)一步分k≠±1和k=±1求得直線MN的方程，從而說(shuō)明直線MN過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)弦AB或CD的斜率不存在時(shí)，易知，直線MN為x軸，也過(guò)點(diǎn)（，0）．
【詳細(xì)解析】
6.已知橢圓C：x2+4y2=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則a=2，b=1，則c=，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（2）設(shè)P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標(biāo)，設(shè)定點(diǎn)為Q，再由kMQ=kNQ，能證明直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)Q（4，0）．
【詳細(xì)解析】
7.在直角坐標(biāo)系xOy 中，F(xiàn)，A，B 分別為橢圓 的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若
（1）求a的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線l 交橢圓于M，N 兩點(diǎn)，過(guò)M 作平行于x 軸的直線交橢圓于另外一點(diǎn)Q，連接NQ，求證：直線NQ 經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得：，解得a；
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l 的方程為y=kx+2，將y=kx+2 代入橢圓方程得（3+4k2）x2+16kx+4=0，，直線NQ 的方程，由對(duì)稱性可知，若過(guò)定點(diǎn)，則必在y 軸上，令x=0，即可．
【詳細(xì)解析】
8.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其左頂點(diǎn)在圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 （點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）利用點(diǎn)在橢圓上和幾何要素間的關(guān)系求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到直線的點(diǎn)斜式方程，再利用賦值法進(jìn)行求解.
【詳細(xì)解析】
9.已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)（0，1），且與直線y=﹣1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P（0，﹣2），且與點(diǎn)M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點(diǎn)，直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．代入拋物線方，由韋達(dá)定理及直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣（x+x2），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】
10.已知F是拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線C上不同的兩點(diǎn)，l1，l2分別是拋物線C在點(diǎn)A、點(diǎn)B處的切線，P（x0，y0）是l1，l2的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，求證：點(diǎn)P在定直線上；
（2）若|PF|=2，求|AF|?|BF|的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，求出切線PA，PB的方程，可得P的坐標(biāo)，即可證明：點(diǎn)P在定直線上；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0，求出P的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，即可求|AF|?|BF|的值．
【詳細(xì)解析】
11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=﹣2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且，證明：直線l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m=﹣5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）．
【詳細(xì)解析】
12.．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【思路點(diǎn)撥】（1）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，從而可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得
，直線的方程為，即可證明其過(guò)定點(diǎn).
【詳細(xì)解析】
專題8 欲證直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合特征方程驗(yàn)
【題型綜述】
直線過(guò)定點(diǎn)的解題策略一般有以下幾種：
（1）如果題設(shè)條件沒(méi)有給出這個(gè)定點(diǎn)，那么，我們可以這樣思考：由于這個(gè)定點(diǎn)對(duì)符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
（2）直接推理、計(jì)算，找出參數(shù)之間的關(guān)系，并在計(jì)算過(guò)程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點(diǎn)斜式方程，從而得到定點(diǎn).
（3）若直線方程含多個(gè)參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)，并帶入直線方程進(jìn)行檢驗(yàn).注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【典例指引】
類型一 橢圓中直線過(guò)未知頂點(diǎn)問(wèn)題
例1 【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).
類型二 橢圓中直線過(guò)已知定點(diǎn)問(wèn)題
例2. 【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。
求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且，證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。
【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用得到點(diǎn)P與點(diǎn),M坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求得軌跡方程為。
（2）由題意知。設(shè),則
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F。[來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)]
類型三 點(diǎn)在定直線上問(wèn)題
例3【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C： 的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
（ = 1 \* ROMAN I）求橢圓C的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
（ = 1 \* rman i）求證：點(diǎn)M在定直線上;
（ = 2 \* rman ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
設(shè)，聯(lián)立方程
得，
由，得且，
因此,
（ii）由（i）知直線方程為，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
類型四 拋物線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
例4.【2013年高考理科陜西卷】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.
(Ⅰ) 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn)B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線l過(guò)定點(diǎn).
【擴(kuò)展鏈接】
對(duì)任意圓錐曲線，過(guò)其上任意一點(diǎn)作兩條直線，若直線斜率之積為定值，兩直線交圓錐曲線于
兩點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).
2.已知為過(guò)拋物線=的焦點(diǎn)的弦，，則.
3.已知為過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦，，則.
4.已知直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn).
【新題展示】
1．【2019福建備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列適應(yīng)性練習(xí)】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)， 且被軸截得的弦長(zhǎng)是8．
（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，直線的傾斜角之和為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題設(shè)條件，利用圓中的特殊三角形，推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程為，與聯(lián)立，消元得到，利用韋達(dá)定理，最后得到直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．
【解析】
(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓半徑為
由動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)是8得
消去得
故圓心的軌跡的方程
(Ⅱ) 設(shè)直線， ，
聯(lián)立方程得，消去得，．
則，．
設(shè)直線的傾斜角分別是

∵，同理，

∴．
，故直線過(guò)定點(diǎn)．
2．【2019河南鄭州1月質(zhì)量預(yù)測(cè)】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的投影為，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設(shè)的左頂點(diǎn)為，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，（，不是左右頂點(diǎn)），且滿足，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；
（2）由向量條件結(jié)合矩形對(duì)角線相等可得DA，DB垂直，斜率之積為﹣1，再聯(lián)立直線與橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系，逐步求解得證．
【解析】
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，由題意可知
∵，∴，
即，
又點(diǎn)在圓上 ∴
代入得
即軌跡的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，
聯(lián)立 得

即，
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴
∴
解得，，且均滿足即
當(dāng)時(shí)，的方程為，直線恒過(guò)，與已知矛盾；
當(dāng)，的方程為，直線恒過(guò)
所以，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．
3．【2019新疆烏魯木齊一?！繖E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過(guò)的長(zhǎng)軸，短軸端點(diǎn)的一條直線方程是．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，再寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線，（），設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，代入橢圓方程，即根據(jù)韋達(dá)定理，直線方程，求出直線過(guò)定點(diǎn)，
【解析】
（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，
橢圓的方程為，
（2）證明：設(shè)直線，（），
設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，
聯(lián)立直線與橢圓得，
得，
，解得
，，
，
直線 ，
令，得 ，
直線過(guò)定點(diǎn)
4．【2019福建漳州下學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，該橢圓的左頂點(diǎn)A到直線的距離為．
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若線段MN平行于y軸，滿足，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，滿足，證明：過(guò)點(diǎn)N且垂直于OP的直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出a的值，可得橢圓方程，
（2）由題意M（m，n），N（m，），P（2，t），根據(jù)（2）?0，可得y1＝2n，由2，可得2m+2nt＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得?0，即可證明．
【解析】
(1)由題意： ，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
(2)設(shè)， ，則， ，即，解
， ，，
即：，得 即
直線的方程為： ， 設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線為，
直線的方程： ，即直線過(guò)定點(diǎn)，即直線恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)
5．【2019河北衡水十三中學(xué)質(zhì)檢】已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若不過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由得，即可得到結(jié)論．
【解析】
（1）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
則，，兩式相減得．
即，
又線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為1，∴，∴．
即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線：與拋物線：交于點(diǎn)，，
則，
，∴，
∴，，
由得，即，，
直線為，∴過(guò)定點(diǎn)．
6．【2019黑龍江大慶二模】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)（異于），當(dāng)直線，的斜率之和為4時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路引導(dǎo)】
（1）首先根據(jù)題中所給的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，求解即可；
（2）分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，寫出直線的方程，，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)題中的條件，求得，從而求得直線所過(guò)的定點(diǎn)為，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證也過(guò)該點(diǎn)，得證．
【解析】
（1）由題意知：，，．
解得，，，所以橢圓方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，．
由，得，
聯(lián)立，消去得，由題意知二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴，．
代入得，整理得．
∵，∴，∴，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，其中，∴．由，得，∴．
∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過(guò)定點(diǎn)．
綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)．
7．【2019福建漳州班第一次質(zhì)檢】已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且直線過(guò)的外心，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線定義，可知曲線方程為拋物線，進(jìn)而利用定義求得拋物線的方程。
（2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，設(shè)出AB方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理表示出與，利用垂直關(guān)系求得m的值，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo)。
【解析】
解法一：（1）由題意可知等于點(diǎn)到直線的距離，
所以曲線是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為．
解法二：
（1）設(shè)，由題意可知等于點(diǎn)到直線的距離，
所以，
整理得曲線的方程為．
（2）設(shè)直線，代入，得，
設(shè)，則，，，
，，
因?yàn)橹本€過(guò)的外心，所以，
=0
所以，所以或，
因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，所以，所以，
所以直線，所以直線過(guò)定點(diǎn)．
8．【2019湖北十堰元月調(diào)研】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路引導(dǎo)】
（1）點(diǎn)A在圓x2+y2＝16上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點(diǎn)A和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系式，由點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)Q坐標(biāo)滿足的方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過(guò)的定點(diǎn)．
【解析】
（1）設(shè)，，因?yàn)椋谥本€上，
所以，．①
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以．②
將①式代入②式即得曲線的方程為．
（2）設(shè)，，則，
聯(lián)立，得，
所以，．
因?yàn)橹本€的斜率，
所以為．
令，得 ，
所以直線過(guò)定點(diǎn)．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率e=，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，定點(diǎn)，P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（2）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得=，=，由+=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
且=，=
由已知α+β=π，得+=0，即+=0，化簡(jiǎn)，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，
∴2k×﹣（m﹣k）（）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直線MN的方程為y=k（x﹣2），
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
2.已知焦距為2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，直線y=與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的左邊），Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．
（i）若直線l過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，E是直線3x+3y﹣2=0上一點(diǎn)，且△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是橢圓的左頂點(diǎn)，D是直線MN上一點(diǎn)，且DA⊥AM，點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得c=，直線y=代入橢圓方程，求得P，Q的橫坐標(biāo)，可得|AB|，由四邊形ABPQ是平行四邊形，
可得|AB|=|PQ|，解方程可得b，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）（i）由直線y=kx代入橢圓方程，求得M的坐標(biāo)，由△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可設(shè)E（m，﹣m），求出E到直線kx﹣y=0的距離d，由題意可得OE⊥MN，|OM|=d，解方程可得k的值；
（ii）由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得N的坐標(biāo)，設(shè)G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，可得AN⊥DG，運(yùn)用兩直線垂直的條件，可得斜率之積為﹣1，解方程可得t=0，即可得到定點(diǎn)．
（ii）證明：由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
可得﹣2+xN=﹣，[來(lái)源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)]
解得xN=，
yN=k（xN+2）=，即N（，），
設(shè)G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），
以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，
可得AN⊥DG，
即有kAN?kDG=﹣1，
即為?=﹣1，
解得t=0．
故點(diǎn)G是定點(diǎn)，即為原點(diǎn)（0，0）．
3.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），且離心率e=
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，若直線l：y=kx+m與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn)（異于A點(diǎn)），且滿足MA⊥NA，試證明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意的離心率公式e=，求得a=2c，b2=3c2，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知?=0，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可求得m和k的關(guān)系，代入即可求得直線恒過(guò)定點(diǎn)．
∴++2×+4=0，
化簡(jiǎn)得，7m2+4k2+16mk=0
解得m=﹣2k或m=﹣且均滿足3+4k2﹣m2＞0
當(dāng)m=﹣2k時(shí)，L：y=k（x﹣2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=﹣時(shí)，L；y=k（x﹣），直線過(guò)定點(diǎn)（，0），
綜上，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
4.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓F1、F2，M是C上一點(diǎn)，|MF1|=2，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，線段AB上取點(diǎn)Q，且Q滿足，證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．
【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得a=2c，且，由余弦定理求出c=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，由此利用韋達(dá)定理、向量，結(jié)合已知條件能證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．

5.已知橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），離心率e=，點(diǎn)P（，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)C的右焦點(diǎn)F作兩條弦AB，CD，滿足?=0，且=2，=2，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由a=c，則b2=a2﹣c2=2c2，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．
（2）然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在兩種情況求解．當(dāng)斜率均存在時(shí)，寫出直線AB的方程，代入橢圓方程后化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系求得M坐標(biāo)，同理求得N的坐標(biāo)．進(jìn)一步分k≠±1和k=±1求得直線MN的方程，從而說(shuō)明直線MN過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)弦AB或CD的斜率不存在時(shí)，易知，直線MN為x軸，也過(guò)點(diǎn)（，0）．
則x1+x2=，x1x2=，
∴x0==，y0=k（x0﹣1）=﹣，
于是M（，﹣）．
∵CD⊥AB，∴將點(diǎn)M坐標(biāo)中的k換為﹣，
即得點(diǎn)N（，）．
①當(dāng)k≠±1時(shí)，直線MN的方程為y﹣=﹣（x﹣）．
令y=0，得x=，則直線MN過(guò)定點(diǎn)（，0）；
②當(dāng)k=±1時(shí)，易得直線MN的方程x=，也過(guò)點(diǎn)（，0）．
當(dāng)弦AB或CD的斜率不存在時(shí)，易知，直線MN為x軸，也過(guò)點(diǎn)（，0）．
綜上，直線MN必過(guò)定點(diǎn)（，0）．
6.已知橢圓C：x2+4y2=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則a=2，b=1，則c=，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（2）設(shè)P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標(biāo)，設(shè)定點(diǎn)為Q，再由kMQ=kNQ，能證明直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)Q（4，0）．

7.在直角坐標(biāo)系xOy 中，F(xiàn)，A，B 分別為橢圓 的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若
（1）求a的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線l 交橢圓于M，N 兩點(diǎn)，過(guò)M 作平行于x 軸的直線交橢圓于另外一點(diǎn)Q，連接NQ，求證：直線NQ 經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得：，解得a；
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l 的方程為y=kx+2，將y=kx+2 代入橢圓方程得（3+4k2）x2+16kx+4=0，，直線NQ 的方程，由對(duì)稱性可知，若過(guò)定點(diǎn)，則必在y 軸上，令x=0，即可．

8.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其左頂點(diǎn)在圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 （點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】（1）利用點(diǎn)在橢圓上和幾何要素間的關(guān)系求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到直線的點(diǎn)斜式方程，再利用賦值法進(jìn)行求解.
【詳細(xì)解析】（1）∵橢圓的左頂點(diǎn)在圓上，∴
又∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴ ∴
∴橢圓的方程為
9.已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)（0，1），且與直線y=﹣1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P（0，﹣2），且與點(diǎn)M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點(diǎn)，直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．代入拋物線方，由韋達(dá)定理及直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣（x+x2），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】（1）∵動(dòng)點(diǎn)M到直線y=﹣1的距離等于到定點(diǎn)C（0，1）的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，且=1，解得：p=2，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2=4y；
（2）證明：由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．
聯(lián)立，化為x2﹣4kx+8=0，

10.已知F是拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線C上不同的兩點(diǎn)，l1，l2分別是拋物線C在點(diǎn)A、點(diǎn)B處的切線，P（x0，y0）是l1，l2的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，求證：點(diǎn)P在定直線上；
（2）若|PF|=2，求|AF|?|BF|的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，求出切線PA，PB的方程，可得P的坐標(biāo)，即可證明：點(diǎn)P在定直線上；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0，求出P的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，即可求|AF|?|BF|的值．
【詳細(xì)解析】（1）證明：拋物線，則，
∴切線PA的方程為，即，
同理切線PB的方程為，
聯(lián)立得點(diǎn)P，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0．所以x1x2=﹣4
所以點(diǎn)P在直線y=﹣1上；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，所以P（2k，﹣m），，
=﹣4mk2+4k2（m+1）+4﹣4k2=4．
11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=﹣2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且，證明：直線l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m=﹣5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）．
12.．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【思路點(diǎn)撥】（1）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，從而可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得
，直線的方程為，即可證明其過(guò)定點(diǎn).

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