說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．若直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)值為（ ）
A．B．C．D．
3．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．B．或C．0或D．0或
5．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，直線，，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．9
7．點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)直線的方程分別為（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．2C．D．3
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，三點(diǎn)不共線，面外任一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
B．有兩個(gè)不同的平面，的法向量分別為，，且，，則
C．已知向量，，若，則為鈍角
D．已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，若，則與所成角為
10．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象表示過(guò)原點(diǎn)的所有直線
B．函數(shù)的最小值為5
C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為
D．若將直線上一點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，仍在該直線上，則該直線的斜率為
11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，，分別是線段，的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為30°
C．三棱錐體積的取值范圍為
D．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，與平面所成的余弦值為
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．直線和直線平行，則它們之間的距離為_(kāi)_________.
13．定義若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是__________.
14．已知兩點(diǎn)，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后射到直線上，再經(jīng)直線反射后射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程等于__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題13分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程.
16．（本小題15分）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，為與的交點(diǎn)，若，，.
（1）用，，表示；
（2）求對(duì)角線的長(zhǎng)；
（3）求.
17．（本小題15分）已知直線.
（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；
（3）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程.
18．（本小題17分）如圖，在三棱柱中，平面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．（本小題17分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為：；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.
（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫(xiě)出一個(gè)即可）
（2）若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，平面，平面，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.
高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)參考答案
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．【答案】A
解：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選A.
2．【答案】C
解：由題知，，解得.
故選：C.
3．【答案】B
解：設(shè)直線上任意與點(diǎn)不重合的一點(diǎn)為，由題意有與共線，
所以，整理得的方程為，
又點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)滿足方程，
綜上所述，的方程為.
故選：B.
4．【答案】C
解：，
，
與互相垂直，
，解得或.
故選：C.
5．【答案】B
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
所以異面直線與所成角的余弦值等于
，故選：B.
6．【答案】C
解：因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為8.
故選：C.
7．【答案】A
【解析】將直線變形得，
由，解得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)到直線的距離最大，
最大值為，又直線的斜率，
所以直線的方程為，即.故選：A.
8．【答案】C
解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接、、.
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
又底面是矩形，、是、中點(diǎn)，.
以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，，，
得，.
，，，則，，
設(shè)，則，，
，
，
向量的單位方向向量，
則，
因此點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
線段上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．【答案】AD
解：對(duì)A，由可得，，
即，
所以，，，四點(diǎn)共面，A正確；
對(duì)B，由題，，所以，不共線，故與不平行，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)，共線時(shí)，有，解得，
若為鈍角，則，解得且，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由，所以與所成角為，D正確；
綜上，正確的是AD.
10．【答案】BD
解：對(duì)于A：函數(shù)不能表示與軸重合的直線，故A不正確；
對(duì)于B：
，
表示點(diǎn)與，距離之和，
如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)，，不共線時(shí)，，
當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)，，
所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，即直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，
把點(diǎn)代入，得，所以直線方程為.
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
把點(diǎn)代入，得，所以直線方程為.
綜上直線方程為或，故C不正確；
對(duì)于D：設(shè)直線的方程為，
沿著軸向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得，
即，
所以，即，故D正確.
故本題選BD.
11．【答案】BC
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，
因?yàn)槭蔷€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），
則可設(shè)，，
則，，當(dāng)時(shí)，
則，得，又，
所以不存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，結(jié)合A選項(xiàng)，
易得，異面直線與所成的角為30°，由圖可知與的夾角為銳角，
則，即，
解得，又，
所以不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為30°，故B正確；
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，
對(duì)于C，，易知到平面的距離，
點(diǎn)，，位于平面內(nèi)，易知直線的方程為，即，
結(jié)合A選項(xiàng)可知平面內(nèi)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)椋?br>所以，所以，所以，
即，故C正確；
對(duì)于D，結(jié)合A選項(xiàng)，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，，則，
令，則，，可得，則，
設(shè)直線與平面所成的角，則，故D錯(cuò)誤.
故選BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．【答案】
【解答】由題意得，，將變形為，由兩條平行直線間的距離公式得距離.
13．【答案】.
【解析】由題意知，，設(shè)，則.
又，則，故.
故答案為：
14．【答案】
解：作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，即，，，四點(diǎn)共線，
得，
易得，，直線的方程是，設(shè)，
則得，即，
.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15．【答案】（1）（2）.
【解析】（1）因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)為，，，
所以直線的斜率為，
所以邊上的高所在直線的斜率為，
所以直線的方程為，
化為一般式方程為 6分
（2）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)為，
又因?yàn)?，，所以直線的斜率為，
所以直線的點(diǎn)斜式方程為，
化為一般式為 13分
16．【答案】解：（1）連接，，，如圖：
，，
在，根據(jù)向量減法法則可得：，
底面是平行四邊形，，
且，，
又為線段中點(diǎn)，，
在中； 5分
（2）頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°
，，
由（1）可知，
平行四邊形中，故：，
，
，故對(duì)角線的長(zhǎng)為. 10分
（3），，
又
. 15分
17．【答案】解：（1）直線的方程可化為，
由，解得
故無(wú)論取何值，直線總過(guò)定點(diǎn)； 3分
（2）直線的方程可化為，則直線在軸上的截距為，
且直線總過(guò)定點(diǎn)，故要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，
則，解得 8分
（3）依題意，直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
，.
又且，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為4，此時(shí)直線的方程為 15分
18．【答案】解：（1）證明：，，，，
，，
平面，又平面，.
又，，平面，平面 4分
（2）以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
，，令，則，，.
設(shè)平面的法向量為，，，
，令，則，，，
，
平面與平面夾角的余弦值為， 10分
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，，
，，.
由（2）知平面的一個(gè)法向量為，
由，得，即，
或，或. 17分
19．【解析】（1）記平面，的法向量為，，設(shè)直線的方向向量，
因?yàn)橹本€為平面和平面的交線，
所以，，即，取，則，
所以直線的單位方向向量為 4分
（2）設(shè)，
由平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，
所以，解得，即，
所以記平面、、的法向量為，，，
與（1）同理，與確定的交線方向向量為，
所以，即，解得 10分
（3）由集合知，由一個(gè)邊長(zhǎng)是4的正方體和6個(gè)高為2的正四棱錐構(gòu)成，如圖所示，
，，
設(shè)幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為，
平面，設(shè)平面法向量，
平面，設(shè)平面法向量，
所以，
所以幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為. 17分

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